函数的零点

§2.5 函数的零点（一）
【学习目标】:
理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系，掌握零点存在的判定条件．

【过程】：
一、复习引入：
1．试解出下列方程的近似解：（1） （2）
2．二次函数的解析式：
（1）一般式 （2）顶点式 （3）零点式

二、新课讲授：
思考1．下列两个问题的结果是否相同：
（1）求一元二次方程 的根；
（2）求二次函数 的图象与 轴的交点的横坐标。
1．零点定义：一般地，我们把 称为函数 的零点。
思考2．判断下列函数的零点的个数：
1） ； 2） ； 3） ；
4） ； 5） ．
思考3．函数 的零点与方程 及函数 的图象有何关系？
思考4．函数 的零点是点还是数？
思考5．已知 ，求函数 的零点．
思考6．零点存在性的探索：
（1）观察二次函数 的图象：
① = , = , 0 在区间 上 (有/无)零点.
② 0（<或>） 在区间 上 (有/无)零点.
（2）观察函数 的图象：
（1）在区间 上 (有/无)零点；
0（“<”或“>”）。
（2）在区间 上 (有/无)零点；
0（“<”或“>”）。
（3）在区间 上 (有/无)零点；
0（“<”或“>”）。
由以上的探索你可以得出什么结论?
2．零点的存在性定理：一般地，若函数 在 ，且 ，则称函数 在区间 上有零点。
思考7．试求出函数 的正零点（精确到0.1）。
3．二分法：对于在区间 上不间断，且 0的函数 ，通过不断把零点所在的区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点 的方法。

三、典例欣赏：
例1．求证：二次函数 有两个不同的零点．

变题1：求证：函数 在区间 上存在零点．


变题2：判断函数 在区间 上是否存在零点．


变题3：求证：无论a取什么实数，二次函数 都有两个零点 ，并求出 最小时的二次函数的解析式。


例2．如图：这是一个二次函数 的图象：（1）写出这个二次函数的零点；（2）写出这个二次函数的解析式；（3）分别比较 ， 与0的大小关系。


例3．证明方程 在区间 内有惟一一个实数根，并求出这个实数根（精确到0.1）。



【针对训练】 班级 姓名 学号
1．二次函数 的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，则三角形ABC的面积为____________________.
2．一次函数 与二次函数 的图象交点个数为____________.
3．抛物线 与x轴有两个交点，则m的取值范围是______________.
4．若二次函数 满足 ，且 有两实根 ， 则 _ .
5． 与x轴无交点，则一次函数 的图象不经过第_____象限.
6．已知函数 在区间 上的最小值为2，则该函数的零点个数有 个。
7．用二分法求方程 在区间[1，3]内的实根，取区间中点 ，那么下一个有根区间是 （2，3）
8．用二分法研究函数 的零点时，若第一次经计算得 ，（其中 ），可以得到其中一个零点 ，第二次应计算
9．证明：（1）函数 有两个不同的零点；
（2）函数 在区间 上有零点。


10．已知抛物线 与x轴有两个不同的交点，(1)求m的取值范围；
(2)抛物线与x轴相交于点A，B，且B点的坐标为（3，0）求出A点的坐标，抛物线的对称轴和顶点坐标。


11．已知二次函数 ，其中 为实数。
（1）证明对任意实数 ，这个二次函数必有两个零点；
（2）若两个零点分别为 ，且 的倒数和为 ，求这个二次函数的解析式。