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函数的零点

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§2.5 函数的零点(一)
【学习目标】:
理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程根的关系,掌握零点存在的判定条件.

【过程】:
一、复习引入:
1.试解出下列方程的近似解:(1) (2)
2.二次函数的解析式:
(1)一般式 (2)顶点式 (3)零点式

二、新课讲授:
思考1.下列两个问题的结果是否相同:
(1)求一元二次方程 的根;
(2)求二次函数 的图象与 轴的交点的横坐标。
1.零点定义:一般地,我们把 称为函数 的零点。
思考2.判断下列函数的零点的个数:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) .
思考3.函数 的零点与方程 及函数 的图象有何关系?
思考4.函数 的零点是点还是数?
思考5.已知 ,求函数 的零点.
思考6.零点存在性的探索:
(1)观察二次函数 的图象:
① = , = , 0 在区间 上 (有/无)零点.
② 0(<或>) 在区间 上 (有/无)零点.
(2)观察函数 的图象:
(1)在区间 上 (有/无)零点;
0(“<”或“>”)。
(2)在区间 上 (有/无)零点;
0(“<”或“>”)。
(3)在区间 上 (有/无)零点;
0(“<”或“>”)。
由以上的探索你可以得出什么结论?
2.零点的存在性定理:一般地,若函数 在 ,且 ,则称函数 在区间 上有零点。
思考7.试求出函数 的正零点(精确到0.1)。
3.二分法:对于在区间 上不间断,且 0的函数 ,通过不断把零点所在的区间 ,使区间的两个端点 ,进而得到零点 的方法。

三、典例欣赏:
例1.求证:二次函数 有两个不同的零点.

变题1:求证:函数 在区间 上存在零点.


变题2:判断函数 在区间 上是否存在零点.


变题3:求证:无论a取什么实数,二次函数 都有两个零点 ,并求出 最小时的二次函数的解析式。


例2.如图:这是一个二次函数 的图象:(1)写出这个二次函数的零点;(2)写出这个二次函数的解析式;(3)分别比较 , 与0的大小关系。


例3.证明方程 在区间 内有惟一一个实数根,并求出这个实数根(精确到0.1)。



【针对训练】 班级 姓名 学号
1.二次函数 的图象交x轴于A、B两点,交y轴于C点,则三角形ABC的面积为____________________.
2.一次函数 与二次函数 的图象交点个数为____________.
3.抛物线 与x轴有两个交点,则m的取值范围是______________.
4.若二次函数 满足 ,且 有两实根 , 则 _ .
5. 与x轴无交点,则一次函数 的图象不经过第_____象限.
6.已知函数 在区间 上的最小值为2,则该函数的零点个数有 个。
7.用二分法求方程 在区间[1,3]内的实根,取区间中点 ,那么下一个有根区间是 (2,3)
8.用二分法研究函数 的零点时,若第一次经计算得 ,(其中 ),可以得到其中一个零点 ,第二次应计算
9.证明:(1)函数 有两个不同的零点;
(2)函数 在区间 上有零点。


10.已知抛物线 与x轴有两个不同的交点,(1)求m的取值范围;
(2)抛物线与x轴相交于点A,B,且B点的坐标为(3,0)求出A点的坐标,抛物线的对称轴和顶点坐标。


11.已知二次函数 ,其中 为实数。
(1)证明对任意实数 ,这个二次函数必有两个零点;
(2)若两个零点分别为 ,且 的倒数和为 ,求这个二次函数的解析式。

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