反比例函数及其图像性质
教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
本节的重点是结合图象，总结出反比例函数的性质.学习了前面三个基本函数后，学生有了一些识图的能力，并掌握了基本的研究方法.学生在经历了一个画图的过程后，可以通过观察、分析、与同学的相互讨论、交流中，逐步形成对反比例函数的全面认识.可以培养学生运用数形结合的数学思想方法，也是一个数学地发现问题解决问题的过程.本节的另一个重点是用待定系数法求反比例函数的解析式，这种方法在求四种基本函数解析式中都已经用到，本节课通过巩固练习，可进一步提高对待定系数法的认识.例如学生可以观察出有几个待定系数，就需要几对自变量与函数的对应值，即几个方程.
本节的难点是描点、画图，由于学生知识的限制，描点、画图不能对图形有一个全面的把握.这样，学生在描点画图时就会感到困难，无法估计出这个图象到底是什么样子，感到无从下手.因此，从解析式中可以进行初步的分析，认识到反比例函数的图象分成两支，以便初步认识其图象的大致变化趋势.
教法建议
数学教育的目的之一是帮助学生认识数学，数学与现实世界有着密切的联系，而且数学的发展是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程，因此，学生在获得知识的同时，也应该养成尊重客观事实的态度，勇于探索的精神以及独立思考与人合作交流的习惯.具体安排如下：
(1)从实例中抽象出数学模型
小学学习过反比例关系的知识，现在的物理、化学等学科中也有许多反比比例的实例.学生可以从比较简单的实例中，抽象出这类函数的特点，形成反比例函数的概念.
(2)画出图象，研究反比例函数的性质
可以创设数学情境，引导学生找出数与形的关系.如：k>0时，x与y同号，图象在一、三象限，k<0时，x、y异号，图象在二、四象限.类似的结论，可以在画图前，先组织学生猜测，并说明根据，画图后，再进行补充.让学生体验数学知识的形成过程.
(3)牢固掌握待定系数法
进一步熟悉待定系数法解题的一般步骤，并通过不断地运用，逐渐发现有几个待定系数，就应列出几个相应的方程.这样反比例函数只需一对自变量与函数的对应值就可确定其解析式.
目标
1、使学生能从简单的实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式；
2、会画出反比例函数的图象，并能结合图象总结出反比例函数的性质，渗透数形结合的数学思想；.
3、会用待定系数法求反比例函数的解析式；
4、通过揭示正比例函数与反比例函数的联系与转化，渗透辩证唯物主义的思想；
5、通过观察、归纳、总结反比例函数的性质，培养学生勇于探索的科学精神；
6、培养学生数学地发现问题，并利用数学知识解决问题的能力.
重点：
反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式.因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题.
教学难点：
画反比例函数的图像，因为反比例函数的图像有两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难.
教学过程：
一、新课引入：
看下面的实例：（出示幻灯）
1．小红家到学校的路程有5公里，写出她上学所用的时间t与速度v的函数关系式；
2．有一个矩形面积是3平方米，写出它的长a与宽b之间的函数关系式；
3．十一放七天假，老师布置要记忆36个单词.设小明完成的天数为n，每天的单词量为m，写出m 与n 的函数关系式？
答：从函数的观点看，在运动变化的过程中，这两个变量可以分别看成自变量与函数，写成： （ ）， （ ）， （ ）
二、新课讲解：
1、让学生观察这几个函数的特点，然后得出反比例函数的概念：（板书）
一般地，函数 （k是常数， ）叫做反比例函数.
注意：自变量的指数是 -1，而不是1.
例1、判断以下哪个式子中的x、y表示反比例函数关系？
⑴ ⑵ ⑶
例2、写出下列函数的解析式，并判断他们是不是反比例函数，如果是，求出他们的定义域.
⑴一个圆柱形钢材的体积是800cm3,写出它的底面积 和高 的函数关系.⑵压强大小是由单位面积所受到的压力决定的，那么当物体受到的垂直压力为100牛时，写出压强与受力面积的函数关系.
2、根据前面学习特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研究的是什么？
答：图像和性质．
通过这个问题，使学生对课本上给出的知识的发生、发展过程有一个明确的认识，以后
学生要研究其他函数，也可以按照这种方式来研究．
下面，我们就来看一个例题：（出示幻灯）
例3、在平面直角坐标系中画出反比例函数 与 的图像．
提问：⑴画函数图像的关键问题是什么？
答：合理、正确地选值列表．
⑵在选值时，你认为要注意什么问题？
答：Ⅰ、由于函数图像的特点还不清楚，多选几个点较好；
Ⅱ、不能选 ，因为 时函数无意义；
Ⅲ、选整数较好计算和描点．
这个问题中最核心的一点是关于 的问题，提醒学生注意．
⑶你能不能自己完成这道题呢？
解：列表
x-6-5-4-3123456
-1-1.2-1.5-26321.51.21
11.21.52-6-3-2-1.5-1.21
说明：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图象.取点的时候最好多取几个，正负可以对称着取分别画点描图
学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让学生先连完线之后，找一名同学上黑板连线，然后就这名同学的连线加以评价、总结.
注意：（1）一般地反比例函数 （k是常数， ）的图象由两条曲线组成，叫做双曲线；
（2）这两条曲线不相交；
（3）这两条曲线无限延伸，无限靠近x轴和y轴，但永不会与x轴和y轴相交．
关于注意（3）可问学生：为什么图像与x和y轴不相交？
通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆又可培养学生思维的灵活性和深刻性．
3、再让学生观察黑板上的双曲线图 ，提问、归纳、总结出反比例函数的性质：
（1）当 时，双曲线的两个分支各在哪个象限内？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？
（2）当 时，双曲线的两个分支各在哪个象限内？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？
这两个问题由学生讨论总结之后回答，教师板书：
（1）当 时，双曲线的两分支位于一、三象限，y随x的增大而减少；
从解析式中，也可以得出这个结论：xy=k，即x与y同号，因此，图象在第一、三象限.
（2）当 时，双曲线的两分支位于二、四象限，y随x的增大而增大.
抓住机会，说明数与形的统一，也渗透了数形结合的数学思想方法.体现了由特殊到一般的研究过程.
注意：同样可以推出函数 的图象的性质.
4、反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？
通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用．
5、反比例函数的简单练习：
上面，我们讨论了反比例函数的概念、图像和性质，下面我们再来看一个不同类型的例题：
例4、选择题：
1、在同一坐标系内，函数 与 的图象的交点个数为( ).
(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D)4个
2、若反比例函数 的图象在它所在的象限内，y随x的增大而增大，则m的值是（ ）
（A）-2． （B）2． （C）±2． （D）以上结果都不对．
三、课堂小结：教师提问，学生思考回答：
1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的图像是什么样的？
3．反比例函数 的性质是什么？
4．命题方向及题型设置，反比例函数也是中考命题的主要考点，其图像和性质，以及其函数解析式的确定，常以填空题、选择题出现，在低档题中，近两年各省、市的中考试卷中出现不少将反比例函数与一次函数、几何知识、三角知识等综合编拟的解答题，丰富了压轴题的形式和内容.
四、布置作业P80 练习1，2
五、板书设计
反比例函数及其图像
引例：（1）例1： 例2： 例3：
例4：
1．反比例函数的图象：
2．反比例函数的性质
六、补充材料：
马尔克广场上的游戏
在世界著名的水都威尼司斯，有个马尔克广场.广场的一端有一座宽82米的雄伟教堂.教堂的前面是一方开阔地.这片开阔地经常吸引着四方游人到这里做一种奇特的游戏：把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端教堂走去，看谁能到达教堂的正前面！
奇怪的是，尽管这段距离只有175米，但却没有一名游客能幸运地做到这一点！全都如下图那般，走成了弧线，或左或右，偏斜到了一边！
类似的情形也有很多，这与俗话说的鬼打墙类似.有许多人在沙漠或雪地里，由于迷失方向而在原地打圈子，这一切近乎玩笑般的遭遇，终于引起了科学家的注意.
公元1896年，挪威生理学家古德贝对闭眼打转的问题进行深入的探讨.他搜集了大量的事例后分析说：这一切都是由于人自身两条腿在作怪！长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子长一段微不足道的距离.而正是这一段很小的步差x，导致了这个人走出一个半径为y的大圈子！
现在我们将这个过程数学化，研究一下x与y之间的函数关系.
假定某个两脚踏线间相隔为d.很显然，当人在打圈子时，两只脚实际上走出了两个半径相差为d的同心圆.设该人平均步长为1.那么，一方面这个人外脚比内脚多走路程
另一方面，这段路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，
即：
对一般的人， 米， 米，代入得（单位米）
这就是所求的迷路人打圈子的半径公式.是我们学过的反比例函数(图象如下图).今设迷路人两脚步差为 毫米，仅此微小的差异，就足以使他在大约三公里的范围内绕圈子！
让我们回到那个马克尔广场的游戏上来.我们先计算一下，当人们闭起眼睛，从广场一端中央的M点，要想抵达教堂CD，最小的弧线半径应该是多少？
如图，注意到矩形ABCD边BC=175（米）， （米）．上述问题可以转化成几何中的命题：已知 与 ．求 的半径 的大小．
这就说,游人要想成功,他所走弧线半径必须不小于394米．我们再来计算一下，要达到上述要求，游人的两脚步差需要什么限制．
这表明游人的两只脚步差必须小于 毫米，否则就难以成功．然而在闭眼的情况下两脚这么小的步差一般人是达不到的，这就是在游戏中为什么没有人能够蒙上眼睛走到教堂前面的道理。
教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
本节的重点是结合图象，总结出反比例函数的性质.学习了前面三个基本函数后，学生有了一些识图的能力，并掌握了基本的研究方法.学生在经历了一个画图的过程后，可以通过观察、分析、与同学的相互讨论、交流中，逐步形成对反比例函数的全面认识.可以培养学生运用数形结合的数学思想方法，也是一个数学地发现问题解决问题的过程.本节的另一个重点是用待定系数法求反比例函数的解析式，这种方法在求四种基本函数解析式中都已经用到，本节课通过巩固练习，可进一步提高对待定系数法的认识.例如学生可以观察出有几个待定系数，就需要几对自变量与函数的对应值，即几个方程.
本节的难点是描点、画图，由于学生知识的限制，描点、画图不能对图形有一个全面的把握.这样，学生在描点画图时就会感到困难，无法估计出这个图象到底是什么样子，感到无从下手.因此，从解析式中可以进行初步的分析，认识到反比例函数的图象分成两支，以便初步认识其图象的大致变化趋势.
教法建议
数学教育的目的之一是帮助学生认识数学，数学与现实世界有着密切的联系，而且数学的发展是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程，因此，学生在获得知识的同时，也应该养成尊重客观事实的态度，勇于探索的精神以及独立思考与人合作交流的习惯.具体安排如下：
(1)从实例中抽象出数学模型
小学学习过反比例关系的知识，现在的物理、化学等学科中也有许多反比比例的实例.学生可以从比较简单的实例中，抽象出这类函数的特点，形成反比例函数的概念.
(2)画出图象，研究反比例函数的性质
可以创设数学情境，引导学生找出数与形的关系.如：k>0时，x与y同号，图象在一、三象限，k<0时，x、y异号，图象在二、四象限.类似的结论，可以在画图前，先组织学生猜测，并说明根据，画图后，再进行补充.让学生体验数学知识的形成过程.
(3)牢固掌握待定系数法
进一步熟悉待定系数法解题的一般步骤，并通过不断地运用，逐渐发现有几个待定系数，就应列出几个相应的方程.这样反比例函数只需一对自变量与函数的对应值就可确定其解析式.
目标
1、使学生能从简单的实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式；
2、会画出反比例函数的图象，并能结合图象总结出反比例函数的性质，渗透数形结合的数学思想；.
3、会用待定系数法求反比例函数的解析式；
4、通过揭示正比例函数与反比例函数的联系与转化，渗透辩证唯物主义的思想；
5、通过观察、归纳、总结反比例函数的性质，培养学生勇于探索的科学精神；
6、培养学生数学地发现问题，并利用数学知识解决问题的能力.
重点：
反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式.因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题.
教学难点：
画反比例函数的图像，因为反比例函数的图像有两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难.
教学过程：
一、新课引入：
看下面的实例：（出示幻灯）
1．小红家到学校的路程有5公里，写出她上学所用的时间t与速度v的函数关系式；
2．有一个矩形面积是3平方米，写出它的长a与宽b之间的函数关系式；
3．十一放七天假，老师布置要记忆36个单词.设小明完成的天数为n，每天的单词量为m，写出m 与n 的函数关系式？
答：从函数的观点看，在运动变化的过程中，这两个变量可以分别看成自变量与函数，写成： （ ）， （ ）， （ ）
二、新课讲解：
1、让学生观察这几个函数的特点，然后得出反比例函数的概念：（板书）
一般地，函数 （k是常数， ）叫做反比例函数.
注意：自变量的指数是 -1，而不是1.
例1、判断以下哪个式子中的x、y表示反比例函数关系？
⑴ ⑵ ⑶
例2、写出下列函数的解析式，并判断他们是不是反比例函数，如果是，求出他们的定义域.
⑴一个圆柱形钢材的体积是800cm3,写出它的底面积 和高 的函数关系.⑵压强大小是由单位面积所受到的压力决定的，那么当物体受到的垂直压力为100牛时，写出压强与受力面积的函数关系.
2、根据前面学习特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研究的是什么？
答：图像和性质．
通过这个问题，使学生对课本上给出的知识的发生、发展过程有一个明确的认识，以后
学生要研究其他函数，也可以按照这种方式来研究．
下面，我们就来看一个例题：（出示幻灯）
例3、在平面直角坐标系中画出反比例函数 与 的图像．
提问：⑴画函数图像的关键问题是什么？
答：合理、正确地选值列表．
⑵在选值时，你认为要注意什么问题？
答：Ⅰ、由于函数图像的特点还不清楚，多选几个点较好；
Ⅱ、不能选 ，因为 时函数无意义；
Ⅲ、选整数较好计算和描点．
这个问题中最核心的一点是关于 的问题，提醒学生注意．
⑶你能不能自己完成这道题呢？
解：列表
x-6-5-4-3123456
-1-1.2-1.5-26321.51.21
11.21.52-6-3-2-1.5-1.21
说明：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图象.取点的时候最好多取几个，正负可以对称着取分别画点描图
学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让学生先连完线之后，找一名同学上黑板连线，然后就这名同学的连线加以评价、总结.
注意：（1）一般地反比例函数 （k是常数， ）的图象由两条曲线组成，叫做双曲线；
（2）这两条曲线不相交；
（3）这两条曲线无限延伸，无限靠近x轴和y轴，但永不会与x轴和y轴相交．
关于注意（3）可问学生：为什么图像与x和y轴不相交？
通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆又可培养学生思维的灵活性和深刻性．
3、再让学生观察黑板上的双曲线图 ，提问、归纳、总结出反比例函数的性质：
（1）当 时，双曲线的两个分支各在哪个象限内？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？
（2）当 时，双曲线的两个分支各在哪个象限内？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？
这两个问题由学生讨论总结之后回答，教师板书：
（1）当 时，双曲线的两分支位于一、三象限，y随x的增大而减少；
从解析式中，也可以得出这个结论：xy=k，即x与y同号，因此，图象在第一、三象限.
（2）当 时，双曲线的两分支位于二、四象限，y随x的增大而增大.
抓住机会，说明数与形的统一，也渗透了数形结合的数学思想方法.体现了由特殊到一般的研究过程.
注意：同样可以推出函数 的图象的性质.
4、反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？
通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用．
5、反比例函数的简单练习：
上面，我们讨论了反比例函数的概念、图像和性质，下面我们再来看一个不同类型的例题：
例4、选择题：
1、在同一坐标系内，函数 与 的图象的交点个数为( ).
(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D)4个
2、若反比例函数 的图象在它所在的象限内，y随x的增大而增大，则m的值是（ ）
（A）-2． （B）2． （C）±2． （D）以上结果都不对．
三、课堂小结：教师提问，学生思考回答：
1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的图像是什么样的？
3．反比例函数 的性质是什么？
4．命题方向及题型设置，反比例函数也是中考命题的主要考点，其图像和性质，以及其函数解析式的确定，常以填空题、选择题出现，在低档题中，近两年各省、市的中考试卷中出现不少将反比例函数与一次函数、几何知识、三角知识等综合编拟的解答题，丰富了压轴题的形式和内容.
四、布置作业P80 练习1，2
五、板书设计
反比例函数及其图像
引例：（1）例1： 例2： 例3：
例4：
1．反比例函数的图象：
2．反比例函数的性质
六、补充材料：
马尔克广场上的游戏
在世界著名的水都威尼司斯，有个马尔克广场.广场的一端有一座宽82米的雄伟教堂.教堂的前面是一方开阔地.这片开阔地经常吸引着四方游人到这里做一种奇特的游戏：把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端教堂走去，看谁能到达教堂的正前面！
奇怪的是，尽管这段距离只有175米，但却没有一名游客能幸运地做到这一点！全都如下图那般，走成了弧线，或左或右，偏斜到了一边！
类似的情形也有很多，这与俗话说的鬼打墙类似.有许多人在沙漠或雪地里，由于迷失方向而在原地打圈子，这一切近乎玩笑般的遭遇，终于引起了科学家的注意.
公元1896年，挪威生理学家古德贝对闭眼打转的问题进行深入的探讨.他搜集了大量的事例后分析说：这一切都是由于人自身两条腿在作怪！长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子长一段微不足道的距离.而正是这一段很小的步差x，导致了这个人走出一个半径为y的大圈子！
现在我们将这个过程数学化，研究一下x与y之间的函数关系.
假定某个两脚踏线间相隔为d.很显然，当人在打圈子时，两只脚实际上走出了两个半径相差为d的同心圆.设该人平均步长为1.那么，一方面这个人外脚比内脚多走路程
另一方面，这段路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，
即：
对一般的人， 米， 米，代入得（单位米）
这就是所求的迷路人打圈子的半径公式.是我们学过的反比例函数(图象如下图).今设迷路人两脚步差为 毫米，仅此微小的差异，就足以使他在大约三公里的范围内绕圈子！
让我们回到那个马克尔广场的游戏上来.我们先计算一下，当人们闭起眼睛，从广场一端中央的M点，要想抵达教堂CD，最小的弧线半径应该是多少？
如图，注意到矩形ABCD边BC=175（米）， （米）．上述问题可以转化成几何中的命题：已知 与 ．求 的半径 的大小．
这就说,游人要想成功,他所走弧线半径必须不小于394米．我们再来计算一下，要达到上述要求，游人的两脚步差需要什么限制．
这表明游人的两只脚步差必须小于 毫米，否则就难以成功．然而在闭眼的情况下两脚这么小的步差一般人是达不到的，这就是在游戏中为什么没有人能够蒙上眼睛走到教堂前面的道理。
