j.Co M
形如 （ ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基 本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法．
求根公式 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美．
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法．
【例题求解】
【例1】满足 的整数n有 个．
思路点拨 从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程．
【例2】设 、 是二次方 程 的两个根，那么 的值等于（ ）
A． 一4 B．8 C．6 D．0
思路点拨 求出 、 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如 ， ．
【例3】 解关于 的方程 ．
思路点拨 因不知晓原方程的类型，故需分 及 两种情况讨论．
【例4】设方程 ，求满足该方程的所有根之和．
思路点拨 通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解．
【例5】 已知实数 、 、 、 互不相等，且 ， 试求 的值．
思路点拨 运用连等式，通过迭代把 、 、 用 的代数式表示，由解方程求得 的值．
注： 一元二次方程常见的变形形式有：
(1)把方程 （ ）直接作零值多项式代换；
(2)把方程 （ ）变形为 ，代换后降次；
(3)把方程 （ ）变形为 或 ，代换后使之转化关系或整体地消去 ．
解合字母系数方程 时，在未指明方程类型时，应分 及 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如 ．
学历训练
1．已 知 、 是实数，且 ，那么关于 的方程 的根为 ．
2．已知 ，那么代数式 的值是 ．
3．若 ， ，则 的值为 ．
4．若两个方程 和 只有一个公共根，则( )
A． B． C． D．
5．当分式 有意义时， 的取值范围是( )
A． B． C． D． 且
6．方程 的实根的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
7．解下列关于 的方程：
(1) ；
(2) ； (3) ．
8．已知 ，求代数式 的值．
9．是否存在某个实数m，使得方程 和 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．
注： 解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过 消去二次项寻找解题突破口．
10．若 ，则 ＝ ．
11．已知 、 是有理数，方程 有一个根是 ，则 的值为 ．
12．已知 是方程 的一个正根。则代数式 的值为 ．
13．对于方程 ，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于( )
A．1 n．2 C． D．2．5
14．自然数 满足 ，这样的 的个数是( )
A．2 B．1 C．3 D．4
15．已知 、 都是负实数 ，且 ，那么 的值是( )
A． B． C． D．
16．已知 ，求 的值．
20．如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC= S矩 形PQRS，其中 为不小于3的自然数．求证： 需为无理数．
参考答案
形如 （ ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基 本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法．
求根公式 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美．
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法．
【例题求解】
【例1】满足 的整数n有 个．
思路点拨 从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程．
【例2】设 、 是二次方 程 的两个根，那么 的值等于（ ）
A． 一4 B．8 C．6 D．0
思路点拨 求出 、 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如 ， ．
【例3】 解关于 的方程 ．
思路点拨 因不知晓原方程的类型，故需分 及 两种情况讨论．
【例4】设方程 ，求满足该方程的所有根之和．
思路点拨 通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解．
【例5】 已知实数 、 、 、 互不相等，且 ， 试求 的值．
思路点拨 运用连等式，通过迭代把 、 、 用 的代数式表示，由解方程求得 的值．
注： 一元二次方程常见的变形形式有：
(1)把方程 （ ）直接作零值多项式代换；
(2)把方程 （ ）变形为 ，代换后降次；
(3)把方程 （ ）变形为 或 ，代换后使之转化关系或整体地消去 ．
解合字母系数方程 时，在未指明方程类型时，应分 及 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如 ．
学历训练
1．已 知 、 是实数，且 ，那么关于 的方程 的根为 ．
2．已知 ，那么代数式 的值是 ．
3．若 ， ，则 的值为 ．
4．若两个方程 和 只有一个公共根，则( )
A． B． C． D．
5．当分式 有意义时， 的取值范围是( )
A． B． C． D． 且
6．方程 的实根的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
7．解下列关于 的方程：
(1) ；
(2) ； (3) ．
8．已知 ，求代数式 的值．
9．是否存在某个实数m，使得方程 和 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．
注： 解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过 消去二次项寻找解题突破口．
10．若 ，则 ＝ ．
11．已知 、 是有理数，方程 有一个根是 ，则 的值为 ．
12．已知 是方程 的一个正根。则代数式 的值为 ．
13．对于方程 ，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于( )
A．1 n．2 C． D．2．5
14．自然数 满足 ，这样的 的个数是( )
A．2 B．1 C．3 D．4
15．已知 、 都是负实数 ，且 ，那么 的值是( )
A． B． C． D．
16．已知 ，求 的值．
20．如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC= S矩 形PQRS，其中 为不小于3的自然数．求证： 需为无理数．
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