【例题求解】
【例1】 如图，⊙O与⊙O1外切于点T，PT为其内公切线，AB为其外公切线，且A、B为切点，AB与PT相交于点P，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明． (杭州市中考题)
思路点拨 为了能写出更多的正确结论，我们可以从以下几分角度作探索，线段关系，角的关系、三角形的关系及由此推出的相应结论．
注：明确要求将数学开放性题作为中考试题，还是近一二年的事情．开放性问题没有明确的目标和解题方向，留有极大的探索空间．
解开放性问题，不具有定向的解题思路，解题时总要有合情合理、实事求是的分析，要把归纳与演绎协调配合起来，把直觉发现与逻辑推理相互结合起来，把一般能力和数学能力 同时发挥出来．杭州市对本例评分标准是以正确结论的难易程度为标准灵活打分，分值直接反映考生的能力及创新性．
【例2】 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是BD的中点，过A点的切线与CB的延长线交于点E．
(1)求证：AB?DA=CO?BE；
(2)若点E在CB延长线上运动，点A在BD上运动，使切线EA变为割线EFA，其他条件不变，问具备什么条件使原结论成立? (要求画出示意图，注明条件，不要求证明)
(北京市海淀区中考题)
思路点拨 对于(2)，能画出图形尽可能画出图形，要使结论AB?DA=CD?BE成立，即要证△ABE∽△CDA，已有条件∠ABE=∠CDA，还需增加等角条件，这可由多种途径得到．
注：许多开放性问题解题思路也是开放的(多角度、多维度思考)，探索的条件或结论并不惟一．故解开放性问题，应尽可能深入探究，发散思维，提高思维的品质，切忌入宝山而空返．
【例3】(1)如图1，若⊙O1与⊙O2外切于A，BC是⊙O1与⊙O2外公切线，B、C为切点，求证：AB⊥AC．
(2)如图2，若⊙O1与⊙O2外离，BC是⊙O1与⊙O2的外公切线，B、C为切点，连心线O1 O2分别交⊙O1、⊙O2于M、N，BM、CN的延长线交于P，则BP与CP是否垂直?证明你的结论．
(3)如图3，若⊙O1与⊙O2相交，B C是⊙O1与⊙O2的公切线，B、C为切点，连心线O1 O2分别交⊙O1、⊙O2于M、N，Q是线段MN上一点，连结BQ、CQ，则BQ与CQ是否垂直?证明你的结论．
思路点拨 本例是在基本条件不变的情况下，通过运动改变两圆的位置而设计的，在运动变化中，结论可能改变或不变，关键是把(1)的证法类比运用到(2)、(3)问题中．
注：开放性问题还有以下呈现方式：
(1)先提出特殊情况进行研究，再要求归纳猜测和确定一般结论；
(2)先对某一给定条件和结论的问题进行研究，再探讨改变条件时其结论应发生的变化，或改变结论时其条件相应发生的变化．
【例4】 已知直线 ( >0)与 轴、 轴分别交于A、C两点，开口向上的抛物线 过A、C两点，且与 轴交于另一点B．
(1)如果A、B两点到原点O的距离AO、BO满足AO＝3BO，点B到直线AC的距离等于 ，求这条直线和抛物线的解析式；
(2)是否存在这样的抛物线，使得tan∠ACB=2，且△ABC外接圆截得 轴所得的弦长等于5？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
(无锡市 中考题)
思路点拨 (1)通过“点B到直线AC的距离等于 ”，利用等积变换求出A、B两点的距离；(2)先假设存在这样的抛物线，再由条件推理计算求得，最后加以验证即可．
注：解存在性开放问题的基本方法是假设求解法，即假设存在→演绎推理→得出结论(合理或矛盾)．
【 例5】 如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”．在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等．
设等腰三角形的底和腰分别 为 、 ，底角和顶角分别为 、 ．要求“正度”的值是非负数．
同学甲认为：可用式子 来表示“正度”， 的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；
同学乙认为：可用式子 来表示“正度”， 的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．
探究：（1）他们的方案哪个较为合理，为什么?
(2)对你认为不够合理的方案，请加以改进(给出式子即可)；
（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式． (安徽省中考题)
思路点拨 通过，正确理解“正度”这个新概念，同时也要抓住“在研究‘正度’时，应保证相似三角形的‘正度’相等”这句话的实质，可先采取举实例加深对“正度”的理解，再判断方案的合理性并改进方法．
注：（1）解结论开放题往往要充分利用条件进行大胆而合理的猜想，通过观察、比较、联想、猜测、推理和截判断等探索活动，发现规律，得出结论．
（2） 是学习的重要途径，在这种阅读型研究性问题中，涌现了许多介绍新的知识和新的研究方法的问题，能极大地开阔我们的视野．
（3）研究性学习是课程改革的一个亮点，研究性学习是美国芝加哥大学教授施瓦布在《作为探究的科学教学》的演讲时提出的．他主张引导学生直接用科学研究的方式 进行教学，即设定情境、提出问题、分析问题、设计实验、验证假设、分析结果、得出结论．研究性问题是近年中考中出现的一种新题型，它要求我们适应新情况，通过实践，增强探究和创新意识，学习科学研究方法．
学力训练
1．如图， 是四边形ABCD的对称轴，如果AD∥BC，有下列结论：
①AB∥CD，②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC．
其中正确的是 ．
(把你认为正确的结论的序号都填上) (安徽省中考题)
2．如图，是一个边长为 的小正方形与两个长、宽分别为 、 的小矩形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式：① ；② ；③ ．
(泉州市中考题)
3．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线 ；
乙：与 轴两个交点的横坐标 都是整数；
丙：与 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： ．
(北京市东城区中考题)
4．如图，已知AB为⊙O的直径，直线 与⊙O相切于点D，AC⊥ 于C，AC交⊙O于点E，DF⊥AB于F．
(1)图中哪条线段与BF相等?试证明你的结论；
(2)若AE=3，CD=2，求⊙O的直径．
(威海市中考题)
5．在一个服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料(如图)．现找出其中的一种，测得∠C=90°，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径(只要求画出图形，并直接写出扇形半径)．
(黄冈市中考题)
6．如图，抛物线 与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)( x1<0
(2)若点D在此抛物线上，且AD∥CB．
①求D点的坐标；
②在x轴下方的抛物线上，是否存在点P使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等?若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
(连云港市中考题)
7．给定四个命题：①sinl5°与sin 75°的平方和为1；②函数 的最小值为-10；③ ；④ ，则x=10”，其中错误的命题的个数是 ．
(“我爱数学”初中生夏令营试题)
8．①在实数范围内，一元二次方程 的根为 ；②在△ABC中，若AC2+BC2>AB2，则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和△ AB1C1中， 、 、 分别为△ABC的三边， 、 、 分别为△AB1C1的三边，若 > ， > ， > ，则△ABC的面积大S于△AB1C1的面积S1．以上三个命题中，真命题的个数是( )
(全国初中数学联赛试题)
A．0 B．1 C．2 D．3
9．已知：AB是⊙O的直径，AP、AQ是⊙O的两条弦，如图1，经过B做⊙O的切线 ，分别交直线AP、AQ于点M、N．可以得出结论AP?AM＝AQ?AN成立．
(1)若将直线 向上平行移动，使直线 与⊙O相交，如图2所示，其他条件不变，上述结论是否成立?若成立，写出证明，若不成立，说明理由；
(2)若将直线 继续向上平行移动，使直线 与⊙O相离，其他条件不变，请在图3上画出符合条件的图形，上述结论成立吗?若成立，写出证明；若不成立，说明理由．
10．如图，已知圆心A(0，3 )， A与 轴相切，⊙B的圆心在 轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交 轴于点M，交 轴于点N．
（1）若sin∠OAB= ，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式；
(2)若A的位置大小不变，⊙B的圆心在 轴的正半轴上移动，并使⊙B与⊙A始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C在此变化过程中探究：
①四边形 OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明；
②经过M、N、B点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形?若存在，表示出来；若不存在，说明理由． (山西省中考题)
11．有一张矩形纸片ABCD，E、F、分别是BC、AD上的点( 但不与顶点重合)，若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB= ，AD= ，BE= ．
(1)求证：AF=EC；
(2)用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE'B'C．
①当 为何值时，直线E'E经过原矩形的一个顶点?
②在直线E'E经过原矩形的一个顶点的情形下，连结BE'，直线BE'与EF是否平行?你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当 与 有何种数量关系时，它们就垂直?
(江西省中考题)
12．(1)证明：若 取任意整数时 ，二次函数 总取整数值，那么， 、 、 都是整数．
(2)写出上述命题的逆命题，且证明你的结论． (全国初中数学竞赛题)
13．已知四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16．
(1)这样的四边形有几个?
(2)求这样的四边形边长的平方和的最小值． (全国初中数学联赛题)
