欢迎您访问教学资源网(www.jxzy.wang)
首页 > 教案设计 > 数学教案设计 > 九年级数学竞赛开放性问题评说辅导教案

九年级数学竞赛开放性问题评说辅导教案

网友 分享 时间: 加入收藏 我要投稿 点赞

【例题求解】
【例1】 如图,⊙O与⊙O1外切于点T,PT为其内公切线,AB为其外公切线,且A、B为切点,AB与PT相交于点P,根据图中所给出的已知条件及线段,请写出一个正确结论,并加以证明. (杭州市中考题)
思路点拨 为了能写出更多的正确结论,我们可以从以下几分角度作探索,线段关系,角的关系、三角形的关系及由此推出的相应结论.

注:明确要求将数学开放性题作为中考试题,还是近一二年的事情.开放性问题没有明确的目标和解题方向,留有极大的探索空间.
解开放性问题,不具有定向的解题思路,解题时总要有合情合理、实事求是的分析,要把归纳与演绎协调配合起来,把直觉发现与逻辑推理相互结合起来,把一般能力和数学能力 同时发挥出来.杭州市对本例评分标准是以正确结论的难易程度为标准灵活打分,分值直接反映考生的能力及创新性.
【例2】 如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,A是BD的中点,过A点的切线与CB的延长线交于点E.
(1)求证:AB?DA=CO?BE;
(2)若点E在CB延长线上运动,点A在BD上运动,使切线EA变为割线EFA,其他条件不变,问具备什么条件使原结论成立? (要求画出示意图,注明条件,不要求证明)
(北京市海淀区中考题)
思路点拨 对于(2),能画出图形尽可能画出图形,要使结论AB?DA=CD?BE成立,即要证△ABE∽△CDA,已有条件∠ABE=∠CDA,还需增加等角条件,这可由多种途径得到.


注:许多开放性问题解题思路也是开放的(多角度、多维度思考),探索的条件或结论并不惟一.故解开放性问题,应尽可能深入探究,发散思维,提高思维的品质,切忌入宝山而空返.

【例3】(1)如图1,若⊙O1与⊙O2外切于A,BC是⊙O1与⊙O2外公切线,B、C为切点,求证:AB⊥AC.
(2)如图2,若⊙O1与⊙O2外离,BC是⊙O1与⊙O2的外公切线,B、C为切点,连心线O1 O2分别交⊙O1、⊙O2于M、N,BM、CN的延长线交于P,则BP与CP是否垂直?证明你的结论.
(3)如图3,若⊙O1与⊙O2相交,B C是⊙O1与⊙O2的公切线,B、C为切点,连心线O1 O2分别交⊙O1、⊙O2于M、N,Q是线段MN上一点,连结BQ、CQ,则BQ与CQ是否垂直?证明你的结论.

思路点拨 本例是在基本条件不变的情况下,通过运动改变两圆的位置而设计的,在运动变化中,结论可能改变或不变,关键是把(1)的证法类比运用到(2)、(3)问题中.


注:开放性问题还有以下呈现方式:
(1)先提出特殊情况进行研究,再要求归纳猜测和确定一般结论;
(2)先对某一给定条件和结论的问题进行研究,再探讨改变条件时其结论应发生的变化,或改变结论时其条件相应发生的变化.
【例4】 已知直线 ( >0)与 轴、 轴分别交于A、C两点,开口向上的抛物线 过A、C两点,且与 轴交于另一点B.
(1)如果A、B两点到原点O的距离AO、BO满足AO=3BO,点B到直线AC的距离等于 ,求这条直线和抛物线的解析式;
(2)是否存在这样的抛物线,使得tan∠ACB=2,且△ABC外接圆截得 轴所得的弦长等于5?若存在,求出这样的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
(无锡市 中考题)

思路点拨 (1)通过“点B到直线AC的距离等于 ”,利用等积变换求出A、B两点的距离;(2)先假设存在这样的抛物线,再由条件推理计算求得,最后加以验证即可.



注:解存在性开放问题的基本方法是假设求解法,即假设存在→演绎推理→得出结论(合理或矛盾).
【 例5】 如图,这些等腰三角形与正三角形的形状有差异,我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”.在研究“正度”时,应保证相似三角形的“正度”相等.


设等腰三角形的底和腰分别 为 、 ,底角和顶角分别为 、 .要求“正度”的值是非负数.
同学甲认为:可用式子 来表示“正度”, 的值越小,表示等腰三角形越接近正三角形;
同学乙认为:可用式子 来表示“正度”, 的值越小,表示等腰三角形越接近正三角形.
探究:(1)他们的方案哪个较为合理,为什么?
(2)对你认为不够合理的方案,请加以改进(给出式子即可);
(3)请再给出一种衡量“正度”的表达式. (安徽省中考题)
思路点拨 通过,正确理解“正度”这个新概念,同时也要抓住“在研究‘正度’时,应保证相似三角形的‘正度’相等”这句话的实质,可先采取举实例加深对“正度”的理解,再判断方案的合理性并改进方法.


注:(1)解结论开放题往往要充分利用条件进行大胆而合理的猜想,通过观察、比较、联想、猜测、推理和截判断等探索活动,发现规律,得出结论.
(2) 是学习的重要途径,在这种阅读型研究性问题中,涌现了许多介绍新的知识和新的研究方法的问题,能极大地开阔我们的视野.
(3)研究性学习是课程改革的一个亮点,研究性学习是美国芝加哥大学教授施瓦布在《作为探究的科学教学》的演讲时提出的.他主张引导学生直接用科学研究的方式 进行教学,即设定情境、提出问题、分析问题、设计实验、验证假设、分析结果、得出结论.研究性问题是近年中考中出现的一种新题型,它要求我们适应新情况,通过实践,增强探究和创新意识,学习科学研究方法.

学力训练
1.如图, 是四边形ABCD的对称轴,如果AD∥BC,有下列结论:
①AB∥CD,②AB=BC;③AB⊥BC;④AO=OC.
其中正确的是 .
(把你认为正确的结论的序号都填上) (安徽省中考题)

2.如图,是一个边长为 的小正方形与两个长、宽分别为 、 的小矩形ABCD,则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式,请你写出其中任意三个等式:① ;② ;③ .
(泉州市中考题)
3.有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:
甲:对称轴是直线 ;
乙:与 轴两个交点的横坐标 都是整数;
丙:与 轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式: .
(北京市东城区中考题)
4.如图,已知AB为⊙O的直径,直线 与⊙O相切于点D,AC⊥ 于C,AC交⊙O于点E,DF⊥AB于F.
(1)图中哪条线段与BF相等?试证明你的结论;
(2)若AE=3,CD=2,求⊙O的直径.
(威海市中考题)
5.在一个服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料(如图).现找出其中的一种,测得∠C=90°,AC=BC=4,今要从这种三角形中剪出一种扇形,做成不同形状的玩具,使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上,且扇形的弧与△ABC的其他边相切,请设计出所有可能符合题意的方案示意图,并求出扇形的半径(只要求画出图形,并直接写出扇形半径).
(黄冈市中考题)
6.如图,抛物线 与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0)( x1<0 (1)求此抛物线的解析式;
(2)若点D在此抛物线上,且AD∥CB.
①求D点的坐标;
②在x轴下方的抛物线上,是否存在点P使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由.
(连云港市中考题)

7.给定四个命题:①sinl5°与sin 75°的平方和为1;②函数 的最小值为-10;③ ;④ ,则x=10”,其中错误的命题的个数是 .
(“我爱数学”初中生夏令营试题)
8.①在实数范围内,一元二次方程 的根为 ;②在△ABC中,若AC2+BC2>AB2,则△ABC是锐角三角形;③在△ABC和△ AB1C1中, 、 、 分别为△ABC的三边, 、 、 分别为△AB1C1的三边,若 > , > , > ,则△ABC的面积大S于△AB1C1的面积S1.以上三个命题中,真命题的个数是( )
(全国初中数学联赛试题)
A.0 B.1 C.2 D.3
9.已知:AB是⊙O的直径,AP、AQ是⊙O的两条弦,如图1,经过B做⊙O的切线 ,分别交直线AP、AQ于点M、N.可以得出结论AP?AM=AQ?AN成立.

(1)若将直线 向上平行移动,使直线 与⊙O相交,如图2所示,其他条件不变,上述结论是否成立?若成立,写出证明,若不成立,说明理由;
(2)若将直线 继续向上平行移动,使直线 与⊙O相离,其他条件不变,请在图3上画出符合条件的图形,上述结论成立吗?若成立,写出证明;若不成立,说明理由.
10.如图,已知圆心A(0,3 ), A与 轴相切,⊙B的圆心在 轴的正半轴上,且⊙B与⊙A外切于点P,两圆的公切线MP交 轴于点M,交 轴于点N.
(1)若sin∠OAB= ,求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式;
(2)若A的位置大小不变,⊙B的圆心在 轴的正半轴上移动,并使⊙B与⊙A始终外切,过M作⊙B的切线MC,切点为C在此变化过程中探究:
①四边形 OMCB是什么四边形,对你的结论加以证明;
②经过M、N、B点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形?若存在,表示出来;若不存在,说明理由. (山西省中考题)

11.有一张矩形纸片ABCD,E、F、分别是BC、AD上的点( 但不与顶点重合),若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分,设AB= ,AD= ,BE= .
(1)求证:AF=EC;
(2)用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后,再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折,平移拼接在梯形ECDF的下方,使一底边重合,一腰落在DC的延长线上,拼接后,下方梯形记作EE'B'C.
①当 为何值时,直线E'E经过原矩形的一个顶点?
②在直线E'E经过原矩形的一个顶点的情形下,连结BE',直线BE'与EF是否平行?你若认为平行,请给予证明;你若认为不平行,试探究当 与 有何种数量关系时,它们就垂直?
(江西省中考题)
12.(1)证明:若 取任意整数时 ,二次函数 总取整数值,那么, 、 、 都是整数.
(2)写出上述命题的逆命题,且证明你的结论. (全国初中数学竞赛题)
13.已知四边形ABCD的面积为32,AB、CD、AC的长都是整数,且它们的和为16.
(1)这样的四边形有几个?
(2)求这样的四边形边长的平方和的最小值. (全国初中数学联赛题)


221381
领取福利

微信扫码领取福利

九年级数学竞赛开放性问题评说辅导教案

微信扫码分享