九．几何应用题
几何应用问题是近几年来中考的一大考点，它是把几何知识与实际问题相结合的一类题型，一般有这样几类：（一）三角形在实际问题中的应用；（二）几何设计问题；（三）折线运动问题；（四）几何综合应用问题。解决这类问题时，应结合实际问题的背景，抽象出几何模型，利用几何知识加以解决，然后再回到实际问题，进行检验、解释、反思，解题时应特别注意数形结合、分类讨论等数学思想。
一、三角形在实际问题中的应用
例1．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90，AC=80米，BC=60米。
（1）若入口E在边AB上，且A，B等距离，求从入口E到出口C的最短路线的长；
（2）若线段CD是一条水渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，则D点在距A点多远处时，此水渠的造价最低？最低造价是多少？
分析：本题是一道直角三角形的应用问题，解决此题首先要弄清等距离，最短路线，最低造价几个概念。
1．E点在AB上且与AB等距离，说明E点是AB的中点，E点到C点的最短路线即为线段CE。
2．水渠DC越短造价越低，当DC垂直于AB时最短，此时造价最低。
本题考察了中点，点与点的距离，点与直线的距离，以及解直角三角形的知识。
解：（1）由题意知，从入口E到出口C的最短路线就是Rt△ABC斜边上的中线CE。
在Rt△ABC中，AB= （米）。
∴CE= AB= ×100=50（米）。
即从入口E到出口C的最短路线的长为50米。
（3）当CD是Rt△ABC斜边上的高时，CD最短，从而水渠的造价最低。
∵CD?AB=AC?BC，∴CD= 米）。
∴AD= =64（米）。所以，D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为48 10=480元。
例2．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法分别如图1，图2所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）。
分析：本题是一道利用相似三角形性质来解决的几何应用问题。可先设出正方形边长，利用对应边成比例，列方程求解边长，边长大则面积大。
解：由AB=1.5米，S△ABC=1.5平方米，得BC=2米.设甲加工的桌面边长为ｘ米，∵DE//AB，Rt△CDE∽Rt△CBA ,∴ ，即 ，解得 。如图，过点B作Rt△ABC斜边AC的高BH，交DE于P，并AC于H。由AB＝1.5米，BC＝2米， 平方米，C＝2.5米，BH＝1.2米。设乙加工的桌面边长为y米，∵DE//AC，Rt△BDE∽Rt△BAC，∴ ，即 ，解得 。因为 ，即 ， ，所以甲同学的加工方法符合要求。
二、几何设计问题
例3.在一服装厂里有大量形状为等腰三角形的边角布料（如图）。现找出其中的一种，测得∠C＝90°，AB＝BC＝4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形与△ABC的其他边相切。请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）。
分析：本题考察分类讨论，切线的性质以及作图能力。本题的关键是找出圆心和半径，分类时应考虑到所有情况，可以先考虑圆心的位置，在各边上或在各顶点，然后排除相同情况。
解：可以设计如下四种方案：
例4.小明家有一块三角形菜地，要种植面积相等的四种蔬菜，请你设计四种不同的分割方案（分成三角形或四边形不限）。
分析：本题如从三角形面积方面考虑可以把其中一边四等分，再分别与对角顶点连结；也可从相似三角形性质来考虑。
解：
三、折线运动问题
例5. 如图，客轮沿折线A B C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿直线匀速航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A B C上的某点E处．已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝90°，客轮速度是货轮速度的2倍．
(1) 选择：两船相遇之处E点在 ( )．
（A）线段AB上 （B）线段BC上 （C）可以在线段AB上，也可以在线段BC上
(2) 求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？(结果保留根号)
分析：本题是一道折线运动问题，考察合情推理能力和几何运算能力，首先要对两船同时到达的E点作一个合理判断，E点不可能在AB上，因为当E点在AB上时，DE的最短距离为D到AB中点的距离，而此时AB=2DE，当E不是中点时，AB<2DE，所以E点不可能在AB上。然后利用代数方法列方程求解DE
解：（1）B
（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里．
过D作DF⊥CB，垂足为F，连结DE．则DE=x，AB+ BE=2x．
∵在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝200，D是AC中点，
∴DF＝100，EF＝300－2x．
在Rt△DEF中，DE 2＝DF 2 +EF 2，
∴x 2＝100 2+(300－2x) 2
解之，得 ．
∵ ＞200，
∴DE= ．
答：货轮从出发到两船相遇共航行了 海里．
四、综合类几何应用
例6 .如图1，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30 ，点A处有一所中学，AP=160米。假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
分析：本题是一道关于解直角三角形和圆的几何综合应用问题
要判断是否受到噪声的影响，只需求出A点到直线MN
的距离AB，当此AB≤100米时就要受到噪声影响；第二
个问题只需要噪声影响路段的长度，就能求出受影响的时间。
解：过点A作AB⊥MN，垂足为B
在Rt△ABP中：∠APB=∠QPN=30°
AP=160米
则AB= AP=80米，所以
学校会受到噪声影响。
以A为圆心，100米为半径作?A,交MN于C、D两点，在Rt△ABC中：AC=100米，AB=80米
则：BC= （米）
∴CD=2BC=120（米）；∵18千米/小时=5米/秒
∴受影响时间为：120米÷5米/秒=24（秒）
例7. 马戏团演出场地的外围围墙是用若干块长为5米、宽2.5米的长方形帆布缝制成的，两块帆布缝合的公共部分是0.1米，围成的围墙高2.5米（如下图）
(1) 若先用6块帆布缝制成宽为2.5米的条形，求其长度；
(2) 若用x块帆布缝制成密封的圆形围墙，求圆形场地的周长y与所用帆布的块数x之间的函数关系式；
(3) 要使围成的圆形场地的半径为10米，至少需要买几块这样的帆布缝制围墙?
分析：本题的关键是弄清缝制成条形和缝制成密封的圆形后有几块公共部分。
解：(1)6块帆布缝制成条形后，有5块公共部分，所以6块缝制后的总长度为6×5－5×0.1＝29.5(米)
(2)x块帆布缝制成密封的圆形围墙后有x块公共部分，设圆形围墙的周长为米，则y=5x-0.1x=4.9x，所以y=4.9x
(3)要围成半径为10米的圆形场地，则2π×10＝4.9x
(块)
要到商店买这样的帆布13块。
解几何应用问题要求我们必须具备扎实的几何基础知识，较强的阅读理解能力，以及对数学思想方法的掌握，只要我们有针对性地复习，就一定能掌握好几何应用问题的解决方法。
练习：
1、 在生活中需测量一些球（如足球、篮球…）的直径。某校研究性学习小组，通过实验发现下面的测量方法：如图8，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线DA、CB分别与球相切于点E、F，则EF即为球的直径。若测得AB的长为40 cm，∠ABC＝30°。请你计算出球的直径（精确到1 cm）。
2、 如图；某人在公路上由A到B向东行走，在A处测得公路旁的建筑物C在北偏东
60°方向。到达B处后，又测得建筑物C在北偏东45°方向。继续前进，若此人在行走过程中离建筑物C的最近距离是（25 +25）米，求AB之间的距离。
3、 操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。
探究：设A，P两点间的距离为x。
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。（图1，图2，图3的形状，大小相同，图1供操作实验用，图2和图3备用）
A D A D A D
几何应用问题是近几年来中考的一大考点，它是把几何知识与实际问题相结合的一类题型，一般有这样几类：（一）三角形在实际问题中的应用；（二）几何设计问题；（三）折线运动问题；（四）几何综合应用问题。解决这类问题时，应结合实际问题的背景，抽象出几何模型，利用几何知识加以解决，然后再回到实际问题，进行检验、解释、反思，解题时应特别注意数形结合、分类讨论等数学思想。
一、三角形在实际问题中的应用
例1．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90，AC=80米，BC=60米。
（1）若入口E在边AB上，且A，B等距离，求从入口E到出口C的最短路线的长；
（2）若线段CD是一条水渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，则D点在距A点多远处时，此水渠的造价最低？最低造价是多少？
分析：本题是一道直角三角形的应用问题，解决此题首先要弄清等距离，最短路线，最低造价几个概念。
1．E点在AB上且与AB等距离，说明E点是AB的中点，E点到C点的最短路线即为线段CE。
2．水渠DC越短造价越低，当DC垂直于AB时最短，此时造价最低。
本题考察了中点，点与点的距离，点与直线的距离，以及解直角三角形的知识。
解：（1）由题意知，从入口E到出口C的最短路线就是Rt△ABC斜边上的中线CE。
在Rt△ABC中，AB= （米）。
∴CE= AB= ×100=50（米）。
即从入口E到出口C的最短路线的长为50米。
（3）当CD是Rt△ABC斜边上的高时，CD最短，从而水渠的造价最低。
∵CD?AB=AC?BC，∴CD= 米）。
∴AD= =64（米）。所以，D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为48 10=480元。
例2．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法分别如图1，图2所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）。
分析：本题是一道利用相似三角形性质来解决的几何应用问题。可先设出正方形边长，利用对应边成比例，列方程求解边长，边长大则面积大。
解：由AB=1.5米，S△ABC=1.5平方米，得BC=2米.设甲加工的桌面边长为ｘ米，∵DE//AB，Rt△CDE∽Rt△CBA ,∴ ，即 ，解得 。如图，过点B作Rt△ABC斜边AC的高BH，交DE于P，并AC于H。由AB＝1.5米，BC＝2米， 平方米，C＝2.5米，BH＝1.2米。设乙加工的桌面边长为y米，∵DE//AC，Rt△BDE∽Rt△BAC，∴ ，即 ，解得 。因为 ，即 ， ，所以甲同学的加工方法符合要求。
二、几何设计问题
例3.在一服装厂里有大量形状为等腰三角形的边角布料（如图）。现找出其中的一种，测得∠C＝90°，AB＝BC＝4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形与△ABC的其他边相切。请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）。
分析：本题考察分类讨论，切线的性质以及作图能力。本题的关键是找出圆心和半径，分类时应考虑到所有情况，可以先考虑圆心的位置，在各边上或在各顶点，然后排除相同情况。
解：可以设计如下四种方案：
例4.小明家有一块三角形菜地，要种植面积相等的四种蔬菜，请你设计四种不同的分割方案（分成三角形或四边形不限）。
分析：本题如从三角形面积方面考虑可以把其中一边四等分，再分别与对角顶点连结；也可从相似三角形性质来考虑。
解：
三、折线运动问题
例5. 如图，客轮沿折线A B C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿直线匀速航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A B C上的某点E处．已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝90°，客轮速度是货轮速度的2倍．
(1) 选择：两船相遇之处E点在 ( )．
（A）线段AB上 （B）线段BC上 （C）可以在线段AB上，也可以在线段BC上
(2) 求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？(结果保留根号)
分析：本题是一道折线运动问题，考察合情推理能力和几何运算能力，首先要对两船同时到达的E点作一个合理判断，E点不可能在AB上，因为当E点在AB上时，DE的最短距离为D到AB中点的距离，而此时AB=2DE，当E不是中点时，AB<2DE，所以E点不可能在AB上。然后利用代数方法列方程求解DE
解：（1）B
（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里．
过D作DF⊥CB，垂足为F，连结DE．则DE=x，AB+ BE=2x．
∵在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝200，D是AC中点，
∴DF＝100，EF＝300－2x．
在Rt△DEF中，DE 2＝DF 2 +EF 2，
∴x 2＝100 2+(300－2x) 2
解之，得 ．
∵ ＞200，
∴DE= ．
答：货轮从出发到两船相遇共航行了 海里．
四、综合类几何应用
例6 .如图1，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30 ，点A处有一所中学，AP=160米。假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
分析：本题是一道关于解直角三角形和圆的几何综合应用问题
要判断是否受到噪声的影响，只需求出A点到直线MN
的距离AB，当此AB≤100米时就要受到噪声影响；第二
个问题只需要噪声影响路段的长度，就能求出受影响的时间。
解：过点A作AB⊥MN，垂足为B
在Rt△ABP中：∠APB=∠QPN=30°
AP=160米
则AB= AP=80米，所以
学校会受到噪声影响。
以A为圆心，100米为半径作?A,交MN于C、D两点，在Rt△ABC中：AC=100米，AB=80米
则：BC= （米）
∴CD=2BC=120（米）；∵18千米/小时=5米/秒
∴受影响时间为：120米÷5米/秒=24（秒）
例7. 马戏团演出场地的外围围墙是用若干块长为5米、宽2.5米的长方形帆布缝制成的，两块帆布缝合的公共部分是0.1米，围成的围墙高2.5米（如下图）
(1) 若先用6块帆布缝制成宽为2.5米的条形，求其长度；
(2) 若用x块帆布缝制成密封的圆形围墙，求圆形场地的周长y与所用帆布的块数x之间的函数关系式；
(3) 要使围成的圆形场地的半径为10米，至少需要买几块这样的帆布缝制围墙?
分析：本题的关键是弄清缝制成条形和缝制成密封的圆形后有几块公共部分。
解：(1)6块帆布缝制成条形后，有5块公共部分，所以6块缝制后的总长度为6×5－5×0.1＝29.5(米)
(2)x块帆布缝制成密封的圆形围墙后有x块公共部分，设圆形围墙的周长为米，则y=5x-0.1x=4.9x，所以y=4.9x
(3)要围成半径为10米的圆形场地，则2π×10＝4.9x
(块)
要到商店买这样的帆布13块。
解几何应用问题要求我们必须具备扎实的几何基础知识，较强的阅读理解能力，以及对数学思想方法的掌握，只要我们有针对性地复习，就一定能掌握好几何应用问题的解决方法。
练习：
1、 在生活中需测量一些球（如足球、篮球…）的直径。某校研究性学习小组，通过实验发现下面的测量方法：如图8，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线DA、CB分别与球相切于点E、F，则EF即为球的直径。若测得AB的长为40 cm，∠ABC＝30°。请你计算出球的直径（精确到1 cm）。
2、 如图；某人在公路上由A到B向东行走，在A处测得公路旁的建筑物C在北偏东
60°方向。到达B处后，又测得建筑物C在北偏东45°方向。继续前进，若此人在行走过程中离建筑物C的最近距离是（25 +25）米，求AB之间的距离。
3、 操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。
探究：设A，P两点间的距离为x。
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。（图1，图2，图3的形状，大小相同，图1供操作实验用，图2和图3备用）
A D A D A D
