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初三数学第23章一元二次方程复习讲义
一、一元二次方程的定义
方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）其中二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c．
例1．求方程 x2+3=2 x-4的二次项系数，一次项系数及常数项的积．
例2．若关于x的方程（m+3） +（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，并计算这个方程的各项系数之和．
例3．若关于x的方程（k2-4）x2+ x+5=0是一元二次方程，求k的取值范围．
例4．若α是方程x2-5x+1=0的一个根，求α2+ 的值．
1．关于 的一元二次方程 的一个根为1，则实数 的值是（ ）
A． B． 或 C． D．
2．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程 的根，则这个三角形的周长是（ ）
Ａ．11Ｂ．11或13Ｃ．13Ｄ．11和13
3．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为 ，求道路的宽．（部分参考数据： ， ， ）
二、一元二次方程的一般解法
基本方法有：
（1）配方法； （2）公式法； （3） 因式分解法。
联系：
①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．
②公式法是由配方法推导而得到．
③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．
区别：
①配方法要先配方，再开方求根．
②公式法直接利用公式求根．
③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
例1、用三种方法解下列一元二次方程
1、x2 +8x+12=0 2、3x2- x-6=0
用适当的方法解一元二次方程
1、x2-2x-2=0 2、2x2+1=2 x
3、x（2x-3）=（3x+2）（2x-3） 4、4x2-4x+1=x2+6x+9
5、（x-1）2-2（x2-1）=0
注意：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法
三、判定一元二次方程的根的情况？
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是△=b2-4ac，
1．△=b2-4ac>0 一元二次方程有两个不相等的实根；
2．△=b2-4ac=0 一元二次方程有两个相等的实数；
3．△=b2-4ac<0 一元二次方程没有实根．
例1、不解方程判断下列方程根的情况
1、x2-（1+2 ）x+ +4=0 2、 x2-2kx+（2k-1）=0
例2、关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a的值为
例3、已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，则△ABC为
例5、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根求
的值
例6、（2006．广东）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
四、一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x 1 x2
x1 + x 2= - x 1 x2=
例1.方程的x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2, 则（x1 -1）（x 2-1）=
例2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
（1）试推导x1+x2=- ，x1?x2= ；
（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．
五、一元二次方程与实际问题的应用
步骤:①审 ②设 ③列 ④解 ⑤答
应用题常见的几种类型：
1.增长率问题 [增长率公式： ]
例1：某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少?
例2：某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率。
1、某工厂今年利润为a万元，比去年增长10%，去年的利润为 万元。
2、某商品连续两次降价10%后的价格为a元，该商品的原价应为
3、某林场第一年造林100亩，以后造林面积逐年增长，第二年、第三年共造林375亩，后两年平均每年的增长率是多少?
2.面积问题[提示：面积问题一定要画图分析]
例：一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，再折起来做成一个无盖的小 盒子。已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是1536cm3，求长方形铁皮的长与宽 。
1、要给一幅长30cm，宽25cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm，则依据题意列出的方程是_________．
2、要建成一面积为130?的仓库，仓库的一边靠墙（墙宽16m），并在与墙平行的一边开一个宽1m的门，现有能围成32m的木板。求仓库的长与宽各是多少？
3.定价问题［提示：单位利润×销量＝总利润］
例1：某电视机专卖店出售一种新面市的电视机，平均每天售出50台，每台盈利400元。为了扩大销售,增加利润，专卖店决定采取适当降价的措施。经调查发现，如果每台电视机每降价 10元，平均每天可多售出5台。专卖店降价第一天，获利30000元。问：每台电视机降价多少元?
1、合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“十?一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那平均每天就可多售出8件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？
2、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价？
4.球赛问题（注：单循环必须除2）
例：某校初二年级组织象棋比赛，每两个参赛选手之间都必须赛一场，全年级共进行了28场比赛，问这次参赛的选手有几位？
1、新年到了，初三(2)班同学每人都互发贺卡祝福对方，共发了132张贺卡，问全班多少人？
2、要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
5.倍增问题
例1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几人？
例2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分干总数是91，每个支干长出多少小分支？
6.数位问题 [123=1×100+2×10+3×1;十位数字是a，个数字是b，则这个两位数可表示为：10a+b]
例：有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。
1、一个两位数，它的数字和为9，如果十位数字是a，那么这个两位数可表示 为 ，若这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数，这个新数可表示为 。
2、一个两位数，十位数字比个位数字小2，如果把这个数的十位数字和个位数字对调，那么得到的新两位数与原来两位数的积为1855，若设十位为数字为X，则可列方程为：
3、一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位是 。
7. 中考题选讲
1、如图A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A 、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动。问几秒后，点P和点Q的距离是10 cm？
2、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米 的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
3、云南省2006年至2007年茶叶种植面积与产茶面积情况如表所示，表格中的 、 分别为2006年和2007年全省茶叶种植面积：
年 份种植面积（万亩）产茶面积（万亩）
2006年
2007年
合 计
（1）请求出表格中 、 的值；
（2）在2006年全省种植的产茶面积中，若平均每亩产茶52千克，为使我省2008年全省茶叶种植产茶总产量达到22万吨，求2006年至2008年全省年产茶总产量的平均增长率（精确到0.01）．（说明：茶叶种植面积 产茶面积 未产茶面积）
4、2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥――杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．
（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．
（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？
（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？
第22章一元二次方程复习题
一、选择题
1．下面关于x的方程中①ax2+bx+c=0；②3（x-9）2-（x+1）2=1；③x+3= ；
④（a2+a+1）x2-a=0；④ =x-1．一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0 B．a≠3
C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0
3．若（x+y）（1-x-y）+6=0，则x+y的值是（ ）
A．2 B．3 C．-2或3 D．2或-3
4．若关于x的一元二次方程3x2+k=0有实数根，则（ ）
A．k>0 B．k<0 C．k≥0 D．k≤0
5．下面对于二次三项式-x2+4x-5的值的判断正确的是（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．不小于0 D．可能为0
6．下面是某同学在九年级期中测试中解答的几道填空题：（1）若x2=a2，则x= a ；
（2）方程2x（x-1）=x-1的根是 x=0 ；（3）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 5 ．其中答案完全正确的题目个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，而按原定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（ ）
A．500元 B．400元 C．300元 D．200元
8．利华机械厂四月份生产零件50万个，若五、六月份平均每月的增长率是20%，则第二季度共生产零件（ ）
A．100万个 B．160万个 C．180万个 D．182万个
二、填空题
9．若ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是________．
10．已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是-1，则k=_______．
11．若x=2- ，则x2-4x+8=________．
12．若（m+1） +2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．
13．若a+b+c=0，且a≠0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根，它是_______．
14．若矩形的长是6cm，宽为3cm，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_______．
15．若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是__________．
三、计算题（每题9分，共18分）
16．按要求解方程：
（1）4x2-3x-1=0（用配方法）； （2）5x2- x-6=0（精确到0．1）
17．用适当的方法解方程：
（1）（2x-1）2-7=3（x+1）； （2）（2x+1）（x-4）=5；
（3）（x2-3）2-3（3-x2）+2=0．
18．若方程x2-2x+ （2- ）=0的两根是a和b（a>b），方程x-4=0的正根是c，试判断以a、b、c为边的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．
19．已知关于x的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0的两根之和为-1，两根之差为1，其中a，b，c是△ABC的三边长．
（1）求方程的根；（2）试判断△ABC的形状．
20．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？
21．李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程11公里，应收29.10元”．出租车司机说：“请付29.10元．”该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价N（N<12）是多少元．
里程（公里）06
价格（元） N
【中考真题】
22.（2008广州）方程 的根是（ ）
A B C D
23.（2008襄樊）某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的 ，则平均每次降价（ ）
A． B． C． D．
24.（2008威海）关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
25．（2008四川省资阳）已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
26．（200年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）关于 的一元二次方程 的一个根为1，则方程的另一根为 .
27.（2008江苏省淮安市）小华在解一元二次方程x2-4x=0时．只得出一个根是x=4,则被他漏掉的一个根是x=_____．
28．(2008东莞市)在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。
29．(2008年湘潭)阅读材料：
如果 ， 是一元二次方程 的两根，那么有 .
这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题:
设 是方程 的两根，求 的值.
解法可以这样： 则
. 请你根据以上解法解答下题：
已知 是方程 的两根，求：
（1） 的值；（2） 的值.
顶尖教育一元二次方程单元测试卷
（考试时间：120分，满分： 150分）
姓名 成绩评定
一、选一选（每小题3分，共36分）
1．方程x2+4x=2的正根为（ ）
A．2- B．2+ C．-2- D．-2+
2．已知关于x的一元二次方程的两个根是1和-2，则这个方程是（ ）
A. B. C. D.
3.某商品两次价格上调后，单价价格从4.05元变为5元,则平均每次调价的百分率约为（ ）
A．9% B．10% C．11% D．12%
4.若使分式 的值为零，则x的取值为（ ）
A．1或-1 B.-3或1 C.-3 D.-3或1
5．将方程3（2x2－1）=（x+ ）（x－ ）+3x+5化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为。（ ）
A．5，3，5 B．5，－3，－5 C．7， ，2 D．8，6，1
6．某商店卖出A、B两种价格不同的商品，商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以a元出售，则两种商品的原价分别是（ ）
A.（1+20%）2；a（1－20%）2 B． ；
; a（1－20%）2
7．已知一个三角形的两边长是方程 的根，则第三边长y的取值范围是（ ）
A．y<8 B.28．一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这两位数是（ ）
A．16 B．25 C．52 D．61
9．若n是 的根（ ，则m+n等于（ ）
A． B.-1 C. D. 1
10．直角三角形的面积为6，两直角边的和为7，则斜边长为（ ）
A． D．7
11．如果关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的最大整数值
( )
(A)1. (B)2. (C)0. (D)－1
12．已知一直角三角形的三边长为a、b、c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x2－1）－2x+b（x2+1）=0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
二、填一填 （每小题3分，共30分）
13．方程（x-2）（x-3）=6的解为____________．
14．若x=2- ，则x2-4x+4=________．
15.若关于x的方程 有一根是2，则另一根为___________
16．已知一元二次方程有一个根为 ，那么这个方程可以是____________（只需写一个）
17．某种型号的微机，原售价为7200元/台，经过连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次的百分率为____________________.
18.要给一副长30cm,宽25cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占的面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm,则根据题意，列出方程是
___________________________
19.代数式 的最小值是____________
20．已知 则 的值是____________；
21．已知关于x的二次方程 有实数根，则k的取值范围______________
22．若 ，则 =_____________
三、解答题 （仔细是我们要培养的良好习惯）
23．（5分） （用配方法） 24. （5分）
29．（10分）已知关于x的方程（m+1）x +（m－2）x－1=0，问：（1）m取何值时，它是一元二次方程？并求方程的解；
30. （10分）如图，在长为32 m，宽为20 m的矩形地面上修建同样宽度的道路（图中阴影部分），余下的部分种植草坪，要使草坪的面积为540m2,求道路的宽？
31．（10分）某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率。
32．（12分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1 200元，每件衬衫应降价多少元？
一、
1．B 点拨：方程①与a的取值有关；方程②经过整理后，二次项系数为2，是一元二次方程；方程③是分式方程；方程④的二次项系数经过配方后可化为（a+ ）2+ ．不论a取何值，都不为0，所以方程④是一元二次方程；方程⑤不是整式方程．也可排除，故一元二次方程仅有2个．
2．B 点拨：由a-3≠0，得a≠3．
3．C 点拨：用换元法求值，可设x+y=a，原式可化为a（1-a）+6=0，解得a1=3，a2=-2．
4．D 点拨：把原方程移项，变形为：x2=- ．由于实数的平方均为非负数，故- ≥0，则k≤0．
5．B 点拨：-x2+4x-5=-（x2-4x+5）=-（x2-4x+4+1）=-（x-2）2=-1．
由于不论x取何值，-（x-2）2≤0，所以-x2+4x-5<0．
6．A 点拨：第（1）题的正确答案应是x=±a；第（2）题的正确答案应是x1=1，x2= ．第（3）题的正确答案是5或 ．
7．C 点拨：设商品的原价是x元．则0.75x+25=0.9x-20．解之得x=300．
8．D 点拨：五月份生产零件：50（1+20%）=60（万个）
六月份生产零件50（1+20%）2=72（万个）
所以第二季度共生产零件50+60+72=182（万个），故选D．
二、
9．a>-2且a≠0 点拨：不可忘记a≠0．
10．± 点拨：把-1代入方程：（-1）2+3×（-1）+k2=0，则k2=2，所以k=± ．
11．14 点拨：由x=2- ，得x-2=- ．两边同时平方，得（x-2）2=10，即x2-4x+4=10， 所以x2-4x+8=14．注意整体代入思想的运用．
12．-3或1 点拨：由 解得m=-3或m=1．
13．1 点拨：由a+b+c=0，得b=-（a+c），原方程可化为ax-（a+c）x+c=0，
解得x1=1，x2= ．
14．3 cm 点拨：设正方形的边长为xcm，则x2=6×3，解之得x=±3 ，由于边长不能为负，故x=-3 舍去，故正方形的边长为3 cm．
15．30或-30 点拨：设其中的一个偶数为x，则x（x+2）=224．解得x1=14，x2=-16，则另一个偶数为16，-14．这两数的和是30或-30．
三、
16．解：（1）4x2-3x-1=0，称 ，得4x2-3x=1，
二次项系数化为1，得x2- x= ，
配方，得x2- x+（ ）2= +（ ）2，
（x- ）2= ，x- =± ，x= ± ，
所以x1= + =1，x2= - = ．
（2）5x2- x-6=0
原方程可化为（ x+2）（ x-3）=0，
+2=0或 -3=0，
所以x1= ≈=0.9，x2= ≈1.3．
点拨：不要急于下手，一定要审清题，按要求解题．
17．解：（1）（2x-1）2-7=3（x+1）
整理，得4x2-7x-9=0，因为a=4，b=-7，c=-9．
所以x= ．
即x1= ，x2= ．
（2）（2x+1）（x-4）=5，整理，得2x2-7x-9=0，
（x+1）（2x-9）=0，即x+1=0或2x-9=0，
所以x1=-1，x2= ．
（3）设x2-3=y，则原方程可化为y2+3y+2=0．
解这个方程，得y1=-1，y2=-2．
当y1=-1时，x2-3=-1．x2=2，x1= ，x2=- ．
当y2=-2时，x2-3=-2，x2=1，x3=1，x4=-1．
点拨：在解方程时，一定要认真分析，选择恰当的方法，若遇到比较复杂的方程，审题就显得更重要了．方程（3）采用了换元法，使解题变得简单．
18．解：解方程x2-2x+ （2- ）=0，得x1= ，x2=2- ．
方程x2-4=0的两根是x1=2，x2=-2．
所以a、b、c的值分别是 ，2- ，2．
因为 +2- =2，所以以a、b、c为边的三角形不存在．
点拨：先解这两个方程，求出方程的根，再用两边的和与第三边相比较等来判断．
19．解：（1）设方程的两根为x1，x2（x1>x2），则x1+x1=-1，x1-x2=1，解得x1=0，x2=-1．
（2）当x=0时，（a+c）×02+2b×0-（c-a）=0．
所以c=a．当x=-1时，（a+c）×（-1）2+2b×（-1）-（c-a）=0．a+c-2b-c+a=0，
所以a=b．即a=b=c，△ABC为等边三角形．
点拨：先根据题意，列出关于x，x的二元一次方程组，可以求出方程的两个根0和-1．进而把这两个根代入原方程，判断a、b、c的关系，确定三角形的形状．
20．解：设该产品的成本价平均每月应降低x．
625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500
整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81．
1-x=±0.9，x=1±0.9，
x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%．
答：该产品的成本价平均每月应降低10%．
点拨：题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．
21．解：依题意，N+（6-3）× +（11-6）× =29.10，
整理，得N2-29.1N+191=0，解得N1=19.1，N2=10，
由于N<12，所以N1=19.1舍去，所以N=10．
答：起步价是10元．
点拨：读懂表格是正确列出方程的基础，表格中的含义是：当行车里程不超过3公里时，价格是10元，当行车里程超过了3公里而不超过6公里时，除付10元外，超过的部分每公里再 付元；若行车里程超过6公里，除了需付以上两项费用外，超过6公里的部分，每公里再付 元．
22．C 23。 A 24。B 25。A 26。-2 27。0
28．.解：设小正方形的边长为 .
由题意得， .
解得， .
经检验， 符合题意， 不符合题意舍去.
∴ .
答：截去的小正方形的边长为 .
29．解：
（1）
（2）
1、答案：解：（1）设 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为 千米，
由题意得 ，解得 ．
地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米．
（2） （元），
该车货物从 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元．
（3）设这批货物有 车，
由题意得 ， 整理得 ，
解得 ， （不合题意，舍去）， 这批货物有8车．
∴ 做一个这样的箱子要花 元钱． ………………………………10分
2、答案：解：（1）据表格，可得 解方程组，得 （2）设2006年至2008年全省茶叶种植产茶年总产量的平均增长率为 ，
∵2006年全省茶叶种植产茶面积为 万亩，从而2006年全省茶叶种植产茶的总产量为 （万吨）．据题意，得 ，解方程，得 ，∴ 或 （舍去），从而增长率为 ．
3、答案：设这种箱子底部宽为 米，则长为 米，
依题意，得 ． 解得 （舍）， ．
∴ 这种箱子底部长为 米、宽为 米．
由长方体展开图知，要购买矩形铁皮面积为 （米 ）． ……9分
初三数学第23章一元二次方程复习讲义
一、一元二次方程的定义
方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）其中二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c．
例1．求方程 x2+3=2 x-4的二次项系数，一次项系数及常数项的积．
例2．若关于x的方程（m+3） +（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，并计算这个方程的各项系数之和．
例3．若关于x的方程（k2-4）x2+ x+5=0是一元二次方程，求k的取值范围．
例4．若α是方程x2-5x+1=0的一个根，求α2+ 的值．
1．关于 的一元二次方程 的一个根为1，则实数 的值是（ ）
A． B． 或 C． D．
2．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程 的根，则这个三角形的周长是（ ）
Ａ．11Ｂ．11或13Ｃ．13Ｄ．11和13
3．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为 ，求道路的宽．（部分参考数据： ， ， ）
二、一元二次方程的一般解法
基本方法有：
（1）配方法； （2）公式法； （3） 因式分解法。
联系：
①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．
②公式法是由配方法推导而得到．
③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．
区别：
①配方法要先配方，再开方求根．
②公式法直接利用公式求根．
③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
例1、用三种方法解下列一元二次方程
1、x2 +8x+12=0 2、3x2- x-6=0
用适当的方法解一元二次方程
1、x2-2x-2=0 2、2x2+1=2 x
3、x（2x-3）=（3x+2）（2x-3） 4、4x2-4x+1=x2+6x+9
5、（x-1）2-2（x2-1）=0
注意：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法
三、判定一元二次方程的根的情况？
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是△=b2-4ac，
1．△=b2-4ac>0 一元二次方程有两个不相等的实根；
2．△=b2-4ac=0 一元二次方程有两个相等的实数；
3．△=b2-4ac<0 一元二次方程没有实根．
例1、不解方程判断下列方程根的情况
1、x2-（1+2 ）x+ +4=0 2、 x2-2kx+（2k-1）=0
例2、关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a的值为
例3、已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，则△ABC为
例5、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根求
的值
例6、（2006．广东）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
四、一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x 1 x2
x1 + x 2= - x 1 x2=
例1.方程的x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2, 则（x1 -1）（x 2-1）=
例2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
（1）试推导x1+x2=- ，x1?x2= ；
（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．
五、一元二次方程与实际问题的应用
步骤:①审 ②设 ③列 ④解 ⑤答
应用题常见的几种类型：
1.增长率问题 [增长率公式： ]
例1：某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少?
例2：某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率。
1、某工厂今年利润为a万元，比去年增长10%，去年的利润为 万元。
2、某商品连续两次降价10%后的价格为a元，该商品的原价应为
3、某林场第一年造林100亩，以后造林面积逐年增长，第二年、第三年共造林375亩，后两年平均每年的增长率是多少?
2.面积问题[提示：面积问题一定要画图分析]
例：一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，再折起来做成一个无盖的小 盒子。已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是1536cm3，求长方形铁皮的长与宽 。
1、要给一幅长30cm，宽25cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm，则依据题意列出的方程是_________．
2、要建成一面积为130?的仓库，仓库的一边靠墙（墙宽16m），并在与墙平行的一边开一个宽1m的门，现有能围成32m的木板。求仓库的长与宽各是多少？
3.定价问题［提示：单位利润×销量＝总利润］
例1：某电视机专卖店出售一种新面市的电视机，平均每天售出50台，每台盈利400元。为了扩大销售,增加利润，专卖店决定采取适当降价的措施。经调查发现，如果每台电视机每降价 10元，平均每天可多售出5台。专卖店降价第一天，获利30000元。问：每台电视机降价多少元?
1、合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“十?一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那平均每天就可多售出8件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？
2、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价？
4.球赛问题（注：单循环必须除2）
例：某校初二年级组织象棋比赛，每两个参赛选手之间都必须赛一场，全年级共进行了28场比赛，问这次参赛的选手有几位？
1、新年到了，初三(2)班同学每人都互发贺卡祝福对方，共发了132张贺卡，问全班多少人？
2、要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
5.倍增问题
例1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几人？
例2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分干总数是91，每个支干长出多少小分支？
6.数位问题 [123=1×100+2×10+3×1;十位数字是a，个数字是b，则这个两位数可表示为：10a+b]
例：有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。
1、一个两位数，它的数字和为9，如果十位数字是a，那么这个两位数可表示 为 ，若这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数，这个新数可表示为 。
2、一个两位数，十位数字比个位数字小2，如果把这个数的十位数字和个位数字对调，那么得到的新两位数与原来两位数的积为1855，若设十位为数字为X，则可列方程为：
3、一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位是 。
7. 中考题选讲
1、如图A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A 、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动。问几秒后，点P和点Q的距离是10 cm？
2、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米 的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
3、云南省2006年至2007年茶叶种植面积与产茶面积情况如表所示，表格中的 、 分别为2006年和2007年全省茶叶种植面积：
年 份种植面积（万亩）产茶面积（万亩）
2006年
2007年
合 计
（1）请求出表格中 、 的值；
（2）在2006年全省种植的产茶面积中，若平均每亩产茶52千克，为使我省2008年全省茶叶种植产茶总产量达到22万吨，求2006年至2008年全省年产茶总产量的平均增长率（精确到0.01）．（说明：茶叶种植面积 产茶面积 未产茶面积）
4、2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥――杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．
（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．
（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？
（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？
第22章一元二次方程复习题
一、选择题
1．下面关于x的方程中①ax2+bx+c=0；②3（x-9）2-（x+1）2=1；③x+3= ；
④（a2+a+1）x2-a=0；④ =x-1．一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0 B．a≠3
C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0
3．若（x+y）（1-x-y）+6=0，则x+y的值是（ ）
A．2 B．3 C．-2或3 D．2或-3
4．若关于x的一元二次方程3x2+k=0有实数根，则（ ）
A．k>0 B．k<0 C．k≥0 D．k≤0
5．下面对于二次三项式-x2+4x-5的值的判断正确的是（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．不小于0 D．可能为0
6．下面是某同学在九年级期中测试中解答的几道填空题：（1）若x2=a2，则x= a ；
（2）方程2x（x-1）=x-1的根是 x=0 ；（3）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 5 ．其中答案完全正确的题目个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，而按原定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（ ）
A．500元 B．400元 C．300元 D．200元
8．利华机械厂四月份生产零件50万个，若五、六月份平均每月的增长率是20%，则第二季度共生产零件（ ）
A．100万个 B．160万个 C．180万个 D．182万个
二、填空题
9．若ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是________．
10．已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是-1，则k=_______．
11．若x=2- ，则x2-4x+8=________．
12．若（m+1） +2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．
13．若a+b+c=0，且a≠0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根，它是_______．
14．若矩形的长是6cm，宽为3cm，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_______．
15．若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是__________．
三、计算题（每题9分，共18分）
16．按要求解方程：
（1）4x2-3x-1=0（用配方法）； （2）5x2- x-6=0（精确到0．1）
17．用适当的方法解方程：
（1）（2x-1）2-7=3（x+1）； （2）（2x+1）（x-4）=5；
（3）（x2-3）2-3（3-x2）+2=0．
18．若方程x2-2x+ （2- ）=0的两根是a和b（a>b），方程x-4=0的正根是c，试判断以a、b、c为边的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．
19．已知关于x的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0的两根之和为-1，两根之差为1，其中a，b，c是△ABC的三边长．
（1）求方程的根；（2）试判断△ABC的形状．
20．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？
21．李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程11公里，应收29.10元”．出租车司机说：“请付29.10元．”该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价N（N<12）是多少元．
里程（公里）0
价格（元） N
【中考真题】
22.（2008广州）方程 的根是（ ）
A B C D
23.（2008襄樊）某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的 ，则平均每次降价（ ）
A． B． C． D．
24.（2008威海）关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
25．（2008四川省资阳）已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
26．（200年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）关于 的一元二次方程 的一个根为1，则方程的另一根为 .
27.（2008江苏省淮安市）小华在解一元二次方程x2-4x=0时．只得出一个根是x=4,则被他漏掉的一个根是x=_____．
28．(2008东莞市)在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。
29．(2008年湘潭)阅读材料：
如果 ， 是一元二次方程 的两根，那么有 .
这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题:
设 是方程 的两根，求 的值.
解法可以这样： 则
. 请你根据以上解法解答下题：
已知 是方程 的两根，求：
（1） 的值；（2） 的值.
顶尖教育一元二次方程单元测试卷
（考试时间：120分，满分： 150分）
姓名 成绩评定
一、选一选（每小题3分，共36分）
1．方程x2+4x=2的正根为（ ）
A．2- B．2+ C．-2- D．-2+
2．已知关于x的一元二次方程的两个根是1和-2，则这个方程是（ ）
A. B. C. D.
3.某商品两次价格上调后，单价价格从4.05元变为5元,则平均每次调价的百分率约为（ ）
A．9% B．10% C．11% D．12%
4.若使分式 的值为零，则x的取值为（ ）
A．1或-1 B.-3或1 C.-3 D.-3或1
5．将方程3（2x2－1）=（x+ ）（x－ ）+3x+5化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为。（ ）
A．5，3，5 B．5，－3，－5 C．7， ，2 D．8，6，1
6．某商店卖出A、B两种价格不同的商品，商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以a元出售，则两种商品的原价分别是（ ）
A.（1+20%）2；a（1－20%）2 B． ；
; a（1－20%）2
7．已知一个三角形的两边长是方程 的根，则第三边长y的取值范围是（ ）
A．y<8 B.2
A．16 B．25 C．52 D．61
9．若n是 的根（ ，则m+n等于（ ）
A． B.-1 C. D. 1
10．直角三角形的面积为6，两直角边的和为7，则斜边长为（ ）
A． D．7
11．如果关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的最大整数值
( )
(A)1. (B)2. (C)0. (D)－1
12．已知一直角三角形的三边长为a、b、c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x2－1）－2x+b（x2+1）=0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
二、填一填 （每小题3分，共30分）
13．方程（x-2）（x-3）=6的解为____________．
14．若x=2- ，则x2-4x+4=________．
15.若关于x的方程 有一根是2，则另一根为___________
16．已知一元二次方程有一个根为 ，那么这个方程可以是____________（只需写一个）
17．某种型号的微机，原售价为7200元/台，经过连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次的百分率为____________________.
18.要给一副长30cm,宽25cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占的面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm,则根据题意，列出方程是
___________________________
19.代数式 的最小值是____________
20．已知 则 的值是____________；
21．已知关于x的二次方程 有实数根，则k的取值范围______________
22．若 ，则 =_____________
三、解答题 （仔细是我们要培养的良好习惯）
23．（5分） （用配方法） 24. （5分）
29．（10分）已知关于x的方程（m+1）x +（m－2）x－1=0，问：（1）m取何值时，它是一元二次方程？并求方程的解；
30. （10分）如图，在长为32 m，宽为20 m的矩形地面上修建同样宽度的道路（图中阴影部分），余下的部分种植草坪，要使草坪的面积为540m2,求道路的宽？
31．（10分）某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率。
32．（12分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1 200元，每件衬衫应降价多少元？
一、
1．B 点拨：方程①与a的取值有关；方程②经过整理后，二次项系数为2，是一元二次方程；方程③是分式方程；方程④的二次项系数经过配方后可化为（a+ ）2+ ．不论a取何值，都不为0，所以方程④是一元二次方程；方程⑤不是整式方程．也可排除，故一元二次方程仅有2个．
2．B 点拨：由a-3≠0，得a≠3．
3．C 点拨：用换元法求值，可设x+y=a，原式可化为a（1-a）+6=0，解得a1=3，a2=-2．
4．D 点拨：把原方程移项，变形为：x2=- ．由于实数的平方均为非负数，故- ≥0，则k≤0．
5．B 点拨：-x2+4x-5=-（x2-4x+5）=-（x2-4x+4+1）=-（x-2）2=-1．
由于不论x取何值，-（x-2）2≤0，所以-x2+4x-5<0．
6．A 点拨：第（1）题的正确答案应是x=±a；第（2）题的正确答案应是x1=1，x2= ．第（3）题的正确答案是5或 ．
7．C 点拨：设商品的原价是x元．则0.75x+25=0.9x-20．解之得x=300．
8．D 点拨：五月份生产零件：50（1+20%）=60（万个）
六月份生产零件50（1+20%）2=72（万个）
所以第二季度共生产零件50+60+72=182（万个），故选D．
二、
9．a>-2且a≠0 点拨：不可忘记a≠0．
10．± 点拨：把-1代入方程：（-1）2+3×（-1）+k2=0，则k2=2，所以k=± ．
11．14 点拨：由x=2- ，得x-2=- ．两边同时平方，得（x-2）2=10，即x2-4x+4=10， 所以x2-4x+8=14．注意整体代入思想的运用．
12．-3或1 点拨：由 解得m=-3或m=1．
13．1 点拨：由a+b+c=0，得b=-（a+c），原方程可化为ax-（a+c）x+c=0，
解得x1=1，x2= ．
14．3 cm 点拨：设正方形的边长为xcm，则x2=6×3，解之得x=±3 ，由于边长不能为负，故x=-3 舍去，故正方形的边长为3 cm．
15．30或-30 点拨：设其中的一个偶数为x，则x（x+2）=224．解得x1=14，x2=-16，则另一个偶数为16，-14．这两数的和是30或-30．
三、
16．解：（1）4x2-3x-1=0，称 ，得4x2-3x=1，
二次项系数化为1，得x2- x= ，
配方，得x2- x+（ ）2= +（ ）2，
（x- ）2= ，x- =± ，x= ± ，
所以x1= + =1，x2= - = ．
（2）5x2- x-6=0
原方程可化为（ x+2）（ x-3）=0，
+2=0或 -3=0，
所以x1= ≈=0.9，x2= ≈1.3．
点拨：不要急于下手，一定要审清题，按要求解题．
17．解：（1）（2x-1）2-7=3（x+1）
整理，得4x2-7x-9=0，因为a=4，b=-7，c=-9．
所以x= ．
即x1= ，x2= ．
（2）（2x+1）（x-4）=5，整理，得2x2-7x-9=0，
（x+1）（2x-9）=0，即x+1=0或2x-9=0，
所以x1=-1，x2= ．
（3）设x2-3=y，则原方程可化为y2+3y+2=0．
解这个方程，得y1=-1，y2=-2．
当y1=-1时，x2-3=-1．x2=2，x1= ，x2=- ．
当y2=-2时，x2-3=-2，x2=1，x3=1，x4=-1．
点拨：在解方程时，一定要认真分析，选择恰当的方法，若遇到比较复杂的方程，审题就显得更重要了．方程（3）采用了换元法，使解题变得简单．
18．解：解方程x2-2x+ （2- ）=0，得x1= ，x2=2- ．
方程x2-4=0的两根是x1=2，x2=-2．
所以a、b、c的值分别是 ，2- ，2．
因为 +2- =2，所以以a、b、c为边的三角形不存在．
点拨：先解这两个方程，求出方程的根，再用两边的和与第三边相比较等来判断．
19．解：（1）设方程的两根为x1，x2（x1>x2），则x1+x1=-1，x1-x2=1，解得x1=0，x2=-1．
（2）当x=0时，（a+c）×02+2b×0-（c-a）=0．
所以c=a．当x=-1时，（a+c）×（-1）2+2b×（-1）-（c-a）=0．a+c-2b-c+a=0，
所以a=b．即a=b=c，△ABC为等边三角形．
点拨：先根据题意，列出关于x，x的二元一次方程组，可以求出方程的两个根0和-1．进而把这两个根代入原方程，判断a、b、c的关系，确定三角形的形状．
20．解：设该产品的成本价平均每月应降低x．
625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500
整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81．
1-x=±0.9，x=1±0.9，
x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%．
答：该产品的成本价平均每月应降低10%．
点拨：题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．
21．解：依题意，N+（6-3）× +（11-6）× =29.10，
整理，得N2-29.1N+191=0，解得N1=19.1，N2=10，
由于N<12，所以N1=19.1舍去，所以N=10．
答：起步价是10元．
点拨：读懂表格是正确列出方程的基础，表格中的含义是：当行车里程不超过3公里时，价格是10元，当行车里程超过了3公里而不超过6公里时，除付10元外，超过的部分每公里再 付元；若行车里程超过6公里，除了需付以上两项费用外，超过6公里的部分，每公里再付 元．
22．C 23。 A 24。B 25。A 26。-2 27。0
28．.解：设小正方形的边长为 .
由题意得， .
解得， .
经检验， 符合题意， 不符合题意舍去.
∴ .
答：截去的小正方形的边长为 .
29．解：
（1）
（2）
1、答案：解：（1）设 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为 千米，
由题意得 ，解得 ．
地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米．
（2） （元），
该车货物从 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元．
（3）设这批货物有 车，
由题意得 ， 整理得 ，
解得 ， （不合题意，舍去）， 这批货物有8车．
∴ 做一个这样的箱子要花 元钱． ………………………………10分
2、答案：解：（1）据表格，可得 解方程组，得 （2）设2006年至2008年全省茶叶种植产茶年总产量的平均增长率为 ，
∵2006年全省茶叶种植产茶面积为 万亩，从而2006年全省茶叶种植产茶的总产量为 （万吨）．据题意，得 ，解方程，得 ，∴ 或 （舍去），从而增长率为 ．
3、答案：设这种箱子底部宽为 米，则长为 米，
依题意，得 ． 解得 （舍）， ．
∴ 这种箱子底部长为 米、宽为 米．
由长方体展开图知，要购买矩形铁皮面积为 （米 ）． ……9分
