第七讲 二次根式的运算
式子 ( ≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础．
(1) ( ≥0)；
(2) ( )；
(3) ( )；
(4) ( 0)．
同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．
二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解 相约等．
例题求解
【例1】 已知 ，则 = ．
(重庆市竞赛题)
思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．
注： 二次根式有如下重要性质：
(1) ，说明了 与 、 一样都是非负数；
(2) ( 0)，解二次根式问题的途径――通过平方，去掉根号有理化；
(3) ，揭示了与绝对值的内在一致性．
著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解 题．
【例2】 化简 ，所得的结果为（ ）
A． B． C． D．
(武汉市选拔赛试题)
思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．
注 特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律．
【例3】计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
．
思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口．
【例4】 (1)化简 ； (北京市竞赛题)
(2)计算 (“希望杯”邀请赛试题)
(3) 计算 ． (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)
思路点拨 （1）把4+2 万与4―2 分别化成一个平方数化简，此外，由于4+2 与4―2 是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数 ，我们还可以运用这一特点求解；(3)通过配方，可以简化一重根号，解题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．
【例5】 已知 ，求 的值．
(山东省竞赛题)
思路点拨 已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．
学历训练
1．如果 ，那么 = ．
(四川省竞赛题)
2．已知 ，那么 的值为 ． (成都市中考题)
3．计算 = ．(天津市选拔赛试题)
4．若 ab≠ 0，则等式 飞成立的条件是 ．(淄博市中考题)
5．如果式子 化简的结果为 ，则x的取值范围是( )
A．x≤1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x >0 (徐州市中考题)
6．如果式子 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
8．已知 ，那么 的值等于（ ）
A． B． C． D．3
9．计算：
(1) ；
（2） ； (北京市数学竞赛题)
（3） ；
（4）
(“希望杯”邀请赛试题)
10．(1)已知 与 的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值；
(2)设 ， ，n为自然数，如果 成立，求n．
11．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边 界)均会受到影响．
（1）问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由；
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?
(供选用数据： ， ) (贵阳市中考题)
12． 已知 ， ，那么 = ．(T1杯全国 初中数学联赛题)
13．若有理数x、y、z满足 ，则 = ．
(北京市竞赛题)
14．设 ，其中a为正整数，b在0，1之间，则 = ．
15．正数m、n满足 ，则 = ．
(北京市竞赛题)
16．化简 等于( )
A．5―4 B．4 一1 C． 5 D．－1 (全国初中数学联赛题)
17．若 ，则 等于( )
A B ． C．1 D．－1
(2004年武汉市选拔赛试题)
18．若 都是有理数，那么 和 面( )
A．都是有理数 B．一个是有理数，另一个是无理数
C．都是无理数 D．有理数还是无理数不能确定
(第13届“希望杯”邀请赛试题)
19．下列三个命题：
①若α，β是互不相等的无理数，则αβ+ α－β是无理数；
②若α，β是互不相等的无理数，则 是无理数；
③若α，β是互不相等的无理数，则 是无理数．
其中正确命题的个数是( )
A． 0 B．1 C．2 D．3 (全国初中数学联赛试题)
20．计算：
（1） ； （ “希望杯”竞赛题）
（2） ； （山东省竞赛题）
（3） ；（四川 省选拔赛题）
(4) ；
(5) ． (新加坡中学生数学竞赛题)
21．(1)求证 ；
(2)计算 ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）
22． (1)定义 ，求 的值；
(2)设x、y都是正整数，且使 ，求y的最大值．
(上海市竞赛题 )
23．试将实数 改写成三个正整数的算术根之和．
(2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)
式子 ( ≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础．
(1) ( ≥0)；
(2) ( )；
(3) ( )；
(4) ( 0)．
同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．
二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解 相约等．
例题求解
【例1】 已知 ，则 = ．
(重庆市竞赛题)
思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．
注： 二次根式有如下重要性质：
(1) ，说明了 与 、 一样都是非负数；
(2) ( 0)，解二次根式问题的途径――通过平方，去掉根号有理化；
(3) ，揭示了与绝对值的内在一致性．
著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解 题．
【例2】 化简 ，所得的结果为（ ）
A． B． C． D．
(武汉市选拔赛试题)
思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．
注 特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律．
【例3】计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
．
思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口．
【例4】 (1)化简 ； (北京市竞赛题)
(2)计算 (“希望杯”邀请赛试题)
(3) 计算 ． (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)
思路点拨 （1）把4+2 万与4―2 分别化成一个平方数化简，此外，由于4+2 与4―2 是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数 ，我们还可以运用这一特点求解；(3)通过配方，可以简化一重根号，解题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．
【例5】 已知 ，求 的值．
(山东省竞赛题)
思路点拨 已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．
学历训练
1．如果 ，那么 = ．
(四川省竞赛题)
2．已知 ，那么 的值为 ． (成都市中考题)
3．计算 = ．(天津市选拔赛试题)
4．若 ab≠ 0，则等式 飞成立的条件是 ．(淄博市中考题)
5．如果式子 化简的结果为 ，则x的取值范围是( )
A．x≤1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x >0 (徐州市中考题)
6．如果式子 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
8．已知 ，那么 的值等于（ ）
A． B． C． D．3
9．计算：
(1) ；
（2） ； (北京市数学竞赛题)
（3） ；
（4）
(“希望杯”邀请赛试题)
10．(1)已知 与 的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值；
(2)设 ， ，n为自然数，如果 成立，求n．
11．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边 界)均会受到影响．
（1）问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由；
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?
(供选用数据： ， ) (贵阳市中考题)
12． 已知 ， ，那么 = ．(T1杯全国 初中数学联赛题)
13．若有理数x、y、z满足 ，则 = ．
(北京市竞赛题)
14．设 ，其中a为正整数，b在0，1之间，则 = ．
15．正数m、n满足 ，则 = ．
(北京市竞赛题)
16．化简 等于( )
A．5―4 B．4 一1 C． 5 D．－1 (全国初中数学联赛题)
17．若 ，则 等于( )
A B ． C．1 D．－1
(2004年武汉市选拔赛试题)
18．若 都是有理数，那么 和 面( )
A．都是有理数 B．一个是有理数，另一个是无理数
C．都是无理数 D．有理数还是无理数不能确定
(第13届“希望杯”邀请赛试题)
19．下列三个命题：
①若α，β是互不相等的无理数，则αβ+ α－β是无理数；
②若α，β是互不相等的无理数，则 是无理数；
③若α，β是互不相等的无理数，则 是无理数．
其中正确命题的个数是( )
A． 0 B．1 C．2 D．3 (全国初中数学联赛试题)
20．计算：
（1） ； （ “希望杯”竞赛题）
（2） ； （山东省竞赛题）
（3） ；（四川 省选拔赛题）
(4) ；
(5) ． (新加坡中学生数学竞赛题)
21．(1)求证 ；
(2)计算 ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）
22． (1)定义 ，求 的值；
(2)设x、y都是正整数，且使 ，求y的最大值．
(上海市竞赛题 )
23．试将实数 改写成三个正整数的算术根之和．
(2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)
