2.2矩阵的运算及其性质
课 题2.2矩阵的运算及其性质时间教学目的学习矩阵相关的概念重点难点1.矩阵概念； 2特殊矩阵
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教学手段90 一、导言：矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。它虽然不是数，但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。二、新授：2.2.1矩阵的加法1.定义2.2：两个矩阵相加等于把这两个矩阵的对应元素相加。 应注意，并非任何两个矩阵都可以相加，只有当两个矩阵具有相同的行数和相同的列数时才能相加。 2.矩阵的加法满足下列运算律（设 ， ， 都是 矩阵）： （1） （2） 。 两个矩阵相减等于把这两个矩阵的对应元素相减。 2.2.2数与矩阵的乘法1.定义2.3：一个数与矩阵相乘等于用这个数去乘矩阵的每一个元素。 2.数与矩阵的乘法满足下列运算律（设 ， ，为 矩阵， ， 为数）： （1） （2） （3） 例3 设 ， 求 。 解： 讲授法 板演2.2.3.矩阵的乘法1.定义2.4：设两个矩阵 ， ，则矩阵 与矩阵 的乘积记为 ，规定 ，其中 2矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）： (1) 结合律： （2）分配律： （3）设 是数， 。 例2设 ， ， 求 ， 与 。 解： 从例题中我们可以得出下面的结论： （1）矩阵的乘法不满足交换律。即一般地说， 。 （2）两个非零矩阵的乘积可能等于零。一般说来， 不能推出 或 。 （3）矩阵乘法中消去律不成立。即 ，且 ，不能推出 3.设 是一个 阶方阵，定义： （ 是正整数） 称 为 的 次方幂。 由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足下列运算律： ； ，
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教学手段其中 ， 为正整数。又因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对两个 阶方阵 与 ，一般说来， 。 设 是 的一个多项式， 为任意方阵，则称 为矩阵 的多项式 2.2.4矩阵的转置 1.定义2.5：设 则矩阵 称为 的转置矩阵 2.矩阵的转置是一种运算，它满足下列运算律（假设运算都是可行的）： （1） （2） （3） （ 是数） （4） 例9 设bt=b, 证明(abat)t=abat 证明：因为bt=b，所以 (abat)t=[（ab）at]t=(at)t(ab)t=abtat=abat 3.定义2.6：设 为 阶方阵，如果 ，即有 则称 为对称矩阵。如果 ，即有 ， ，则说 为反对称矩阵。 2.2.5 n 阶方阵的行列式 1.定义2.7：由 阶方阵 所有元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为 阶方阵 的行列式(determinant of a matrix a)，记作| | 或 。 2. 阶行列式的运算满足下列运算律（设 ， 为 阶方阵， 为数）： （1） ；（2） ；（3） 。 三、练习：习题2.2 2~4 四、小结：本节介绍了矩阵的加、减、数乘、乘法、转置、方阵行列式的运算，这些运算矩阵理论中占有重要地位，特别是乘法运算，要熟练掌握这些运算。 五、作业： 课后记事本节应注重矩阵乘法的练习和证明题的训练，这始终是一个难点的地方。
