3.1 等差数列（精选15篇）

3.1 等差数列（精选15篇）

3.1 等差数列 篇1

　　教学目的：1.明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；    2.会解决知道 中的三个，求另外一个的问题           教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 教学过程： 一、复习引入：（课件第一页）   二、讲解新课：        1.等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。（课件第二页） ⑴.公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵.对于数列{ },若 － =d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈n ，则此数列是等差数列，d 为公差。 2.等差数列的通项公式： 【或 】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列 的首项是 ，公差是d，则据其定义可得： 即： 即： 即： …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：   （课件第二页） 第二通项公式             （课件第二页） 三、例题讲解 例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项(课本p111) ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 例2 在等差数列 中，已知 ， ，求 , , 例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列 中，设数列的第s项和第t项分别为 和 ，计算 的值，你能发现什么结论？并证明你的结论。  小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率 例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。（课本p112例3） 例5 已知数列{ }的通项公式 ，其中 、 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？（课本p113例4）    分析：由等差数列的定义，要判定 是不是等差数列，只要看 （n≥2）是不是一个与n无关的常数。 注：①若p=0，则{ }是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，… ②若p≠0, 则{ }是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q. ③数列{ }为等差数列的充要条件是其通项 =pn+q (p、q是常数)。称其为第3通项公式④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。 例6.成等差数列的四个数的和为26，第二项与第三项之积为40，求这四个数.四、练习： 1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项. （2）求等差数列10，8，6，……的第20项. （3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. （4）－20是不是等差数列0，－3 ，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 2.在等差数列{ }中，（1）已知 =10, =19,求 与d; 五、课后作业：习题3.2  1（2），（4）  2.（2）， 3， 4，  5， 6 .  8.  9.

3.1 等差数列 篇2

　　教材：（二）目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义，并且能够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。过程：一、复习：等差数列的定义，通项公式    二、例一    在等差数列 中， 为公差，若 且 求证：1°     2°         证明：1°  设首项为 ，则∵   ∴ 2∵   ∴ 注意：由此可以证明一个定理：设成等差数列，则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和 ，即：                    同样：若  则        例二  在等差数列 中，                 1° 若     求                 解：  即    ∴                2° 若  求           解： =                3° 若     求            解：   即    ∴                   从而                4° 若     求           解：∵ 6+6=11+1      7+7=12+2   ……                  ∴        ……                 从而 + 2                   ∴ =2 -                                                     =2×80-30=130  三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法      1.定义法：即证明            已知数列 的前 项和 ，求证数列 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。                  解：                             当 时                           时 亦满足  ∴               首项                     ∴ 成等差数列且公差为6     2.中项法： 即利用中项公式，若  则 成等差数列。          已知 ， ， 成等差数列，求证 ， ， 也成ap。         证明： ∵ ， ， 成ap      ∴  化简得：                                                                                                                =                            ∴ ， ， 也成等差数列。         3.通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于 的一次函数这一性质。            例五  设数列 其前 项和 ，问这个数列成ap吗？解： 时        时                   ∵    ∴                       ∴ 数列 不成ap   但从第2项起成等差数列。   四、小结： 略   五、作业：

3.1 等差数列 篇3

　　教学目标 

　　1.理解的概念，掌握的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题.

　　（1）了解公差的概念，明确一个数列是的限定条件，能根据定义判断一个数列是，了解等差中项的概念；

　　（2）正确认识使用的各种表示法，能灵活运用通项公式求的首项、公差、项数、指定的项；

　　（3）能通过通项公式与图像认识的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题.

　　2.通过的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过通项公式的运用，渗透方程思想.

　　3.通过概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对的研究，使学生明确与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.

　　关于的教学建议

　　（1）知识结构

　　（2）重点、难点分析

　　①教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用，是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能.

　　②通过不完全归纳法得出的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外， 出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点.

　　（3）教法建议

　　①本节内容分为两课时，一节为的定义与表示法，一节为通项公式的应用.

　　②定义的引出可先给出几组，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备.如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义.

　　③的定义归纳出来后，由学生举一些的例子，以此让学生思考确定一个的条件.

　　④由学生根据一般数列的表示法尝试表示，前提条件是已知数列的首项与公差.明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项 可看作项数 的一次型（ ）函数，这与其图像的形状相对应.

　　⑤有穷的末项与通项是有区别的，数列的通项公式 是数列第 项 与项数 之间的函数关系式，有穷的项数未必是 ，即其末项未必是该数列的第 项，在教学中一定要强调这一点.

　　⑥前 项和的公式推导离不开的性质，所以在本节课应补充一些重要的性质；另外可让学生研究的子数列，有规律的子数列会引起学生的兴趣.

　　⑦是现实生活中广泛存在的数列的数学模型，如教材中的例题、习题等，还可让学生去搜集，然后彼此交流，提出相关问题，自己尝试解决，为学生提供相互学习的机会，创设相互研讨的课堂环境.

　　通项公式的教学设计示例

　　教学目标 

　　1.通过教与学的互动，使学生加深对通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；

　　2.利用通项公式求的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；

　　3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.

　　教学重点，难点

　　教学重点是通项公式的认识；教学难点 是对公式的灵活运用.

　　教学用具

　　实物投影仪，多媒体软件，电脑.

　　教学方法

　　研探式.

　　教学过程 

　　一.复习提问

　　前一节课我们学习了的概念、表示法，请同学们回忆的定义，其表示法都有哪些？

　　的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.

　　二.主体设计

　　通项公式 反映了项 与项数 之间的函数关系，当的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知 求 ）.找学生试举一例如：“已知 中，首项 ，公差 ，求 .”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上.

　　1.方程思想的运用

　　（1）已知 中，首项 ，公差 ，则－397是该数列的第______项.

　　（2）已知 中，首项 ， 则公差

　　（3）已知 中，公差 ， 则首项

　　这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量 ， 在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量.

　　2.基本量方法的使用

　　（1）已知 中， ，求 的值.

　　（2）已知 中， ， 求 .

　　若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于 和 的二元方程组，所以这些是确定的，由 和 写出通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件（等式）化为关于 和 的二元方程组，以求得 和 ， 和 称作基本量.

　　教师提出新的问题，已知的一个条件（等式），能否确定一个？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于 和 的二元方程，这是一个 和 的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）.

　　如：已知 中， …

　　由条件可得 即 ，可知 ，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题

　　（3）已知 中， 求 ； ； ； ；….

　　类似的还有

　　（4）已知 中， 求 的值.

　　以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？引出

　　3.研究的单调性

　　，考察 随项数 的变化规律.着重考虑 的情况. 此时 是 的一次函数，其单调性取决于 的符号，由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.

　　4.研究项的符号

　　这是为研究前 项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如

　　（1）已知数列 的通项公式为 ，问数列从第几项开始小于0？

　　（2） 从第________项起以后每项均为负数.

　　三.小结

　　1. 用方程思想认识通项公式；

　　2. 用函数思想解决问题.

　　四.板书设计 

　　通项公式  1. 方程思想的运用

　　2. 基本量方法的使用

　　3. 研究的单调性

　　4. 研究项的符号

3.1 等差数列 篇4

　　教材：（一）目的：要求学生掌握等差数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念、计算公式，并能用来解决有关问题。过程：

　　一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，……                         3，0，-3，-6，……                     ， ， ， ，……                        12，9，6，3，……       特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 ― “等差”

　　二、得出等差数列的定义：        注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。1.名称：   首项   公差 2.若   则该数列为常数列3.寻求等差数列的通项公式：                    由此归纳为     当 时  （成立）       注意:  1° 等差数列的通项公式是关于 的一次函数              2° 如果通项公式是关于 的一次函数，则该数列成ap          证明：若                 它是以 为首项， 为公差的ap。              3° 公式中若  则数列递增，  则数列递减  4° 图象： 一条直线上的一群孤立点三、例题： 注意在 中 ， ， ， 四数中已知三个可以求           出另一个。例一 （见教材）例二 （见教材）

　　四、关于等差中项： 如果 成等差数列则       证明：设公差为 ，则               ∴    例四  《教学与测试》p77 例一：在-1与7之间顺次插入三个数 使这五个数成ap，求此数列。五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项六、作业：           

3.1 等差数列 篇5

　　教学目标

　　1.理解等差数列的概念,把握等差数列的通项公式,并能运用通项公式解决简单的问题.

　　(1)了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能根据定义判定一个数列是等差数列,了解等差中项的概念;

　　(2)正确熟悉使用等差数列的各种表示法,能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项;

　　(3)能通过通项公式与图像熟悉等差数列的性质,能用图像与通项公式的关系解决某些问题.

　　2.通过等差数列的图像的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过等差数列通项公式的运用,渗透方程思想.

　　3.通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新意识;通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从而渗透非凡与一般的辩证唯物主义观点.

　　关于等差数列的教学建议

　　(1)知识结构

　　(2)重点、难点分析

　　①教学重点是等差数列的定义和对通项公式的熟悉与应用,等差数列是非凡的数列,定义恰恰是其非凡性、也是本质属性的准确反映和高度概括,准确把握定义是正确熟悉等差数列,解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系,是研究一个数列的重要工具,等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关,通过函数图象研究数列性质成为可能.

　　②通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式,所以是教学中的一个难点;另外, 出现在一个等式中,运用方程的思想,已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多,学生应用时会有一定的困难,通项公式的灵活运用是教学的有一难点.

　　(3)教法建议

　　①本节内容分为两课时,一节为等差数列的定义与表示法,一节为等差数列通项公式的应用.

　　②等差数列定义的引出可先给出几组等差数列,让学生观察、比较,概括共同规律,再由学生尝试说出等差数列的定义,对程度差的学生可以提示定义的结构:“……的数列叫做等差数列”,由学生把限定条件一一列举出来,为等比数列的定义作预备.假如学生给出的定义不准确,可让学生研究讨论,用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例,再由学生修改其定义,逐步完善定义.

　　③等差数列的定义归纳出来后,由学生举一些等差数列的例子,以此让学生思考确定一个等差数列的条件.

　　④由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列,前提条件是已知数列的首项与公差.明确指出其图像是一条直线上的一些点,根据图像观察项随项数的变化规律;再看通项公式,项 可看作项数 的一次型( )函数,这与其图像的外形相对应.

　　⑤有穷等差数列的末项与通项是有区别的,数列的通项公式 是数列第 项 与项数 之间的函数关系式,有穷等差数列的项数未必是 ,即其末项未必是该数列的第 项,在教学中一定要强调这一点.

　　⑥等差数列前 项和的公式推导离不开等差数列的性质,所以在本节课应补充一些重要的性质;另外可让学生研究等差数列的子数列,有规律的子数列会引起学生的爱好.

　　⑦等差数列是现实生活中广泛存在的数列的数学模型,如教材中的例题、习题等,还可让学生去搜集,然后彼此交流,提出相关问题,自己尝试解决,为学生提供相互学习的机会,创设相互研讨的课堂环境.

　　等差数列通项公式的教学设计示例

　　教学目标

　　1.通过教与学的互动,使学生加深对等差数列通项公式的熟悉,能参与编拟一些简单的问题,并解决这些问题;

　　2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项,使学生进一步体会方程思想;

　　3.通过参与编题解题,激发学生学习的爱好.

　　教学重点,难点

　　教学重点是通项公式的熟悉;教学难点是对公式的灵活运用.

　　教学用具

　　实物投影仪,多媒体软件,电脑.

　　教学方法

　　研探式.

　　教学过程

　　一.复习提问

　　前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法,请同学们回忆等差数列的定义,其表示法都有哪些?

　　等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的,这个关系用递推公式来表示比较简单,但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.

　　二.主体设计

　　通项公式 反映了项 与项数 之间的函数关系,当等差数列的首项与公差确定后,数列的每一项便确定了,可以求指定的项(即已知 求 ).找学生试举一例如:“已知等差数列 中,首项 ,公差 ,求 .”这是通项公式的简单应用,由学生解答后,要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目,包括正用、反用与变用,简单、复杂,定量、定性的均可,教师巡视将好题搜集起来,分类投影在屏幕上.

　　1.方程思想的运用

　　(1)已知等差数列 中,首项 ,公差 ,则-397是该数列的第______项.

　　(2)已知等差数列 中,首项 , 则公差

　　(3)已知等差数列 中,公差 , 则首项

　　这一类问题先由学生解决,之后教师点评,四个量 , 在一个等式中,运用方程的思想方法,已知其中三个量的值,可以求得第四个量.

　　2.基本量方法的使用

　　(1)已知等差数列 中, ,求 的值.

　　(2)已知等差数列 中, , 求 .

　　若学生的题目只有这两种类型,教师可以小结(最好请出题者、解题者概括):因为已知条件可以化为关于 和 的二元方程组,所以这些等差数列是确定的,由 和 写出通项公式,便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件(等式)化为关于 和 的二元方程组,以求得 和 , 和 称作基本量.

　　教师提出新的问题,已知等差数列的一个条件(等式),能否确定一个等差数列?学生回答后,教师再启发,由这一个条件可得到关于 和 的二元方程,这是一个 和 的制约关系,从这个关系可以得到什么结论?举例说明(例题可由学生或教师给出,视具体情况而定).

　　如:已知等差数列 中, …

　　由条件可得 即 ,可知 ,这是比较显然的,与之相关的还能有什么结论?若学生答不出可提示,一定得某一项的值么?能否与两项有关?多项有关?由学生发现规律,完善问题

　　(3)已知等差数列 中, 求 ; ; ; ;….

　　类似的还有

　　(4)已知等差数列 中, 求 的值.

　　以上属于对数列的项进行定量的研究,有无定性的判定?引出

　　3.研究等差数列的单调性

　　,考察 随项数 的变化规律.着重考虑 的情况. 此时 是 的一次函数,其单调性取决于 的符号,由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.

　　4.研究项的符号

　　这是为研究等差数列前 项和的最值所做的预备工作.可配备的题目如

　　(1)已知数列 的通项公式为 ,问数列从第几项开始小于0?

　　(2)等差数列 从第________项起以后每项均为负数.

　　三.小结

　　1. 用方程思想熟悉等差数列通项公式;

　　2. 用函数思想解决等差数列问题.

　　四.板书设计

　　等差数列通项公式1. 方程思想的运用

　　2. 基本量方法的使用

　　3. 研究等差数列的单调性

　　4. 研究项的符号

3.1 等差数列 篇6

　　教学目标                        1.明确等差中的概念.     2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式     3.培养学生的应用意识.     教学重点                    等差数列的性质的理解及应用     教学难点                    灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题     教学方法                        讲练相结合     教具准备                        投影片2张(内容见下面) 教学过程                        (i)复习回顾 师：首先回忆一下上节课所学主要内容： 1.  等差数列定义： （n≥2） 2.  等差数列通项公式： （n≥2） 推导公式： （）讲授新课 师：先来看这样两个例题（放投影片1） 例1：在等差数列 中，已知 ， ，求首项 与公差 例2：梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。1.  解：由题意可知 解之得 即这个数列的首项是-2，公差是3。 或由题意可得： 即：31=10+7d 可求得d=3，再由 求得1=-2 2.  解设 表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知： a1=33,  a12=110，n=12 ∴ ,即时10=33+11 解之得： 因此， 答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm. 师：[提问]如果在 与 中间插入一个数a，使 ，a， 成等差数列数列，那么a应满足什么条件？ 生：由定义得a- = -a 即： 反之，若 ，则a- = -a 师：由此可可得： 成等差数列，若 ，a， 成等差数列，那么a叫做 与 的等差中项。 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是否和风细雨的等差中项，1和9的等差中项。 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。 看来， 从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q 则， 生：结合例子，熟练掌握此性质 师：再来看例3。（放投影片2） 生：思考例题 例3：已知数列的通项公式为： 分析：由等差数列的定义，要判定 是不是等差数列，只要看 （n≥2）是不是一个与n无关的常数。 解：取数列 中的任意相邻两项 与 （n≥2）， 则： 它是一个与n无关的常数，所以 是等差数列。在 中令n=1，得： ，所以这个等差数列的首项是p=q，公差是p.看来，等差数列的通项公式可以表示为： ，其中 、 是常数。 （）课堂练习 生：（口答） （书面练习） 师：给出答案 生：自评练习 （）课时小结 师：本节主要概念：等差中项 另外，注意灵活应用等差数列定义及通项公式解决相关问题。 （）课后作业 一、课本 二、1.预习内容     2.预习提纲：①等差数列的前n项和公式； ②等差数列前n项和的简单应用。 教学后记                 

3.1 等差数列 篇7

　　教学目标 

　　1.理解的概念，掌握的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题.

　　（1）了解公差的概念，明确一个数列是的限定条件，能根据定义判断一个数列是，了解等差中项的概念；

　　（2）正确认识使用的各种表示法，能灵活运用通项公式求的首项、公差、项数、指定的项；

　　（3）能通过通项公式与图像认识的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题.

　　2.通过的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过通项公式的运用，渗透方程思想.

　　3.通过概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对的研究，使学生明确与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.

　　关于的教学建议

　　（1）知识结构

　　（2）重点、难点分析

　　①教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用，是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能.

　　②通过不完全归纳法得出的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外， 出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点.

　　（3）教法建议

　　①本节内容分为两课时，一节为的定义与表示法，一节为通项公式的应用.

　　②定义的引出可先给出几组，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备.如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义.

　　③的定义归纳出来后，由学生举一些的例子，以此让学生思考确定一个的条件.

　　④由学生根据一般数列的表示法尝试表示，前提条件是已知数列的首项与公差.明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项 可看作项数 的一次型（ ）函数，这与其图像的形状相对应.

　　⑤有穷的末项与通项是有区别的，数列的通项公式 是数列第 项 与项数 之间的函数关系式，有穷的项数未必是 ，即其末项未必是该数列的第 项，在教学中一定要强调这一点.

　　⑥前 项和的公式推导离不开的性质，所以在本节课应补充一些重要的性质；另外可让学生研究的子数列，有规律的子数列会引起学生的兴趣.

　　⑦是现实生活中广泛存在的数列的数学模型，如教材中的例题、习题等，还可让学生去搜集，然后彼此交流，提出相关问题，自己尝试解决，为学生提供相互学习的机会，创设相互研讨的课堂环境.

　　通项公式的教学设计示例

　　教学目标 

　　1.通过教与学的互动，使学生加深对通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；

　　2.利用通项公式求的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；

　　3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.

　　教学重点，难点

　　教学重点是通项公式的认识；教学难点 是对公式的灵活运用.

　　教学用具

　　实物投影仪，多媒体软件，电脑.

　　教学方法

　　研探式.

　　教学过程 

　　一.复习提问

　　前一节课我们学习了的概念、表示法，请同学们回忆的定义，其表示法都有哪些？

　　的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.

　　二.主体设计

　　通项公式 反映了项 与项数 之间的函数关系，当的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知 求 ）.找学生试举一例如：“已知 中，首项 ，公差 ，求 .”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上.

　　1.方程思想的运用

　　（1）已知 中，首项 ，公差 ，则－397是该数列的第______项.

　　（2）已知 中，首项 ， 则公差

　　（3）已知 中，公差 ， 则首项

　　这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量 ， 在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量.

　　2.基本量方法的使用

　　（1）已知 中， ，求 的值.

　　（2）已知 中， ， 求 .

　　若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于 和 的二元方程组，所以这些是确定的，由 和 写出通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件（等式）化为关于 和 的二元方程组，以求得 和 ， 和 称作基本量.

　　教师提出新的问题，已知的一个条件（等式），能否确定一个？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于 和 的二元方程，这是一个 和 的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）.

　　如：已知 中， …

　　由条件可得 即 ，可知 ，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题

　　（3）已知 中， 求 ； ； ； ；….

　　类似的还有

　　（4）已知 中， 求 的值.

　　以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？引出

　　3.研究的单调性

　　，考察 随项数 的变化规律.着重考虑 的情况. 此时 是 的一次函数，其单调性取决于 的符号，由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.

　　4.研究项的符号

　　这是为研究前 项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如

　　（1）已知数列 的通项公式为 ，问数列从第几项开始小于0？

　　（2） 从第________项起以后每项均为负数.

　　三.小结

　　1. 用方程思想认识通项公式；

　　2. 用函数思想解决问题.

　　四.板书设计 

　　通项公式  1. 方程思想的运用

　　2. 基本量方法的使用

　　3. 研究的单调性

　　4. 研究项的符号

3.1 等差数列 篇8

　　教学目标 

　　1.理解的概念，掌握的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题.

　　（1）了解公差的概念，明确一个数列是的限定条件，能根据定义判断一个数列是，了解等差中项的概念；

　　（2）正确认识使用的各种表示法，能灵活运用通项公式求的首项、公差、项数、指定的项；

　　（3）能通过通项公式与图像认识的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题.

　　2.通过的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过通项公式的运用，渗透方程思想.

　　3.通过概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对的研究，使学生明确与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.

　　关于的教学建议

　　（1）知识结构

　　（2）重点、难点分析

　　①教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用，是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能.

　　②通过不完全归纳法得出的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外， 出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点.

　　（3）教法建议

　　①本节内容分为两课时，一节为的定义与表示法，一节为通项公式的应用.

　　②定义的引出可先给出几组，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备.如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义.

　　③的定义归纳出来后，由学生举一些的例子，以此让学生思考确定一个的条件.

　　④由学生根据一般数列的表示法尝试表示，前提条件是已知数列的首项与公差.明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项 可看作项数 的一次型（ ）函数，这与其图像的形状相对应.

　　⑤有穷的末项与通项是有区别的，数列的通项公式 是数列第 项 与项数 之间的函数关系式，有穷的项数未必是 ，即其末项未必是该数列的第 项，在教学中一定要强调这一点.

　　⑥前 项和的公式推导离不开的性质，所以在本节课应补充一些重要的性质；另外可让学生研究的子数列，有规律的子数列会引起学生的兴趣.

　　⑦是现实生活中广泛存在的数列的数学模型，如教材中的例题、习题等，还可让学生去搜集，然后彼此交流，提出相关问题，自己尝试解决，为学生提供相互学习的机会，创设相互研讨的课堂环境.

　　通项公式的教学设计示例

　　教学目标 

　　1.通过教与学的互动，使学生加深对通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；

　　2.利用通项公式求的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；

　　3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.

　　教学重点，难点

　　教学重点是通项公式的认识；教学难点 是对公式的灵活运用.

　　教学用具

　　实物投影仪，多媒体软件，电脑.

　　教学方法

　　研探式.

　　教学过程 

　　一.复习提问

　　前一节课我们学习了的概念、表示法，请同学们回忆的定义，其表示法都有哪些？

　　的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.

　　二.主体设计

　　通项公式 反映了项 与项数 之间的函数关系，当的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知 求 ）.找学生试举一例如：“已知 中，首项 ，公差 ，求 .”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上.

　　1.方程思想的运用

　　（1）已知 中，首项 ，公差 ，则－397是该数列的第______项.

　　（2）已知 中，首项 ， 则公差

　　（3）已知 中，公差 ， 则首项

　　这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量 ， 在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量.

　　2.基本量方法的使用

　　（1）已知 中， ，求 的值.

　　（2）已知 中， ， 求 .

　　若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于 和 的二元方程组，所以这些是确定的，由 和 写出通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件（等式）化为关于 和 的二元方程组，以求得 和 ， 和 称作基本量.

　　教师提出新的问题，已知的一个条件（等式），能否确定一个？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于 和 的二元方程，这是一个 和 的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）.

　　如：已知 中， …

　　由条件可得 即 ，可知 ，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题

　　（3）已知 中， 求 ； ； ； ；….

　　类似的还有

　　（4）已知 中， 求 的值.

　　以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？引出

　　3.研究的单调性

　　，考察 随项数 的变化规律.着重考虑 的情况. 此时 是 的一次函数，其单调性取决于 的符号，由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.

　　4.研究项的符号

　　这是为研究前 项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如

　　（1）已知数列 的通项公式为 ，问数列从第几项开始小于0？

　　（2） 从第________项起以后每项均为负数.

　　三.小结

　　1. 用方程思想认识通项公式；

　　2. 用函数思想解决问题.

　　四.板书设计 

　　通项公式  1. 方程思想的运用

　　2. 基本量方法的使用

　　3. 研究的单调性

　　4. 研究项的符号

3.1 等差数列 篇9

　　教学目的：1.明确等差中项的概念.2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式.教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题一、复习引入1.等差数列的定义；2.等差数列的通项公式：（1），（2），（3）3.有几种方法可以计算公差d

　　① d= －     ② d=     ③ d=       二、讲解新课：   问题：如果在 与 中间插入一个数a，使 ，a， 成等差数列数列，那么a应满足什么条件？由定义得a- = -a    ，即： 反之，若 ，则a- = -a由此可可得： 成等差数列。也就是说，a= 是a,a,b成等差数列的充要条件定义：若 ，a， 成等差数列，那么a叫做 与 的等差中项。不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。注意到， ，……由此猜测：性质：在等差数列中，若m+n=p+q，则， 即  m+n=p+q  (m, n, p, q ∈n )  （以上结论由学生证明）但通常 ①由  推不出m+n=p+q ，② 特例：等差数列{an}中，与首尾“等距离”的任意两项和相等.即      三、例题例1在等差数列{ }中，若 + =9, =7, 求  ,  .分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式 + = +  =9入手……（答案：   =2, =32）例2 等差数列{ }中， + + =－12, 且 ・ ・ =80. 求通项  分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题。而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再构造一个等式出来。      （答案： =－10+3 (n－1) = 3n－ 13 或 =2 －3 (n－1) = －3n+5）例3在等差数列{ }中, 已知 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝450, 求 ＋ 及前9项和 （ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ）. 提示：由双项关系式： ＋ ＝2 ， ＋ ＝2 及 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝450, 得5 ＝450, 易得 ＋ ＝2 ＝180.    ＝( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )＋ ＝9 ＝810.例4已知a、b、c的倒数成等差数列，那么，a2(b+c), b2(c+a), c2(a+b) 是否成等差数列。分析：将a、b、c的成等差数列转化为a+c=2b，再探索a2(b+c)+b2(c+a)=c2(a+b)， 即a2(b+c)+b2(c+a) - c2(a+b) = 0 是否成立.例5 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少公共项.分析：两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数.（答案：25个公共项）四、练习：1.在等差数列 中，已知 ， ，求首项 与公差 2. 在等差数列 中, 若     求  3.在等差数列 中若 ， ， 求 五、作业：课本：p114习题3.2  7. 10，11.《精析精练》p117 智能达标训练

3.1 等差数列 篇10

　　教学目标：（1）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；

　　(2) 利用等差数列的通项公式能由a1, d , n ,an“知三求一”，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；

　　（3）通过作等差数列的图像，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列的通项公式应用，渗透方程思想。

　　教学重、难点：等差数列的定义及等差数列的通项公式。

　　知识结构：   一般数列定义    通项公式法     

　　递推公式法

　　等差数列 表示法                   应用

　　图示法

　　性质           列举法

　　教学过程：

　　（一）创设情境：

　　1.观察下列数列：

　　1，2，3，4，……；(军训时某排同学报数)   ①

　　10000，9000，8000，7000，……；（温州市房价平均每月每平方下跌的价位）②

　　2，2，2，2，…… ；（坐38路公交车的车费）③

　　问题：上述三个数列有什么共同特点？（学生会发现很多规律，如都是整数，再举几个非整数等差数列例子让学生观察）

　　规律：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。

　　引出等差数列。

　　（二）新课讲解：

　　1.等差数列定义：

　　一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示。

　　问题：（a）能否用数学符号语言描述等差数列的定义？

　　用递推公式表示为 或 .

　　(b)例 1： 观察下列数列是否是等差数列：

　　（1）1，-1，1，-1，…

　　( 2 ) 1 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , …

　　意在强调定义中“同一个常数”

　　(c)例2：求上述三个数列的公差；公差d可取哪些值？d>0，d=0,d<0时，数列有什么特点

　　（d有不同的分类，如按整数分数分类，再举几个等差数列的例子观察d的分类对数列的影

　　响）

　　说明：等差数列（通常可称为 数列）的单调性： 为递增数列， 为常数列，  为递减数列。

　　例3：求等差数列13，8，3，-2，…的第5项。第89项呢？

　　放手让学生利用各种方法求a89，从中找出合适的方法，如利用不完全归纳法或累加法，然

　　后引出求一般等差数列的通项公式。

　　2.等差数列的通项公式：已知等差数列 的首项是 ，公差是 ，求 .

　　（1）由递推公式利用用不完全归纳法得出

　　由等差数列的定义： ， ， ，……

　　∴ ， ， ，……

　　所以，该等差数列的通项公式： .

　　(验证n=1时成立)。

　　这种由特殊到一般的推导方法，不能代替严格证明。要用数学归纳法证明的。

　　（2）累加法求等差数列的通项公式

　　让学生体验推导过程。(验证n=1时成立)

　　3.例题及练习：

　　应用等差数列的通项公式

　　追问 ：（1）-232是否为例3等差数列中的项？若是，是第几项？

　　（2）此数列中有多少项 属于区间[-100，0] ？

　　法一：求出a1 ,d,借助等差数列的通项公式求a20。

　　法二：求出d ，a20=a5+15d=a12+8d

　　在例4基础上，启发学生猜想证明

　　练习：

　　梯子的最高一级宽31cm，最低一级宽119cm,中间还有3级，各级的宽度成等差数列，请计算中间各级的宽度。

　　观察图像特征。

　　思考：an是关于n的一次式，是数列{an}为等差数列的什么条件？

　　课后反思：这节课的重点是等差数列定义和通项公式概念的理解，而不是公式的应用，有些应试教育的味道。有时抢学生的回答，没有真正放手让学生的思维发展，学生活动太少，课堂氛围不好。学生对问题的反应出乎设计的意料时，应该顺着学生的思维发展。

3.1 等差数列 篇11

　　以下是初中数学等差数列(第一课时)说课稿范文，仅供参考。希望大家喜欢!

　　等差数列(第一课时)说课稿

　　各位评委老师好，我是4号考生，我今天说课的题目是《等差数列》，我从教材分析，学情教法分析，学法分析，教学过程四方面对本节课的内容加以说明。

　　一、教材分析

　　1、教材的地位和作用：

　　《等差数列》是人教版新课标教材《数学》必修5第二章第二节的内容。数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。

　　2、教学目标

　　根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标

　　a知识与技能：理解并掌握等差数列的概念;了解等差数列的通项公式的推导过程及思想;初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。培养学生观察、分析、归纳、推理的能力;在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

　　b.过程与方法：在教学过程中我采用讨论式、启发式的方法使学生深刻的理解不完全归纳法。

　　c.情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

　　3、教学重点和难点

　　重点：①等差数列的概念。

　　②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

　　难点：①等差数列的通项公式的推导

　　②用数学思想解决实际问题

　　二、学情教法分析：

　　对于高一学生，知识经验已较为丰富，具备了一定的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。学生在初中时只是简单的接触过等差数列，具体的公式还不会用，因些在公式应用上加强学生的理解

　　三、学法分析：

　　在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

　　四、教学过程

　　1.创设情景 提出问题

　　首先要学生回忆数列的有关概念，数列的两种方法——通项公式和递推公式

　　然后本节课开始通过介绍

3.1 等差数列 篇12

　　教学目的：1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式. 2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题. 教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式 教学难点：灵活应用求和公式解决问题 教学过程： 一、复习引入：首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1.等差数列的前 项和公式1：  2.等差数列的前 项和公式2：  3. ，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用 : 当 >0，d<0，前n项和有最大值。可由 ≥0，且 ≤0，求得n的值。 当 <0，d>0，前n项和有最小值。可由 ≤0，且 ≥0，求得n的值。 （2） 利用 ：由 二次函数配方法求得最值时n的值。    二、例题讲解   例1 . 已知等差数列的前 项和为 ，前 项和为 ，求前 项和. 解：由题设       ∴   而 例2 已知一个等差数列的前四项和为21，后四项和为67，前n项和为286，求项数.

　　分析：若把有穷数列{an} 的前n项和sn的平均值 叫做数列的平均值，记为 ，即 则sn=n .根据等差数列的性质易知， .(答案：n=26).

　　例3 等差数列 中， 该数列的前多少项和最小？

　　思路1：求出sn的函数解析式（n的二次函数, ），再求函数取得最小值时的n值. 思路2：公差下为0的等差数列等差数列前n项和最小的条件为： 思路3：由s9=s12得s12-s9=a10+a11+a12=0得a11=0. 例4. 已知数列{an}的前n 项和 ，求数列{|an|}的前n项和tn. 解： 当 时， ∵n=1也适合上式，∴数列的通项公式为an=-3n+104 ( ） 由an=-3n+104≥0得n≤34.7，即当n≤34时，an>0,当n≥35时an<0.(1)    即当n≤34时，tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an= . (2)    当n≥35时,   tn=|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)- (a35+a36+…+an)    =2(a1+a2+…+a34)-( a1+a2+…+an)=2s34-sn    三、练习： 1.一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式. 2.两个数列1, , , ……, , 5和1, , , ……, , 5均成等差数列公差分别是 , , 求 与 的值。   3.在等差数列{ }中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{ }的前n项和 的最小值。 四、作业：课时p119习题3.3 9，10，  《精析精练》p122 智能达标训练.

3.1 等差数列 篇13

　　一、教学内容分析

　　本节课是《普通高中课程标准实验教科书・数学5》(人教版)第二章数列第二节等差数列第一课时。

　　数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法――通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

　　二、学生学习情况分析

　　教学内容针对的是高二的学生，经过高中一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也可能有一部分学生的基础较弱，所以在授课时要从具体的生活实例出发，使学生产生学习的兴趣，注重引导、启发学生的积极主动的去学习数学，从而促进思维能力的进一步提高。

　　三、设计思想

　　1.教法

　　⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

　　⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。

　　⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 2.学法

　　引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。

　　用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

　　在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

　　四、教学目标

　　通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题;并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力。

　　五、教学重点与难点

　　重点：

　　①等差数列的概念。

　　②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 难点：

　　①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。 ②理解等差数列是一种函数模型。 关键：

　　等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。

　　六、教学过程(略)

3.1 等差数列 篇14

　　深圳中学 白教授n}是等差数列，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.

　　二、教授新课（尝试推导）

　　师：如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第n项an，根据等差数列的性质，如何来导出它的前n项和Sn计算公式呢？根据上面的例子同学们自己完成推导，并请一位学生板演。

　　生4：Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成

　　Sn=an+an-1+......a2+a1

　　两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

　　n个

　　=n(a1+an)

　　所以Sn=(I)

　　师：好！如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则an=a1+(n-1)d代入公式(1)得

　　Sn=na1+ d(II)

　　上面（I）、（II）两个式子称为等差数列的前n项和公式。公式（I）是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式（上底+下底）×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n。引导学生总结：这些公式中出现了几个量？（a1，d，n，an，Sn），它们由哪几个关系联系？[an=a1+(n-1)d，Sn==na1+ d]；这些量中有几个可自由变化？（三个）从而了解到：只要知道其中任意三个就可以求另外两个了。下面我们举例说明公式（I）和（II）的一些应用。

　　三、公式的应用（通过实例演练，形成技能）。

　　1、直接代公式（让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式）例2、计算：

　　（1）1+2+3+......+n

　　（2）1+3+5+......+(2n-1)

　　（3）2+4+6+......+2n

　　（4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

　　请同学们先完成（1）-（3），并请一位同学回答。

　　生5：直接利用等差数列求和公式（I），得

　　（1）1+2+3+......+n=

　　（2）1+3+5+......+(2n-1)=

　　（3）2+4+6+......+2n==n(n+1)

　　师：第（4）小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用Sn公式求解？若不能，那应如何解答？小组讨论后，让学生发言解答。

　　生6：（4）中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以

　　原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)

　　=n2-n(n+1)=-n

　　生7：上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：

　　原式=-1-1-......-1=-n

　　n个

　　师：很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法。注意在运用Sn公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解。

　　例3、（1）数列{an}是公差d=-2的等差数列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10。

　　生8：（1）由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12，即a1+d=4

　　又∵d=-2，∴a1=6

　　∴S12=12 a1+66×（-2）=-60

　　生9：（2）由a1+a2+a3=12，a1+d=4

　　a8+a9+a10=75，a1+8d=25

　　解得a1=1，d=3 ∴S10=10a1+=145

　　师：通过上面例题我们掌握了等差数列前n项和的公式。在Sn公式有5个变量。已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量（知三求二），请同学们根据例3自己编题，作为本节的课外练习题，以便下节课交流。

　　师：（继续引导学生，将第（2）小题改编）

　　①数列{an}等差数列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n

　　②若此题不求a1，d而只求S10时，是否一定非来求得a1，d不可呢？引导学生运用等差数列性质，用整体思想考虑求a1+a10的值。

　　2、用整体观点认识Sn公式。

　　例4，在等差数列{an}， （1）已知a2+a5+a12+a15=36，求S16；（2）已知a6=20，求S11。（教师启发学生解）

　　师：来看第（1）小题，写出的计算公式S16==8(a1+a6)与已知相比较，你发现了什么？

　　生10：根据等差数列的性质，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以S16=8×18=144。

　　师：对！（简单小结）这个题目根据已知等式是不能直接求出a1，a16和d的，但由等差数列的性质可求a1与an的和，于是这个问题就得到解决。这是整体思想在解数学问题的体现。

　　师：由于时间关系，我们对等差数列前n项和公式Sn的运用一一剖析，引导学生观察当d≠0时，Sn是n的二次函数，那么从二次（或一次）的函数的观点如何来认识Sn公式后，这留给同学们课外继续思考。

　　最后请大家课外思考Sn公式（1）的逆命题：

　　已知数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有自然数n，都有Sn=。数列{an}是否为等差数列，并说明理由。

　　四、小结与作业 。

　　师：接下来请同学们一起来小结本节课所讲的内容。

　　生11：1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式。

　　2、用所推导的两个公式解决有关例题，熟悉对Sn公式的运用。

　　生12：1、运用Sn公式要注意此等差数列的项数n的值。

　　2、具体用Sn公式时，要根据已知灵活选择公式（I）或（II），掌握知三求二的解题通法。

　　3、当已知条件不足以求此项a1和公差d时，要认真观察，灵活应用等差数列的有关性质，看能否用整体思想的方法求a1+an的值。

　　师：通过以上几例，说明在解题中灵活应用所学性质，要纠正那种不明理由盲目套用公式的学习方法。同时希望大家在学习中做一个有心人，去发现更多的性质，主动积极地去学习。

　　本节所渗透的数学方法；观察、尝试、分析、归纳、类比、特定系数等。

　　数学思想：类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等。

　　作业 ：P49：13、14、15、17

3.1 等差数列 篇15

　　教学目标

　　1.把握等差数列前 项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.

　　(1)了解等差数列前 项和的定义,了解逆项相加的原理,理解等差数列前 项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;

　　(2)用方程思想熟悉等差数列前 项和的公式,利用公式求 ;等差数列通项公式与前 项和的公式两套公式涉及五个字母,已知其中三个量求另两个值;

　　(3)会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.

　　2.通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从非凡到一般,再从一般到非凡的思维规律,初步形成熟悉问题,解决问题的一般思路和方法.

　　3.通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的练习,发展学生的思维水平.

　　4.通过公式的推导过程,展现数学中的对称美;通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题.

　　教学建议

　　(1)知识结构

　　本节内容是等差数列前 项和公式的推导和应用,首先通过具体的例子给出了求等差数列前 项和的思路,而后导出了一般的公式,并加以应用;再与等差数列通项公式组成方程组,共同运用,解决有关问题.

　　(2)重点、难点分析

　　教学重点是等差数列前 项和公式的推导和应用,难点是公式推导的思路.

　　推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路,即从非凡问题的解决中提炼一般方法,再试图运用这一方法解决一般情况,所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要.等差数列前 项和公式有两种形式,应根据条件选择适当的形式进行计算;另外反用公式、变用公式、前 项和公式与通项公式的综合运用体现了方程(组)思想.

　　高斯算法表现了大数学家的聪明和巧思,对一般学生来说有很大难度,但大多数学生都听说过这个故事,所以难点在于一般等差数列求和的思路上.

　　(3)教法建议

　　①本节内容分为两课时,一节为公式推导及简单应用,一节侧重于通项公式与前 项和公式综合运用.

　　②前 项和公式的推导,建议由具体问题引入,使学生体会问题源于生活.

　　③强调从非凡到一般,再从一般到非凡的思考方法与研究方法.

　　④补充等差数列前 项和的最大值、最小值问题.

　　⑤用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式.

　　等差数列的前项和公式教学设计示例

　　教学目标

　　1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式的推导过程,并能用公式解决简单的问题.

　　2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从非凡到一般,再从一般到非凡的思想方法,通过公式的运用体会方程的思想.

　　教学重点,难点

　　教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用,难点是获得推导公式的思路.

　　教学用具

　　实物投影仪,多媒体软件,电脑.

　　教学方法

　　讲授法.

　　教学过程

　　一.新课引入

　　提出问题(播放媒体资料):一个堆放铅笔的v形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个v形架上共放着多少支铅笔?(课件设计见课件展示)

　　问题就是(板书)“ ”

　　这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.(由一名学生回答,再由学生讨论其高明之处)高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.

　　我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发?

　　二.讲解新课

　　(板书)等差数列前 项和公式

　　1.公式推导(板书)

　　问题(幻灯片):设等差数列 的首项为 ,公差为 , 由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.

　　思路一:运用基本量思想,将各项用 和 表示,得

　　,有以下等式

　　,问题是一共有多少个 ,似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.

　　思路二:

　　上面的等式其实就是 ,为回避个数问题,做一个改写 , ,两式左右分别相加,得

　　,

　　于是有: .这就是倒序相加法.

　　思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得 ,于是 .

　　于是得到了两个公式(投影片): 和 .

　　2.公式记忆

　　用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前 项和的两个公式.

　　3.公式的应用

　　公式中含有四个量,运用方程的思想,知三求一.

　　例1.求和:(1) ;

　　(2) (结果用 表示)

　　解题的关键是数清项数,小结数项数的方法.

　　例2.等差数列 中前多少项的和是9900?

　　本题实质是反用公式,解一个关于 的一元二次函数,注重得到的项数 必须是正整数.

　　三.小结

　　1.推导等差数列前 项和公式的思路;

　　2.公式的应用中的数学思想.

　　四.板书设计