正多边形的有关计算（精选7篇）

正多边形的有关计算（精选7篇）

正多边形的有关计算 篇1

　　教学目标：1、复习正多边形的基本计算图，并会通过解一般直角三角形来完成正多边形的计算，解决实际应用问题；2、通过正十边形的边长a10与半径r的关系的证明，学习边计算边推理的数学方法；3、在基本计算图的基础上，能将同圆内接正n边形与外切正n边形的有关计算数据进行相互转化.4、在解应用题时，使学生学会把实际问题抽象为数学问题，把实物抽象为几何图形的抽象能力；5、根据条件进行正确迅速计算的运算能力；6、用代数计算的结果作证明依据的综合、分析问题，解决问题的能力；7、通过研究同圆内接正n边形与外切正n边形的关系，培养学生的观察能力.教学重点：  (1)应用正多边形的基本计算图解决实际应用问题；(2)用 边形与外切正n边形已知条件与未知元素的相互转化.教学难点：    例3的证明教学过程：一、新课引入：上节课我们根据正多边形的定义及其概念，运用将正多边形分割成三角形的方法，得到了化正多边形有关计算为解直角三角形问题基本计算图，并应用基本计算图解决诸如正三角形、正方形、正六边形的有关计算问题，即解决了含特殊角的正多边形的有关计算问题，本节课我们继续研究正多边形的有关计算问题.正多边形的有关计算方法是基本的几何计算知识之一，掌握这些知识，一方面可以为学生进一步学习打好基础，另一方面，这些知识在生产和生活中常常会用到，掌握后对学生参加实践活动具有实用意义，为此本堂课讲解了几个正多边形有关计算的实例，借以培养学生用数学意识.二、新课讲解：展示正多边形的一般计算图7-144，提问以下问题让学生回忆并作答：1.在rt△aod中，斜边r是正n边形的______；(安排中下生回答：半径)2.直角边rn是正n边形的______；(安排中下生回答：边心距)

　　3.图中的an表示正多边形的什么？(安排中下生回答：边长)4.图中的an表示正多边形的什么？(安排中下生回答：中心角)哪位同学记得解这类题的一般步骤？(安排中下生回答：先画计算度数是多少？(安排中下生回答：45°)分析完后，安排学生计算出结果.(幻灯给出应用题)：在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形，测得这个正五边形的边长是48cm，求它的半径r和边心距r5(精确到0.1cm).

　　解：设正五边形为abcde，它的中心为点o，连接oa，作of⊥ab，垂足为f，(问：这一步目的是什么？)则oa=r，of=r5，∠aof=？(安排学生回答：36°)∴r5=24・ctg36°=24×1.3764≈33.0(cm).答：这个正多边形的半径约为40.8cm，边心距约为33.0cm.正多边形的有关计算，在生产和生活中常常会用到，但将实际问题归结为正多边形的有关计算后，解题的步骤方法就依然如故了，本题拨禾轮问题与前题正方形的计算不是同出一辙吗？巩固练习：教材p.173中7，要用圆形铁片截出边长a的正方形铁片，选用的圆铁片的直径最小要多长？启发，提出下列问题：1.要截出边长为a的正方形铁片与选用的直径最小的圆铁片它们之间是什么关系？(安排中等生回答：正方形是圆的内接正方形)2.这题实质是给出了正方形的什么元素，求什么元素？(安排中下生回答：给出正方形边长求半径.)请同学们以最快的速度，求出答案.幻灯给出顶角36°的等腰三角形，作如下启发思考的提问：

　　1.如图7-146，已知△abc中ab=ac，∠a=36°，哪位同学知道∠b与∠c的度数？(安排中下生回答)2.如果bd平分∠abc交ac于d，你发现图形中与bc相等的线段有哪些？(安排中下生回答)3.你发现图形中哪两个三角形相似？(安排中等生回答)4.如果ac=a，bc应是多少？怎么计算？(安排学生讨论、研究)(继续启发思考提问)：大家观察证明中bc2=deac这一步，因bc=ad，所以前等式变为ad2=dc・ac，也就是说点d将线段ac分为两部分，其中较长的线段ad是较小线段cd与全线段ac的比例中项，哪位同学记得点d应叫做线段ac的什么点？(安排回忆起来的学生回答：黄金分割点)由上面的证明我们知道ad应是ac的黄金分割线段，由于bc与ad相等，观察发现bc是顶角36°角的等腰三角形的底，ac是这等腰三角形的腰？通过上面证明哪位同学能说一下你所得的结论？(安排中上学生回答：顶角36°角的等腰三角形的底边长是它腰长的黄金分割线段)若腰长为a则底边长应是多少？(安排中等生回答：1.哪位同学知道正十边形的中心角的度数是多少？(安排中下生回答：36°)2.大家想想看，正十边形的夹36°中心角的半径与边长组成一个什么图形？(安排中等生回答：顶角36°的等腰三角形)3.如果一个正十边形的半径为r，那么这个正十边形的边长a10应该等于多少？幻灯供题：已知⊙o的内接正六边形的边长为2，求⊙o的外切正三角形的边长.大家观察⊙o的半径oc，它与内接正六边形abcdef、外切正△mnp有什么联系？(安排中上学生回答：oc是内接正六边形的半径，它又是外切正△mnp的弦心距)由于正六边形的边长等于半径，知边长为2即知⊙o的半径r=2，而半径oc又是⊙o外切

　　通过这题你发现连接圆内接正n边形与圆外切正多边形的桥梁是什么？(安排中等学生回答：这个圆的半径r)这r是内接正n边形的半径又是同圆外切正多边形的边心距，所以解这类题的关键在于根据已知条件首先求出r，再将r转化求出未知元素.三、课堂小结：哪位同学能说一下，这堂课我们都学习了什么知识？(安排上等生归纳)1.应用正多边形的有关计算解决实际问题.3.明确了连接圆内接正n边形与同圆外切正多边形的桥梁是这个圆的半径，即它是内接正n边形的半径又是同圆外切正多边形的边心距，因此解决此类问题首先要求它.四、布置作业教材p.165中练习1；p.173中8；p.173中12(此题改为：求5孔心所在圆的半径)；p.173中8、9、10、11.

正多边形的有关计算 篇2

　　教学设计示例1

　　教学目标 ：

　　（1）会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题；

　　（2）巩固学生解直角三角形的能力，培养学生正确迅速的运算能力；

　　（3）通过正多边形有关计算公式的推导，激发学生探索和创新.

　　教学重点:

　　把问题转化为解直角三角形的问题.

　　教学难点 :

　　正确地将问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算.

　　教学活动设计:

　　（一）创设情境、观察、分析、归纳结论

　　1、情境一：给出图形.

　　问题1：正n边形内角的规律.

　　观察：在图形中，应用以有的知识（多边形内角和定理，多边形的每个内角都相等）得出新结论.

　　教师组织学生自主观察，学生回答.（正n边形的每个内角都等于 .）

　　2、情境二：给出图形.

　　问题2：每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的三角形？它们有什么规律？

　　教师引导学生观察，学生回答.

　　观察：三角形的形状，三角形的个数.

　　归纳：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形.

　　3、情境三：给出图形.

　　问题3：作每个正多边形的边心距，又有什么规律？

　　观察、归纳：这些边心距又把这n个等腰三角形分成了个直角三角形，这些直角三角形也是全等的.

　　（二）定理、理解、应用：

　　1、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形.

　　2、理解：定理的实质是把正多边形的问题向直角三角形转化.

　　由于这些直角三角形的斜边都是正n边形的半径R，一条直角边是正n边形的边心距rn，另一条直角边是正n边形边长an的一半，一个锐角是正n边形中心角 的一半，即 ，所以，根据上面定理就可以把正n边形的有关计算归结为解直角三角形问题.

　　3、应用：

　　例1、已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长、周长P6和面积S6.

　　教师引导学生分析解题思路：

　　n=6 =30°，又半径为R a6 、r6. P6、S6.

　　学生完成解题过程，并关注学生解直角三角形的能力.

　　解：作半径OA、OB；作OG⊥AB，垂足为G，得Rt△OGB.

　　∵∠GOB= ，

　　∴a6 =2・Rsin30°=R，

　　∴P6=6・a6=6R，

　　∵r6=Rcos30°= ，

　　∴ .

　　归纳：如果用Pn表示正n边形的周长，由例1可知，正n边形的面积S6= Pn rn.

　　4、研究：（应用例1的方法进一步研究）

　　问题：已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及面积.

　　学生以小组进行研究，并初步归纳：

　　； ； ； ；

　　； .

　　上述公式是运用解直角三角形的方法得到的.

　　通过上式六公式看出，只要给定两个条件，则正多边形就完全确定了.例如：(1)圆的半径或边数；(2)圆的半径和边心距；(3)边长及边心距，就可以确定正多边形的其它元素.

　　（三）小节

　　知识：定理、正三角形、正方形、正六边形的元素的计算问题.

　　思想：转化思想.

　　能力：解直角三角形的能力、计算能力；观察、分析、研究、归纳能力.

　　（四）作业 

　　归纳正三角形、正方形、正六边形以及正n边形的有关计算公式.

　　教学设计示例2

　　教学目标 ：

　　（1）进一步研究正多边形的计算问题，解决实际应用问题；

　　（2）通过正十边形的边长a10与半径R的关系的证明，学习边计算边推理的数学方法；

　　（3）通过解决实际问题，培养学生简单的数学建模能力；

　　（4）培养学生用数学意识，渗透理论联系实际、实践论的观点.

　　教学重点:

　　应用正多边形的基本计算图解决实际应用问题及代数计算的证明方法.

　　教学难点 :

　　例3的证明方法.

　　教学活动设计：

　　（一）知识回顾

　　（1）方法：运用将正多边形分割成三角形的方法，把正多边形有关计算转化为解直角三角形问题.

　　（2）知识：正三角形、正方形、正六边形的有关计算问题，.

　　； ； ； ；

　　； .

　　组织学生填写教材P165练习中第2题的表格.

　　（二）正多边形的应用

　　正多边形的有关计算方法是基本的几何计算知识之一，掌握这些知识，一方面可以为学生进一步学习打好基础，另一方面，这些知识在生产和生活中常常会用到，掌握后对学生参加实践活动具有实用意义.

　　例2、在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形，测得这个正五边形的边长是48cm，求它的半径R5和边心距r5(精确到0.1cm).

　　解：设正五边形为ABCDE，它的中心为点O，连接OA，作OF⊥AB，垂足为F，则OA=R5，OF=r5，∠AOF= .

　　∵AF= （cm），∴R5= （cm）.

　　r5= （cm）.

　　答：这个正多边形的半径约为40.8cm，边心距约为33.0cm

　　建议：①组织学生，使学生主动参与教学；②渗透简单的数学建模思想和实际应用意识；③对与本题除解直角三角形知识外，还要主要学生的近似计算能力的培养.

　　以小组的学习形式，每个小组自己举一个实际生活中的例子加以研究，班内交流.

　　例3、已知：正十边形的半径为R，求证：它的边长 .

　　教师引导学生：

　　（1）∠AOB=？

　　（2）在△OAB中，∠A与∠B的度数？

　　（3）如果BM平分∠OBA交OA于M，你发现图形中相等的线段有哪些？你发现图中三角形有什么关系？

　　（4）已知半径为R，你能不通过解三角形的方法求出AB吗？怎么计算？

　　解：如图，设AB=a10.作∠OBA的平分线BM，交OA于点M，则

　　∠AOB=∠1=∠2=36°，∠OAB=∠3=72°.

　　∴OM=MB=AB=a10.

　　△ OAB∽△BAM OA:AB=BA:AM，即R :a10=a10:（R- a10），整理，得

　　， （取正根）.

　　由例3的结论可得 .

　　回顾：黄金分割线段.AD2=DC・AC，也就是说点D将线段AC分为两部分，其中较长的线段AD是较小线段CD与全线段AC的比例中项.顶角36°角的等腰三角形的底边长是它腰长的黄金分割线段.

　　反思：解决方法.在推导a10与R关系时，辅助线角平分线是怎么想出来的.解决方法是复习等腰三角形的性质、判定及相似三角形的有关知识.

　　练习P.165中练习1

　　(三)总结

　　（1）应用解决实际问题；

　　（2）综合代数列方程的方法证明了 .

　　（四）作业 

　　教材P173中8、9、10、11、12.

　　探究活动

　　已知下列图形分别为正方形、正五边形、正六边形，试计算角 、 、 的大小.

　　探究它们存在什么规律？你能证明吗？

　　（提示： .）

正多边形的有关计算 篇3

　　教学设计示例1

　　教学目标：

　　（1）会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题；

　　（2）巩固学生解直角三角形的能力，培养学生正确迅速的运算能力；

　　（3）通过正多边形有关计算公式的推导，激发学生探索和创新.

　　教学重点:

　　把问题转化为解直角三角形的问题.

　　教学难点:

　　正确地将问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算.

　　教学活动设计:

　　（一）创设情境、观察、分析、归纳结论

　　1、情境一：给出图形.

　　问题1：正n边形内角的规律.

　　观察：在图形中，应用以有的知识（多边形内角和定理，多边形的每个内角都相等）得出新结论.

　　教师组织学生自主观察，学生回答.（正n边形的每个内角都等于 .）

　　2、情境二：给出图形.

　　问题2：每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的三角形？它们有什么规律？

　　教师引导学生观察，学生回答.

　　观察：三角形的形状，三角形的个数.

　　归纳：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形.

　　3、情境三：给出图形.

　　问题3：作每个正多边形的边心距，又有什么规律？

　　观察、归纳：这些边心距又把这n个等腰三角形分成了个直角三角形，这些直角三角形也是全等的.

　　（二）定理、理解、应用：

　　1、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形.

　　2、理解：定理的实质是把正多边形的问题向直角三角形转化.

　　由于这些直角三角形的斜边都是正n边形的半径R，一条直角边是正n边形的边心距rn，另一条直角边是正n边形边长an的一半，一个锐角是正n边形中心角 的一半，即 ，所以，根据上面定理就可以把正n边形的有关计算归结为解直角三角形问题.

　　3、应用：

　　例1、已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长、周长P6和面积S6.

　　教师引导学生分析解题思路：

　　n=6 =30°，又半径为R a6 、r6. P6、S6.

　　学生完成解题过程，并关注学生解直角三角形的能力.

　　解：作半径OA、OB；作OG⊥AB，垂足为G，得Rt△OGB.

　　∵∠GOB=，

　　∴a6 =2・Rsin30°=R，

　　∴P6=6・a6=6R，

　　∵r6=Rcos30°=，

　　∴ .

　　归纳：如果用Pn表示正n边形的周长，由例1可知，正n边形的面积S6=Pn rn.

　　4、研究：（应用例1的方法进一步研究）

　　问题：已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及面积.

　　学生以小组进行研究，并初步归纳：

　　； ； ； ；

　　； .

　　上述公式是运用解直角三角形的方法得到的.

　　通过上式六公式看出，只要给定两个条件，则正多边形就完全确定了.例如：(1)圆的半径或边数；(2)圆的半径和边心距；(3)边长及边心距，就可以确定正多边形的其它元素.

　　（三）小节

　　知识：定理、正三角形、正方形、正六边形的元素的计算问题.

　　思想：转化思想.

　　能力：解直角三角形的能力、计算能力；观察、分析、研究、归纳能力.

　　（四）作业 

　　归纳正三角形、正方形、正六边形以及正n边形的有关计算公式.

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正多边形的有关计算 篇4

　　教学设计示例1

　　教学目标 ：

　　（1）会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题；

　　（2）巩固学生解直角三角形的能力，培养学生正确迅速的运算能力；

　　（3）通过正多边形有关计算公式的推导，激发学生探索和创新.

　　教学重点:

　　把问题转化为解直角三角形的问题.

　　教学难点 :

　　正确地将问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算.

　　教学活动设计:

　　（一）创设情境、观察、分析、归纳结论

　　1、情境一：给出图形.

　　问题1：正n边形内角的规律.

　　观察：在图形中，应用以有的知识（多边形内角和定理，多边形的每个内角都相等）得出新结论.

　　教师组织学生自主观察，学生回答.（正n边形的每个内角都等于 .）

　　2、情境二：给出图形.

　　问题2：每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的三角形？它们有什么规律？

　　教师引导学生观察，学生回答.

　　观察：三角形的形状，三角形的个数.

　　归纳：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形.

　　3、情境三：给出图形.

　　问题3：作每个正多边形的边心距，又有什么规律？

　　观察、归纳：这些边心距又把这n个等腰三角形分成了个直角三角形，这些直角三角形也是全等的.

　　（二）定理、理解、应用：

　　1、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形.

　　2、理解：定理的实质是把正多边形的问题向直角三角形转化.

　　由于这些直角三角形的斜边都是正n边形的半径R，一条直角边是正n边形的边心距rn，另一条直角边是正n边形边长an的一半，一个锐角是正n边形中心角 的一半，即 ，所以，根据上面定理就可以把正n边形的有关计算归结为解直角三角形问题.

　　3、应用：

　　例1、已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长、周长P6和面积S6.

　　教师引导学生分析解题思路：

　　n=6 =30°，又半径为R a6 、r6. P6、S6.

　　学生完成解题过程，并关注学生解直角三角形的能力.

　　解：作半径OA、OB；作OG⊥AB，垂足为G，得Rt△OGB.

　　∵∠GOB=，

　　∴a6 =2・Rsin30°=R，

　　∴P6=6・a6=6R，

　　∵r6=Rcos30°=，

　　∴ .

　　归纳：如果用Pn表示正n边形的周长，由例1可知，正n边形的面积S6=Pn rn.

　　4、研究：（应用例1的方法进一步研究）

　　问题：已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及面积.

　　学生以小组进行研究，并初步归纳：

　　； ； ； ；

　　； .

　　上述公式是运用解直角三角形的方法得到的.

　　通过上式六公式看出，只要给定两个条件，则正多边形就完全确定了.例如：(1)圆的半径或边数；(2)圆的半径和边心距；(3)边长及边心距，就可以确定正多边形的其它元素.

　　（三）小节

　　知识：定理、正三角形、正方形、正六边形的元素的计算问题.

　　思想：转化思想.

　　能力：解直角三角形的能力、计算能力；观察、分析、研究、归纳能力.

　　（四）作业 

　　归纳正三角形、正方形、正六边形以及正n边形的有关计算公式.

　　教学设计示例2

　　教学目标 ：

　　（1）进一步研究正多边形的计算问题，解决实际应用问题；

　　（2）通过正十边形的边长a10与半径R的关系的证明，学习边计算边推理的数学方法；

　　（3）通过解决实际问题，培养学生简单的数学建模能力；

　　（4）培养学生用数学意识，渗透理论联系实际、实践论的观点.

　　教学重点:

　　应用正多边形的基本计算图解决实际应用问题及代数计算的证明方法.

　　教学难点 :

　　例3的证明方法.

　　教学活动设计：

　　（一）知识回顾

　　（1）方法：运用将正多边形分割成三角形的方法，把正多边形有关计算转化为解直角三角形问题.

　　（2）知识：正三角形、正方形、正六边形的有关计算问题，.

　　； ； ； ；

　　； .

　　组织学生填写教材P165练习中第2题的表格.

　　（二）正多边形的应用

　　方法是基本的几何计算知识之一，掌握这些知识，一方面可以为学生进一步学习打好基础，另一方面，这些知识在生产和生活中常常会用到，掌握后对学生参加实践活动具有实用意义.

　　例2、在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形，测得这个正五边形的边长是48cm，求它的半径R5和边心距r5(精确到0.1cm).

　　解：设正五边形为ABCDE，它的中心为点O，连接OA，作OF⊥AB，垂足为F，则OA=R5，OF=r5，∠AOF=.

　　∵AF=（cm），∴R5=（cm）.

　　r5=（cm）.

　　答：这个正多边形的半径约为40.8cm，边心距约为33.0cm

　　建议：①组织学生，使学生主动参与教学；②渗透简单的数学建模思想和实际应用意识；③对与本题除解直角三角形知识外，还要主要学生的近似计算能力的培养.

　　以小组的学习形式，每个小组自己举一个实际生活中的例子加以研究，班内交流.

　　例3、已知：正十边形的半径为R，求证：它的边长 .

　　教师引导学生：

　　（1）∠AOB=？

　　（2）在△OAB中，∠A与∠B的度数？

　　（3）如果BM平分∠OBA交OA于M，你发现图形中相等的线段有哪些？你发现图中三角形有什么关系？

　　（4）已知半径为R，你能不通过解三角形的方法求出AB吗？怎么计算？

　　解：如图，设AB=a10.作∠OBA的平分线BM，交OA于点M，则

　　∠AOB=∠1=∠2=36°，∠OAB=∠3=72°.

　　∴OM=MB=AB=a10.

　　△ OAB∽△BAM OA:AB=BA:AM，即R :a10=a10:（R- a10），整理，得

　　， （取正根）.

　　由例3的结论可得 .

　　回顾：黄金分割线段.AD2=DC・AC，也就是说点D将线段AC分为两部分，其中较长的线段AD是较小线段CD与全线段AC的比例中项.顶角36°角的等腰三角形的底边长是它腰长的黄金分割线段.

　　反思：解决方法.在推导a10与R关系时，辅助线角平分线是怎么想出来的.解决方法是复习等腰三角形的性质、判定及相似三角形的有关知识.

　　练习P.165中练习1

　　(三)总结

　　（1）应用解决实际问题；

　　（2）综合代数列方程的方法证明了 .

　　（四）作业 

　　教材P173中8、9、10、11、12.

　　探究活动

　　已知下列图形分别为正方形、正五边形、正六边形，试计算角 、 、 的大小.

　　探究它们存在什么规律？你能证明吗？

　　（提示： .）

正多边形的有关计算 篇5

　　教学设计示例1

　　教学目标：

　　（1）会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题；

　　（2）巩固学生解直角三角形的能力，培养学生正确迅速的运算能力；

　　（3）通过正多边形有关计算公式的推导，激发学生探索和创新.

　　教学重点:

　　把问题转化为解直角三角形的问题.

　　教学难点:

　　正确地将问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算.

　　教学活动设计:

　　（一）创设情境、观察、分析、归纳结论

　　1、情境一：给出图形.

　　问题1：正n边形内角的规律.

　　观察：在图形中，应用以有的知识（多边形内角和定理，多边形的每个内角都相等）得出新结论.

　　教师组织学生自主观察，学生回答.（正n边形的每个内角都等于 .）

　　2、情境二：给出图形.

　　问题2：每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的三角形？它们有什么规律？

　　教师引导学生观察，学生回答.

　　观察：三角形的形状，三角形的个数.

　　归纳：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形.

　　3、情境三：给出图形.

　　问题3：作每个正多边形的边心距，又有什么规律？

　　观察、归纳：这些边心距又把这n个等腰三角形分成了个直角三角形，这些直角三角形也是全等的.

　　（二）定理、理解、应用：

　　1、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形.

　　2、理解：定理的实质是把正多边形的问题向直角三角形转化.

　　由于这些直角三角形的斜边都是正n边形的半径R，一条直角边是正n边形的边心距rn，另一条直角边是正n边形边长an的一半，一个锐角是正n边形中心角 的一半，即 ，所以，根据上面定理就可以把正n边形的有关计算归结为解直角三角形问题.

　　3、应用：

　　例1、已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长、周长P6和面积S6.

　　教师引导学生分析解题思路：

　　n=6 =30°，又半径为R a6 、r6. P6、S6.

　　学生完成解题过程，并关注学生解直角三角形的能力.

　　解：作半径OA、OB；作OG⊥AB，垂足为G，得Rt△OGB.

　　∵∠GOB=，

　　∴a6 =2・Rsin30°=R，

　　∴P6=6・a6=6R，

　　∵r6=Rcos30°=，

　　∴ .

　　归纳：如果用Pn表示正n边形的周长，由例1可知，正n边形的面积S6=Pn rn.

　　4、研究：（应用例1的方法进一步研究）

　　问题：已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及面积.

　　学生以小组进行研究，并初步归纳：

　　； ； ； ；

　　； .

　　上述公式是运用解直角三角形的方法得到的.

　　通过上式六公式看出，只要给定两个条件，则正多边形就完全确定了.例如：(1)圆的半径或边数；(2)圆的半径和边心距；(3)边长及边心距，就可以确定正多边形的其它元素.

　　（三）小节

　　知识：定理、正三角形、正方形、正六边形的元素的计算问题.

　　思想：转化思想.

　　能力：解直角三角形的能力、计算能力；观察、分析、研究、归纳能力.

　　（四）作业 

　　归纳正三角形、正方形、正六边形以及正n边形的有关计算公式.

　　教学设计示例2

　　教学目标：

　　（1）进一步研究正多边形的计算问题，解决实际应用问题；

　　（2）通过正十边形的边长a10与半径R的关系的证明，学习边计算边推理的数学方法；

　　（3）通过解决实际问题，培养学生简单的数学建模能力；

　　（4）培养学生用数学意识，渗透理论联系实际、实践论的观点.

　　教学重点:

　　应用正多边形的基本计算图解决实际应用问题及代数计算的证明方法.

　　教学难点:

　　例3的证明方法.

　　教学活动设计：

　　（一）知识回顾

　　（1）方法：运用将正多边形分割成三角形的方法，把正多边形有关计算转化为解直角三角形问题.

　　（2）知识：正三角形、正方形、正六边形的有关计算问题，.

　　； ； ； ；

　　； .

　　组织学生填写教材P165练习中第2题的表格.

　　（二）正多边形的应用

　　方法是基本的几何计算知识之一，掌握这些知识，一方面可以为学生进一步学习打好基础，另一方面，这些知识在生产和生活中常常会用到，掌握后对学生参加实践活动具有实用意义.

　　例2、在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形，测得这个正五边形的边长是48cm，求它的半径R5和边心距r5(精确到0.1cm).

　　解：设正五边形为ABCDE，它的中心为点O，连接OA，作OF⊥AB，垂足为F，则OA=R5，OF=r5，∠AOF=.

　　∵AF=（cm），∴R5=（cm）.

　　r5=（cm）.

　　答：这个正多边形的半径约为40.8cm，边心距约为33.0cm

　　建议：①组织学生，使学生主动参与教学；②渗透简单的数学建模思想和实际应用意识；③对与本题除解直角三角形知识外，还要主要学生的近似计算能力的培养.

　　以小组的学习形式，每个小组自己举一个实际生活中的例子加以研究，班内交流.

　　例3、已知：正十边形的半径为R，求证：它的边长 .

　　教师引导学生：

　　（1）∠AOB=？

　　（2）在△OAB中，∠A与∠B的度数？

　　（3）如果BM平分∠OBA交OA于M，你发现图形中相等的线段有哪些？你发现图中三角形有什么关系？

　　（4）已知半径为R，你能不通过解三角形的方法求出AB吗？怎么计算？

　　解：如图，设AB=a10.作∠OBA的平分线BM，交OA于点M，则

　　∠AOB=∠1=∠2=36°，∠OAB=∠3=72°.

　　∴OM=MB=AB=a10.

　　△ OAB∽△BAM OA:AB=BA:AM，即R :a10=a10:（R- a10），整理，得

　　， （取正根）.

　　由例3的结论可得 .

　　回顾：黄金分割线段.AD2=DC・AC，也就是说点D将线段AC分为两部分，其中较长的线段AD是较小线段CD与全线段AC的比例中项.顶角36°角的等腰三角形的底边长是它腰长的黄金分割线段.

　　反思：解决方法.在推导a10与R关系时，辅助线角平分线是怎么想出来的.解决方法是复习等腰三角形的性质、判定及相似三角形的有关知识.

　　练习P.165中练习1

　　(三)总结

　　（1）应用解决实际问题；

　　（2）综合代数列方程的方法证明了 .

　　（四）作业 

　　教材P173中8、9、10、11、12.

　　探究活动

　　已知下列图形分别为正方形、正五边形、正六边形，试计算角 、 、 的大小.

　　探究它们存在什么规律？你能证明吗？

　　（提示： .）

正多边形的有关计算 篇6

　　教学目的：1、使学生学会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题.2、通过定理的证明过程培养学生观察能力、推理能力、概括能力；3、通过一定量的计算，培养学生正确迅速的运算能力；教学重点： 化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理；正多边形计算图及其应用.教学难点：正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算.教学过程：一、新课引入：前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质，今天我们来学习正多边形的有关计算.大家知道正多边形在生产和生活中有广泛的应用性，伴随而来的有关正多边形计算问题必然摆在大家的面前，如何解决正多边形的计算问题，正是本堂课研究的课题.二、新课讲解：哪位同学回答，什么叫正多边形.(安排中下生回答：各边相等，各角相等的多边形.)什么是正多形的边心距、半径？(安排中下生回答：正多边形内切圆的半径叫做边心距.正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.)正多边形的边有什么性质、角有什么性质？(安排中下生回答：边都相等，角都相等.)什么叫正多边形的中心角？(安排中下生回答：正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角.)正n边形的中心角度数如何计算？(安排中下生回答：中心角的度数正n边形的一个外角度数如何计算？(安排中下生回答：一个外角度哪位同学有所发现？(安排举手学生：正n边形的中心角度数=正n边形的一个外角度数.)哪位同学记得n边形的内角和公式？(请回忆起来的学生回答).哪位同学能根据n边形内角和定理和正n边形的性质给出求正n边形一个内角度数的公式？(安排中下生回答：正n边形每个内角度数正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角有何数量关系？(安排中下生回答：互补).根据正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角的互补关系和正n边形每个外角度数公式，正n边形每个内角度数又可怎样计算？(安排中(幻灯展示练习题，学生思考，回答)1.正五边形的中心角度数是______；每个内角的度数是______；2.一个正n边形的一个外角度数是360°，则它的边数n=______，每个内角度数是______；3.一个正n边形的一个内角的度数是140°，则它的边数n=______，中心角度数是______.对于前2题安排中下生回答，对于第3题不仅要回答题目的答案而且要求回答思路.解此方程n=9.幻灯展示正三角形、正方形、正五边形、正六边形.如图7-138，让学生边观察、边回答老师依次提出的问题、边思考.1.观察每个图形的半径，分别将它们分割成多少个什么样子的三角形？(安排中下生回答：等腰三角形)

　　2.观察每个图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？(安排中等生回答：全等，依据(s.s.s)或(s.a.s))3.将上述四个图形的观察与思考推而广之，你得出了什么结论？哪位同学说说自己的想法(安排中上生回答：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形.)套上幻灯片的复合片：作出各等腰三角形底边上的高，如图7-139，安排学生观察、思考并回答以下问题：

　　1.这些等腰三角形的每一条高都将每个等腰三角形分割为两个直角三角形，这两个直角三角形全等吗？为什么？(安排中下生回答)2.这些等腰三角形的高在正多边形中的名称是什么？(安排中下生回答：边心距)3.正n边形的n条半径、n条边心距将正n边形分割成全等直角三角形的个数是多少？(安排中等生回答：2n个)给出定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.

　　再套幻灯片的复合片，如图7-140，安排学生观察每个直角三角形都由正多边形的哪些元素组成.安排中下生回答：直角三角形的斜边是正多边形的半径r、一条直角边是正多边形的边心距.另一直角边是正多边形边长的一半(在此安排中等生回答：为什么？)半径与边心距的夹角是正多边形一个中心角的一半.(安排中等生回答“为什么？”)讲解：由于这个直角三角形融合了正多边形诸多元素，所以就可将正多边形有关半径、边心距、边长、中心角的计算问题归结为解直角三角形的问题来解决.幻灯给出正多边形抽象的计算图7-141，教师讲解：

　　由于正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的问题来解决，所以我们只要画出这个直角三角形就可以了，其余就不画或略画.图中r表示半径，rn表示正n边形的边心距，an表示正n边形的边长，an表示正n边形的中心角.提问：对于给定具体边数的正n边形，你首先可以求出直角三角形(教师讲解)：直角三角形中一锐角已知，所以只要再给直角三角形的r、rn、an其中一项赋值就可求出其它元素.例如：(幻灯展示题目)例1  已知：如图7-142，正△abc的边心距r3=2.求：r、a3.问：要解此题，首先要做什么？(找中等生回答：画出基本计算图)最后要做什么工作：(找中上生回答：选择三角函数)

　　解：∵n=3又完成下列各题：(幻灯展示题目)1.已知，正方形abcd的边长a4=2.求：r，r4.2.已知：正六边形abcdef的半径r=2，求：r6，a6.(对于计算正确且较快的学生，让他们自拟试题进行计算，教师重点辅导需要帮助的学生)再回到例1，问：你会求这个正三角形的周长p3吗？怎么求？为什么这样求？(安排中等生回答：边长×3，因为正三角形三边相等).再问：你会求这个正三角形的面积s3吗？怎么求？为什么这样求？(安排中等生回答：直角△aoc的面积×6，由定理可知这样的直角三角形的个数是边数的2倍.或者，等腰△aob的面积×3，由定理可知选择的等腰三角形的个数与边数相同.)请同学们分别计算上述二题的周长和面积(计算快而准的学生让其自拟题目再练习)(幻灯给出例2)：已知正六边形abcdef的半径为r，求这个正六边形的边长a6、周长p6和面积s6.

　　(提问)：1.首先要作什么？(安排中下生回答：画基本计算图)2.然么？(安排中下生回答：选择三角函数)∴p6=9r.通过上面计算，你得出正六边形的半径与边长有什么数量关系？(安排中下生回答：相等)希望大家记住这个结论：a6=r，因为它不仅有利于计算而且是尺规画正六边形的依据.三、课堂小结：哪位同学能说一下，这堂课我们都学习了什么知识？(安排中等生归纳)1.化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理，2.运用正多角计算.四、布置作业教材p.163中1、2；p.165中2.学有余力者布置下题：已知正n边形的半径为r，求an、pn、rn、sn.

正多边形的有关计算 篇7

　　教学设计示例1

　　教学目标 ：

　　（1）会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题；

　　（2）巩固学生解直角三角形的能力，培养学生正确迅速的运算能力；

　　（3）通过正多边形有关计算公式的推导，激发学生探索和创新.

　　教学重点:

　　把问题转化为解直角三角形的问题.

　　教学难点 :

　　正确地将问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算.

　　教学活动设计:

　　（一）创设情境、观察、分析、归纳结论

　　1、情境一：给出图形.

　　问题1：正n边形内角的规律.

　　观察：在图形中，应用以有的知识（多边形内角和定理，多边形的每个内角都相等）得出新结论.

　　教师组织学生自主观察，学生回答.（正n边形的每个内角都等于 .）

　　2、情境二：给出图形.

　　问题2：每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的三角形？它们有什么规律？

　　教师引导学生观察，学生回答.

　　观察：三角形的形状，三角形的个数.

　　归纳：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形.

　　3、情境三：给出图形.

　　问题3：作每个正多边形的边心距，又有什么规律？

　　观察、归纳：这些边心距又把这n个等腰三角形分成了个直角三角形，这些直角三角形也是全等的.

　　（二）定理、理解、应用：

　　1、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形.

　　2、理解：定理的实质是把正多边形的问题向直角三角形转化.

　　由于这些直角三角形的斜边都是正n边形的半径R，一条直角边是正n边形的边心距rn，另一条直角边是正n边形边长an的一半，一个锐角是正n边形中心角 的一半，即 ，所以，根据上面定理就可以把正n边形的有关计算归结为解直角三角形问题.

　　3、应用：

　　例1、已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长、周长P6和面积S6.

　　教师引导学生分析解题思路：

　　n=6 =30°，又半径为R a6 、r6. P6、S6.

　　学生完成解题过程，并关注学生解直角三角形的能力.

　　解：作半径OA、OB；作OG⊥AB，垂足为G，得Rt△OGB.

　　∵∠GOB= ，

　　∴a6 =2・Rsin30°=R，

　　∴P6=6・a6=6R，

　　∵r6=Rcos30°= ，

　　∴ .

　　归纳：如果用Pn表示正n边形的周长，由例1可知，正n边形的面积S6= Pn rn.

　　4、研究：（应用例1的方法进一步研究）

　　问题：已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及面积.

　　学生以小组进行研究，并初步归纳：

　　； ； ； ；

　　； .

　　上述公式是运用解直角三角形的方法得到的.

　　通过上式六公式看出，只要给定两个条件，则正多边形就完全确定了.例如：(1)圆的半径或边数；(2)圆的半径和边心距；(3)边长及边心距，就可以确定正多边形的其它元素.

　　（三）小节

　　知识：定理、正三角形、正方形、正六边形的元素的计算问题.

　　思想：转化思想.

　　能力：解直角三角形的能力、计算能力；观察、分析、研究、归纳能力.

　　（四）作业 

　　归纳正三角形、正方形、正六边形以及正n边形的有关计算公式.

　　教学设计示例2

　　教学目标 ：

　　（1）进一步研究正多边形的计算问题，解决实际应用问题；

　　（2）通过正十边形的边长a10与半径R的关系的证明，学习边计算边推理的数学方法；

　　（3）通过解决实际问题，培养学生简单的数学建模能力；

　　（4）培养学生用数学意识，渗透理论联系实际、实践论的观点.

　　教学重点:

　　应用正多边形的基本计算图解决实际应用问题及代数计算的证明方法.

　　教学难点 :

　　例3的证明方法.

　　教学活动设计：

　　（一）知识回顾

　　（1）方法：运用将正多边形分割成三角形的方法，把正多边形有关计算转化为解直角三角形问题.

　　（2）知识：正三角形、正方形、正六边形的有关计算问题，.

　　； ； ； ；

　　； .

　　组织学生填写教材P165练习中第2题的表格.

　　（二）正多边形的应用

　　正多边形的有关计算方法是基本的几何计算知识之一，掌握这些知识，一方面可以为学生进一步学习打好基础，另一方面，这些知识在生产和生活中常常会用到，掌握后对学生参加实践活动具有实用意义.

　　例2、在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形，测得这个正五边形的边长是48cm，求它的半径R5和边心距r5(精确到0.1cm).

　　解：设正五边形为ABCDE，它的中心为点O，连接OA，作OF⊥AB，垂足为F，则OA=R5，OF=r5，∠AOF= .

　　∵AF= （cm），∴R5= （cm）.

　　r5= （cm）.

　　答：这个正多边形的半径约为40.8cm，边心距约为33.0cm

　　建议：①组织学生，使学生主动参与教学；②渗透简单的数学建模思想和实际应用意识；③对与本题除解直角三角形知识外，还要主要学生的近似计算能力的培养.

　　以小组的学习形式，每个小组自己举一个实际生活中的例子加以研究，班内交流.

　　例3、已知：正十边形的半径为R，求证：它的边长 .

　　教师引导学生：

　　（1）∠AOB=？

　　（2）在△OAB中，∠A与∠B的度数？

　　（3）如果BM平分∠OBA交OA于M，你发现图形中相等的线段有哪些？你发现图中三角形有什么关系？

　　（4）已知半径为R，你能不通过解三角形的方法求出AB吗？怎么计算？

　　解：如图，设AB=a10.作∠OBA的平分线BM，交OA于点M，则

　　∠AOB=∠1=∠2=36°，∠OAB=∠3=72°.

　　∴OM=MB=AB=a10.

　　△ OAB∽△BAM OA:AB=BA:AM，即R :a10=a10:（R- a10），整理，得

　　， （取正根）.

　　由例3的结论可得 .

　　回顾：黄金分割线段.AD2=DC・AC，也就是说点D将线段AC分为两部分，其中较长的线段AD是较小线段CD与全线段AC的比例中项.顶角36°角的等腰三角形的底边长是它腰长的黄金分割线段.

　　反思：解决方法.在推导a10与R关系时，辅助线角平分线是怎么想出来的.解决方法是复习等腰三角形的性质、判定及相似三角形的有关知识.

　　练习P.165中练习1

　　(三)总结

　　（1）应用解决实际问题；

　　（2）综合代数列方程的方法证明了 .

　　（四）作业 

　　教材P173中8、9、10、11、12.

　　探究活动

　　已知下列图形分别为正方形、正五边形、正六边形，试计算角 、 、 的大小.

　　探究它们存在什么规律？你能证明吗？

　　（提示： .）