切线的判定和性质（精选9篇）
切线的判定和性质 篇1
（一）
教学目标：
1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；
2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；
3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性.
教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；
教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视.
教学过程设计
（一）复习、发现问题
1.直线与圆的三种位置关系
在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?
2、观察、提出问题、分析发现（教师引导）
图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便.我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?
如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线.这时我们来观察直线l与⊙O的位置.
发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C.这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法――切线的判定定理.
（二）切线的判定定理：
1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2、对定理的理解：
引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径.
请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可.
图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端.
从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.
（三）切线的判定方法
教师组织学生归纳.切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理.
（四）应用定理，强化训练'
例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB.
求证：直线AB是⊙O的切线.
分析：欲证AB是⊙O的切线.由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。
证明：连结0C
∵0A＝0B，CA＝CB，”
∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线.
∴AB⊥OC.
直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C，所以AB是⊙O的切线.
练习1判断下列命题是否正确.
(1)经过半径外端的直线是圆的切线.
(2)垂直于半径的直线是圆的切线.
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线.
(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.
采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由，
练习P106，1、2
目的：使学生初步会应用切线的判定定理，对定理加深理解）
（五）小结
1、知识：切线的判定定理.着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可.
2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：
(1)根据切线定义判定.即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
(3)根据切线的判定定理来判定.
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同.解题时，灵活选用其中之一.
3、能力：初步会应用切线的判定定理.
（六）作业 P115中2、4、5；P117中B组1.
（二）
教学目标：
1、使学生理解切线的性质定理及推论；
2、通过对圆的切线位置关系的观察，培养学生能从几何图形的直观位置归纳出几何性质的能力；
教学重点：切线的性质定理和推论1、推论2.
教学难点：利用“反证法”来证明切线的性质定理.
教学设计：
（一）基本性质
1、观察：（组织学生，使学生从感性认识到理性认识）
2、归纳：（引导学生完成）
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；
猜想：圆的切线垂直于经过切点的半径.
引导学生应用“反证法”证明.分三步：
(1)假设切线AT不垂直于过切点的半径OA，
(2)同时作一条AT的垂线OM.通过证明得到矛盾，OM＜OA这条半径.则有直线和圆的位置关系中的数量关系，得AT和⊙O相交与题设相矛盾.
(3)承认所要的结论AT⊥AO.
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
指出：定理中题设和结论中涉及到的三个要点：切线、切点、垂直.
引导学生发现：
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2：经过切点且垂于切线的直线必经过圆心.
引导学生分析性质定理及两个推论的条件和结论问的关系，总结出如下结论：
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个.
(1)垂直于切线；
(2)过切点；
(3)过圆心.
(二)归纳切线的性质
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.（推论2）
（三）应用举例，强化训练.
例1、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.
求证：AC平分∠DAB.
引导学生分析：条件CD是⊙O的切线，可得什么结论；由AD⊥CD，又可得什么.
证明：连结OC.
∴AC平分∠DAB.
例2、求证：如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点的线段是直径。
已知：AB、CD是⊙O的两条切线，E、F为切点,且AB∥CD
求证：连结E、F的线段是直径。
证明：连结EO并延长
∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB，
∵AB∥CD，∴OE⊥CD.
∵CD是⊙O切线，F为切点，∴OE必过切点F
∴EF为⊙O直径
强化训练：P109，1
3、求证：经过直径两端点的切线互相平行。
已知：AB为⊙O直径，MN、CD为⊙O切线，切点为A、B
求证：MN∥CD
证明：∵MN切⊙O于A，AB为⊙O直径
∴MN⊥AB
∵CD切⊙O于B，B为半径外端
∴CD⊥AB，
∴MN∥CD.
（四）小结
1、知识：切线的性质：
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.（推论2）
2、能力和方法：
凡是题目中给出切线的切点，往往“连结”过切点的半径.从而运用切线的性质定理，产生垂直的位置关系.
（五）作业 教材P109练习2；教材P116中7.
（三）
教学目标：
1、使学生学能灵活运用切线的判定方法和切线的性质证明问题；
2、掌握运用切线的性质和切线的判定的有关问题中辅助线引法的基本规律；
3、通过对切线的综合型例题分析和论证，激发学生的思维.
教学重点：对切线的判定方法及其性质的准确、熟炼、灵活地运用.
教学难点：综合型例题分析和论证的思维过程.
教学设计：
（一）复习与归纳
1、切线的判定
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理.即经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2、切线的性质：
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.（推论2）
(二)灵活应用
例1（P108例3）、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.求证：DC是⊙O的切线.
证明：连结OD.
∵OA=OD，∴∠1=∠2，
∵AD∥OC，∴∠1=∠3、∠2=∠4
∴∠3=∠4
在△OBC和△ODC中，
OB=OD，∠3=∠4，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC，∴∠OBC=∠ODC.
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°.
∴DC是⊙O的切线.
例2（P110例4）、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切.
证明：连结OE，过O作OF⊥CD，垂足为F.
∵AB与小圆O切于点点E，∴OE⊥AB.
又∵AB=CD，
∴OF=OE，又OF⊥CD，
∴CD与小圆O相切.
学生归纳：（1）证明切线的两个常见方法（①连半径证垂直；②作垂直证半径.）；
（2）“连结”过切点的半径，产生垂直的位置关系.
例3、已知：AB是半⊙O直径，CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点
求证：CE=CF
证明：连结OE
∵BE=BO∴∠3=∠B
∵CE切⊙O于E
∴OE⊥CE∠2+∠3=90°
∵CD⊥AB∴∠4+∠B=90°
∴∠2=∠4
∵∠1=∠4∴∠1=∠2
∴CE=CF
以上例题让学生自主分析、论证，教师指导书写规范，观察学生推理的严密性和学生共同存在的问题，及时解决.
巩固练习：P111练习1、2.
（三）小结：
1、知识：（指导学生归纳）切线的判定方法和切线的性质
2、能力：①灵活运用切线的判定方法和切线的性质证明问题；②作辅助线的能力和技巧.
（四）作业 ：教材P115，1（1）、2、3.
探究活动
问题：（北京西城区，2002）已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C.
(1)当点P在AB延长线上的位置如图1所示时，连结AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，请你测量出∠CDP的度数；
(2)当点P在AB延长线上的位置如图2和图3所示时，连结AC，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的平分线(不写做法，保留作固痕迹)，设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP的度数；
猜想：∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化?请对称的猜想加以证明.
解：(1) 测量结果：
(2)图2中的测量结果：
图3中的测量结果：
猜想：
证明：
解：(1) 测量结果：∠CDP=45°.
(2)图2中的测量结果：∠CDP=45°.
图3中的测量结果：∠CDP=45°.
猜想：∠CDP=45°，不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化.
证明：连结OC.
∵PC切⊙O于点C，
∴PC⊥OC，
∴∠1+∠CPO=90°，
∵PC平分∠APC，
∴∠2=1/2∠CPO.
∵OA=OC
∴∠A=∠3.
∴∠1=∠A+∠3，
∴∠A=1/2∠1.
∴∠CDP=∠A+∠2=1/2（∠1+∠CPO）=45°.
∴猜想正确.
切线的判定和性质 篇2
（一）
教学目标 ：
1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；
2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；
3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性.
教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；
教学难点 ：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视.
教学过程 设计
（一）复习、发现问题
1.直线与圆的三种位置关系
在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?
2、观察、提出问题、分析发现（教师引导）
图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便.我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?
如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线.这时我们来观察直线l与⊙O的位置.
发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C.这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法――切线的判定定理.
（二）切线的判定定理：
1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2、对定理的理解：
引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径.
请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可.
图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端.
从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.
（三）切线的判定方法
教师组织学生归纳.切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理.
（四）应用定理，强化训练'
例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB.
求证：直线AB是⊙O的切线.
分析：欲证AB是⊙O的切线.由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。
证明：连结0C
∵0A＝0B，CA＝CB，”
∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线.
∴AB⊥OC.
直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C，所以AB是⊙O的切线.
练习1判断下列命题是否正确.
(1)经过半径外端的直线是圆的切线.
(2)垂直于半径的直线是圆的切线.
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线.
(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.
采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由，
练习P106，1、2
目的：使学生初步会应用切线的判定定理，对定理加深理解）
（五）小结
1、知识：切线的判定定理.着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可.
2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：
(1)根据切线定义判定.即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
(3)根据切线的判定定理来判定.
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同.解题时，灵活选用其中之一.
3、能力：初步会应用切线的判定定理.
（六）作业 P115中2、4、5；P117中B组1.
（二）
教学目标 ：
1、使学生理解切线的性质定理及推论；
2、通过对圆的切线位置关系的观察，培养学生能从几何图形的直观位置归纳出几何性质的能力；
教学重点：切线的性质定理和推论1、推论2.
教学难点 ：利用“反证法”来证明切线的性质定理.
教学设计：
（一）基本性质
1、观察：（组织学生，使学生从感性认识到理性认识）
2、归纳：（引导学生完成）
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；
猜想：圆的切线垂直于经过切点的半径.
引导学生应用“反证法”证明.分三步：
(1)假设切线AT不垂直于过切点的半径OA，
(2)同时作一条AT的垂线OM.通过证明得到矛盾，OM＜OA这条半径.则有直线和圆的位置关系中的数量关系，得AT和⊙O相交与题设相矛盾.
(3)承认所要的结论AT⊥AO.
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
指出：定理中题设和结论中涉及到的三个要点：切线、切点、垂直.
引导学生发现：
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2：经过切点且垂于切线的直线必经过圆心.
引导学生分析性质定理及两个推论的条件和结论问的关系，总结出如下结论：
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个.
(1)垂直于切线；
(2)过切点；
(3)过圆心.
(二)归纳切线的性质
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.（推论2）
（三）应用举例，强化训练.
例1、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.
求证：AC平分∠DAB.
引导学生分析：条件CD是⊙O的切线，可得什么结论；由AD⊥CD，又可得什么.
证明：连结OC.
∴AC平分∠DAB.
例2、求证：如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点的线段是直径。
已知：AB、CD是⊙O的两条切线，E、F为切点,且AB∥CD
求证：连结E、F的线段是直径。
证明：连结EO并延长
∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB，
∵AB∥CD，∴OE⊥CD.
∵CD是⊙O切线，F为切点，∴OE必过切点F
∴EF为⊙O直径
强化训练：P109，1
3、求证：经过直径两端点的切线互相平行。
已知：AB为⊙O直径，MN、CD为⊙O切线，切点为A、B
求证：MN∥CD
证明：∵MN切⊙O于A，AB为⊙O直径
∴MN⊥AB
∵CD切⊙O于B，B为半径外端
∴CD⊥AB，
∴MN∥CD.
（四）小结
1、知识：切线的性质：
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.（推论2）
2、能力和方法：
凡是题目中给出切线的切点，往往“连结”过切点的半径.从而运用切线的性质定理，产生垂直的位置关系.
（五）作业 教材P109练习2；教材P116中7.
（三）
教学目标 ：
1、使学生学能灵活运用切线的判定方法和切线的性质证明问题；
2、掌握运用切线的性质和切线的判定的有关问题中辅助线引法的基本规律；
3、通过对切线的综合型例题分析和论证，激发学生的思维.
教学重点：对切线的判定方法及其性质的准确、熟炼、灵活地运用.
教学难点 ：综合型例题分析和论证的思维过程.
教学设计：
（一）复习与归纳
1、切线的判定
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理.即经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2、切线的性质：
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.（推论2）
(二)灵活应用
例1（P108例3）、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.求证：DC是⊙O的切线.
证明：连结OD.
∵OA=OD，∴∠1=∠2，
∵AD∥OC，∴∠1=∠3、∠2=∠4
∴∠3=∠4
在△OBC和△ODC中，
OB=OD，∠3=∠4，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC，∴∠OBC=∠ODC.
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°.
∴DC是⊙O的切线.
例2（P110例4）、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切.
证明：连结OE，过O作OF⊥CD，垂足为F.
∵AB与小圆O切于点点E，∴OE⊥AB.
又∵AB=CD，
∴OF=OE，又OF⊥CD，
∴CD与小圆O相切.
学生归纳：（1）证明切线的两个常见方法（①连半径证垂直；②作垂直证半径.）；
（2）“连结”过切点的半径，产生垂直的位置关系.
例3、已知：AB是半⊙O直径，CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点
求证：CE=CF
证明：连结OE
∵BE=BO∴∠3=∠B
∵CE切⊙O于E
∴OE⊥CE∠2+∠3=90°
∵CD⊥AB∴∠4+∠B=90°
∴∠2=∠4
∵∠1=∠4∴∠1=∠2
∴CE=CF
以上例题让学生自主分析、论证，教师指导书写规范，观察学生推理的严密性和学生共同存在的问题，及时解决.
巩固练习：P111练习1、2.
（三）小结：
1、知识：（指导学生归纳）切线的判定方法和切线的性质
2、能力：①灵活运用切线的判定方法和切线的性质证明问题；②作辅助线的能力和技巧.
（四）作业 ：教材P115，1（1）、2、3.
探究活动
问题：（北京西城区，2002）已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C.
(1)当点P在AB延长线上的位置如图1所示时，连结AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，请你测量出∠CDP的度数；
(2)当点P在AB延长线上的位置如图2和图3所示时，连结AC，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的平分线(不写做法，保留作固痕迹)，设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP的度数；
猜想：∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化?请对称的猜想加以证明.
解：(1) 测量结果：
(2)图2中的测量结果：
图3中的测量结果：
猜想：
证明：
解：(1) 测量结果：∠CDP=45°.
(2)图2中的测量结果：∠CDP=45°.
图3中的测量结果：∠CDP=45°.
猜想：∠CDP=45°，不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化.
证明：连结OC.
∵PC切⊙O于点C，
∴PC⊥OC，
∴∠1+∠CPO=90°，
∵PC平分∠APC，
∴∠2=1/2∠CPO.
∵OA=OC
∴∠A=∠3.
∴∠1=∠A+∠3，
∴∠A=1/2∠1.
∴∠CDP=∠A+∠2=1/2（∠1+∠CPO）=45°.
∴猜想正确.
切线的判定和性质 篇3
（一）
教学目标：
1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；
2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；
3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性.
教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；
教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视.
教学过程设计
（一）复习、发现问题
1.直线与圆的三种位置关系
在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?
2、观察、提出问题、分析发现（教师引导）
图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便.我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?
如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线.这时我们来观察直线l与⊙O的位置.
发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C.这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法――切线的判定定理.
（二）切线的判定定理：
1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2、对定理的理解：
引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径.
请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可.
图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端.
从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.
（三）切线的判定方法
教师组织学生归纳.切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理.
（四）应用定理，强化训练'
例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB.
求证：直线AB是⊙O的切线.
分析：欲证AB是⊙O的切线.由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。
证明：连结0C
∵0A＝0B，CA＝CB，”
∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线.
∴AB⊥OC.
直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C，所以AB是⊙O的切线.
练习1判断下列命题是否正确.
(1)经过半径外端的直线是圆的切线.
(2)垂直于半径的直线是圆的切线.
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线.
(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.
采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由，
练习P106，1、2
目的：使学生初步会应用切线的判定定理，对定理加深理解）
（五）小结
1、知识：切线的判定定理.着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可.
2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：
(1)根据切线定义判定.即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
(3)根据切线的判定定理来判定.
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同.解题时，灵活选用其中之一.
3、能力：初步会应用切线的判定定理.
（六）作业 P115中2、4、5；P117中B组1.
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切线的判定和性质 篇4
（一）
教学目标 ：
1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；
2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；
3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性.
教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；
教学难点 ：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视.
教学过程 设计
（一）复习、发现问题
1.直线与圆的三种位置关系
在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?
2、观察、提出问题、分析发现（教师引导）
图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便.我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?
如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线.这时我们来观察直线l与⊙O的位置.
发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C.这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法――切线的判定定理.
（二）切线的判定定理：
1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2、对定理的理解：
引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径.
请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可.
图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端.
从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.
（三）切线的判定方法
教师组织学生归纳.切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理.
（四）应用定理，强化训练'
例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB.
求证：直线AB是⊙O的切线.
分析：欲证AB是⊙O的切线.由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。
证明：连结0C
∵0A＝0B，CA＝CB，”
∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线.
∴AB⊥OC.
直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C，所以AB是⊙O的切线.
练习1判断下列命题是否正确.
(1)经过半径外端的直线是圆的切线.
(2)垂直于半径的直线是圆的切线.
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线.
(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.
采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由，
练习P106，1、2
目的：使学生初步会应用切线的判定定理，对定理加深理解）
（五）小结
1、知识：切线的判定定理.着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可.
2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：
(1)根据切线定义判定.即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
(3)根据切线的判定定理来判定.
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同.解题时，灵活选用其中之一.
3、能力：初步会应用切线的判定定理.
（六）作业 P115中2、4、5；P117中B组1.
（二）
教学目标 ：
1、使学生理解切线的性质定理及推论；
2、通过对圆的切线位置关系的观察，培养学生能从几何图形的直观位置归纳出几何性质的能力；
教学重点：切线的性质定理和推论1、推论2.
教学难点 ：利用“反证法”来证明切线的性质定理.
教学设计：
（一）基本性质
1、观察：（组织学生，使学生从感性认识到理性认识）
2、归纳：（引导学生完成）
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；
猜想：圆的切线垂直于经过切点的半径.
引导学生应用“反证法”证明.分三步：
(1)假设切线AT不垂直于过切点的半径OA，
(2)同时作一条AT的垂线OM.通过证明得到矛盾，OM＜OA这条半径.则有直线和圆的位置关系中的数量关系，得AT和⊙O相交与题设相矛盾.
(3)承认所要的结论AT⊥AO.
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
指出：定理中题设和结论中涉及到的三个要点：切线、切点、垂直.
引导学生发现：
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2：经过切点且垂于切线的直线必经过圆心.
引导学生分析性质定理及两个推论的条件和结论问的关系，总结出如下结论：
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个.
(1)垂直于切线；
(2)过切点；
(3)过圆心.
(二)归纳切线的性质
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.（推论2）
（三）应用举例，强化训练.
例1、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.
求证：AC平分∠DAB.
引导学生分析：条件CD是⊙O的切线，可得什么结论；由AD⊥CD，又可得什么.
证明：连结OC.
∴AC平分∠DAB.
例2、求证：如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点的线段是直径。
已知：AB、CD是⊙O的两条切线，E、F为切点,且AB∥CD
求证：连结E、F的线段是直径。
证明：连结EO并延长
∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB，
∵AB∥CD，∴OE⊥CD.
∵CD是⊙O切线，F为切点，∴OE必过切点F
∴EF为⊙O直径
强化训练：P109，1
3、求证：经过直径两端点的切线互相平行。
已知：AB为⊙O直径，MN、CD为⊙O切线，切点为A、B
求证：MN∥CD
证明：∵MN切⊙O于A，AB为⊙O直径
∴MN⊥AB
∵CD切⊙O于B，B为半径外端
∴CD⊥AB，
∴MN∥CD.
（四）小结
1、知识：切线的性质：
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.（推论2）
2、能力和方法：
凡是题目中给出切线的切点，往往“连结”过切点的半径.从而运用切线的性质定理，产生垂直的位置关系.
（五）作业 教材P109练习2；教材P116中7.
（三）
教学目标 ：
1、使学生学能灵活运用切线的判定方法和切线的性质证明问题；
2、掌握运用切线的性质和切线的判定的有关问题中辅助线引法的基本规律；
3、通过对切线的综合型例题分析和论证，激发学生的思维.
教学重点：对切线的判定方法及其性质的准确、熟炼、灵活地运用.
教学难点 ：综合型例题分析和论证的思维过程.
教学设计：
（一）复习与归纳
1、切线的判定
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理.即经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2、切线的性质：
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.（推论2）
(二)灵活应用
例1（P108例3）、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.求证：DC是⊙O的切线.
证明：连结OD.
∵OA=OD，∴∠1=∠2，
∵AD∥OC，∴∠1=∠3、∠2=∠4
∴∠3=∠4
在△OBC和△ODC中，
OB=OD，∠3=∠4，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC，∴∠OBC=∠ODC.
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°.
∴DC是⊙O的切线.
例2（P110例4）、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切.
证明：连结OE，过O作OF⊥CD，垂足为F.
∵AB与小圆O切于点点E，∴OE⊥AB.
又∵AB=CD，
∴OF=OE，又OF⊥CD，
∴CD与小圆O相切.
学生归纳：（1）证明切线的两个常见方法（①连半径证垂直；②作垂直证半径.）；
（2）“连结”过切点的半径，产生垂直的位置关系.
例3、已知：AB是半⊙O直径，CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点
求证：CE=CF
证明：连结OE
∵BE=BO∴∠3=∠B
∵CE切⊙O于E
∴OE⊥CE∠2+∠3=90°
∵CD⊥AB∴∠4+∠B=90°
∴∠2=∠4
∵∠1=∠4∴∠1=∠2
∴CE=CF
以上例题让学生自主分析、论证，教师指导书写规范，观察学生推理的严密性和学生共同存在的问题，及时解决.
巩固练习：P111练习1、2.
（三）小结：
1、知识：（指导学生归纳）切线的判定方法和切线的性质
2、能力：①灵活运用切线的判定方法和切线的性质证明问题；②作辅助线的能力和技巧.
（四）作业 ：教材P115，1（1）、2、3.
探究活动
问题：（北京西城区，2002）已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C.
(1)当点P在AB延长线上的位置如图1所示时，连结AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，请你测量出∠CDP的度数；
(2)当点P在AB延长线上的位置如图2和图3所示时，连结AC，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的平分线(不写做法，保留作固痕迹)，设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP的度数；
猜想：∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化?请对称的猜想加以证明.
解：(1) 测量结果：
(2)图2中的测量结果：
图3中的测量结果：
猜想：
证明：
解：(1) 测量结果：∠CDP=45°.
(2)图2中的测量结果：∠CDP=45°.
图3中的测量结果：∠CDP=45°.
猜想：∠CDP=45°，不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化.
证明：连结OC.
∵PC切⊙O于点C，
∴PC⊥OC，
∴∠1+∠CPO=90°，
∵PC平分∠APC，
∴∠2=1/2∠CPO.
∵OA=OC
∴∠A=∠3.
∴∠1=∠A+∠3，
∴∠A=1/2∠1.
∴∠CDP=∠A+∠2=1/2（∠1+∠CPO）=45°.
∴猜想正确.
切线的判定和性质 篇5
教学目标：1、使学生理解切线的性质定理及推论；2、使学生初步运用切线的性质证明问题.3、通过对圆的切线位置关系的观察，培养学生能从几何图形的直观位置归纳出几何性质的能力教学重点： 切线的性质定理和推论1、推论2.教学难点：本节中要利用“反证法”来证明切线的性质定理.学生对这种间接证明法运用起来不太熟练.因此在教学中教师可指导学生复习第一册几何中“垂线段最短”.指出反证法在本节中的三大步骤是：（1）假设切线at不垂直于过切点的半径oa，（2）同时作一条at的垂线om.通过证明得到矛盾，om＜oa这条半径.则由直线和圆的位置关系中的数量关系，得at和⊙o相交与题设相矛盾.（3）承认所要的结论at⊥oa.教学中的疑点是性质定理的推论1和2.教学中要采用直观演示，让学生直接从观察中得到推论内容.教学过程：一、新课引入：我们已经学习过用不同的方法来判定一条直线是圆的切线.本课我们来学习圆的切线会产生怎样的性质.二、新课讲解：实际上我们学到的圆的切线的定义，本身就产生了切线的一种性质.那就是圆的切线和圆只有一个公共点.除此之外，圆的切线还有哪些性质呢？请同学们动手在练习本上画一画想一想.学生动手画，教师巡视全班，若只有少数几个学生产生结论，教师可适当点拨学生围绕切线、切点、过切点的半径、半径所在直线，广泛展开讨论.最终教师指导学生完成切线的性质定理和推论1和2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.分清定理中题设和结论中涉及到的三个要点：切线、切点、垂直.结合“过已知点只有一条直线与已知直线垂直”，通过演示、观察得到三个要点中只要发生两个，定能产生第三个.从而产生切线性质定理的推论.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂于切线的直线必经过圆心.在总结两个推论时，学生只要把意思表达对了，不一定要一字不差，然后由教师和学生一起得到结论.（三）重点、难点的学习与目标完成过程圆的切线的性质定理是强调切线所产生的位置关系.因此我们在解决圆的切线的问题时，常常需要作出过切点的半径.这作为辅助线的规律之一教师在例题中就要强化.而推论1是对切点的认定；推论2是对圆的直径的认定.它们各自的作用务必使同学们清楚.练习一：直线l与⊙o相切于点c，直线mn经过圆心o，且mn⊥l垂足为d.问：点c和点d有什么关系？为什么？答案：点c和点d重合.因为经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.例题：如图7-53，ab为⊙o的直径，c为⊙o上一点，ad和过c点切线互相垂直，垂足为d.求证：ac平分∠dab.证明：连结oc.
∠2=∠3即ac平分∠dab.学生在练习本上用因为所以法证.并比较对照两种方法.
练习二.p.109练习1，如图7-54，两个圆是以o为圆心的同心圆，大圆的弦ab是小圆的切线，切点为c.求证：c是ab的中点.证明：连结oc.ab切小圆o于点c oc⊥abac=bc.指导学生对题目进行分析.题中所给“ad和过点c的切线互相垂直”，实际上是告诉我们切点为c.只要我们连结oc，就得到过切点的半径，从而产生切线的性质定理，再利用“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”.从而产生角的相等关系，故产生角平分线.三、课堂小结：学生阅读教材p.107-108，从中总结出本课的主要内容：1.切线的性质：①圆的切线和圆有唯一公共点；②圆的切线垂直于经过切点的半径；③经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；④经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.2.关于切线的辅助线基本方法.凡是题目中给出切线的切点，往往“连结”过切点的半径.从而运用切线的性质定理，产生垂直的位置关系，常见的几何语言有：①ab切⊙o于点c，则“连结”oc；②ab与⊙o相切，c为切点，则“连结”oc.3.推出法中切线的性质定理和两个推论的格式.①性质定理：如图7-55，格式①ab切⊙o于点c ab⊥oc
②推论1，如图7-56，③推论2.如图7-57，
四、布置作业1.教材p.109练习2、3.2.教材p.116中6、7.
切线的判定和性质 篇6
教学目标：1、使学生学会较熟炼地运用切线的判定方法和切线的性质证明问题.2、掌握运用切线的性质和切线的判定的有关问题中辅助线引法的基本规律.教学重点： 使学生准确、熟炼、灵活地运用切线的判定方法及其性质.教学难点：学生对题目不能准确地进行论证.证题中常会出现不知如何入手，不知往哪个方向证的情形.教学过程：一、新课引入：我们已经系统地学习了切线的判定方法和切线的性质，现在我们来利用这些知识证明有关几何问题.二、新课讲解：实际上在几何证明题中，我们更多地将切线的判定定理和性质定理应用在具体的问题中，而一道几何题的分析过程，是证题中的最关键步骤.p.109例3如图7-58，已知：ab是⊙o的直径，bc是⊙o的切线，切点为b，oc平行于弦ad.求证：dc是⊙o的切线.
分析：欲证cd是⊙o的切线，d是⊙o的弦ad的一个端点当然在⊙o上，属于公共点已给定，而证直线是圆的切线的情形.所以辅助线应该是连结oc.只要证od⊥cd即可.亦就是证∠odc=90°，所以只要证∠odc=∠obc即可，观察图形，两个角分别位于△odc和△obc中，如果两个三角形相似或全等都可以产生对应角相等的结果.而图形中已存在明显的条件od=ob，oc=oc，只要证∠3=∠4，便可造成两个三角形全等.∠3如何等于∠4呢？题中还有一个已知条件ad∥oc，平行的位置关系，可以造成角的相等关系，从而导致∠3=∠4.命题得证.证明：连结od.教师向学生解释书上的证题格式属于推出法和因为所以法的联用，以后证题中同学可以借鉴.p.110例4如图7-59，在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab和cd相等，且ab与小圆相切于点e求证：cd与小圆相切.
分析：欲证cd与小⊙o相切，但读题后发现直线cd与小⊙o并未已知公共点.这个时候我们必须从圆心o向cd作垂线，设垂足为f.此时f点在直线cd上，如果我们能证得of等于小⊙o的半径，则说明点f必在小⊙o上，即可根据切线的判定定理认定cd与小⊙o相切.题目中已告诉我们ab切小⊙o于e，连结oe，便得到小⊙o的一条半径，再根据大⊙o中弦相等则弦心距也相等，则可得到of=oe.证明：连结oe，过o作of⊥cd，重足为f.请同学们注意本题中证一条直线是圆的切线时，这种证明途径是由直线与圆的公共点来给定所决定的.练习一、p.111，1.已知：oc平分∠aob，d是oc上任意一点，⊙d与oa相切于点e.求证：ob与⊙d相切.分析：审题后发现欲证的ob与⊙d相切，属于ob与⊙d无公共点的情况.这时应从圆心d向⊙b作垂线，垂足为f，然后证垂线段df等于⊙b的一条半径，而题目中已给oa与⊙d切于点e，只要连结de.再根据角平分线的性质，问题便得到解决.证明：连结de，作df⊥ob，重足为f.p.111中2.已知如图7-61，△abc为等腰三角形，o是底边bc的中点，⊙o与腰ab相切于点d.求证：ac与⊙o相切.
分析：欲证ac与⊙o相切，同第1题一样，同属于直线与圆的公共点未给定情况.辅助线的方法同第1题，证法类同.只不过要针对本题特点还要连结oa.从等腰三角形的”三线合一”的性质出发，证得oa平分∠bac，然后再根据角平分线的性质，使问题得到证明.证明：连结od、oa，作oe⊥ac，垂足为e.同学们想一想，在证明oe=od时，还可以怎样证？(答案)可通过“角、角、边”证rt△odb≌rt△oec.三、新课讲解：为培养学生阅读教材的习惯让学生阅读109页到110页.从中总结出本课的主要内容：1.在证题中熟练应用切线的判定方法和切线的性质.2.在证明一条直线是圆的切线时，只能遇到两种情形之一，针对不同的情形，选择恰当的证明途径，务必使同学们真正掌握.(1)公共点已给定.做法是“连结”半径，让半径“垂直”于直线.(2)公共点未给定.做法是从圆心向直线“作垂线”，证“垂线段等于半径”.四、布置作业1.教材p.116中8、9.2.教材p.117中2.
切线的判定和性质 篇7
教学目标：1、使学生理解切线的判定定理；2、使学生学会初步运用切线的判定定理.3、通过演示直线和圆相切，培养学生观察图形并能从图形的位置去判断图形的性质的能力.上节课已经总结出了判断一条直线是圆的切线的方法：①直线和圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆半径.教师可结合具体图形引导学生观察图形，并指导学生从图形的位置这一个角度去判断一条直线是圆的切线.教学重点： 使学生全面了解圆的切线的判定方法，特别是本课学到的切线的判定定理，是以后学习中经常用到的圆的切线的一种判定方法.教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视.教学过程：一、新课引入：我们已经学习切线的一些判定方法，本节课我们将继续学习切线的判定方法.在前面的学习中我们学习了圆的切线的判定方法有几种呢？当直线和圆有唯一公共点时，直线是圆的切线；当直线和圆心的距离等于该圆半径时，直线是圆的切线.如果换一个角度，我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢？
如图7-48，直线l到圆心o的距离oc等于圆o的半径，直线l是⊙o的切线.这时我们来观察直线l与⊙o的位置.发现（1）直线l经过半径oc的外端点c（2）直线l垂直于半径oc.这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法――切线的判定定理.二、新课讲解：定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.在切线的三种判定方法中，切线的判定定理最为重要，应用最为广泛.务使每个学生清楚，除了从直线和圆的公共点的个数；直线到圆心的距离等于该圆半径之外，还有其它的判定方法.可提示学生从直线与圆的位置关系来观察，从而发现切线的判定定理.尤其是要指导学生理解好一条直线必须经过半径的外端，并且垂直于这条半径的两大要素缺一不可.练习一，结合图形，根据题中所给的条件，判定直线是否是圆的切线.并回答根据是什么？（1）如图7-49，直线l和⊙o只有一个公共点c.
（2）如图，⊙o的半径为5cm，直线l到圆心o的距离也为5cm.（3）看图回答.此题利用不同的方法判定.例题 已知：直线ab经过⊙o上的点c，并且oa=ob，ca=cb.
求证：直线ab是⊙o的切线.指导学生对题目进行分析.要证直线是圆的切线.从已知中我们得到：直线ab经过⊙o上的点c，它的意义就是c是直线ab和⊙o的公共点.这时，我们只要连接oc，则直线ab就经过了半径oc的外端c.只要我们能够证明ab⊥oc，则从位置上已满足了判定定理的二条，则由切线的判定定理，就可以判定直线ab是⊙o的切线.在证明一条直线是圆的切线时，如果使用判定定理，那么在教学中一定要注意规范几何语言：用推出法证明例题，因为所以的写法请参照教材p.106例题.证明：连结oc.教学中可以让学生先用因为所以法在练习本上证明，一个学生在黑板上板书，然后由教师板书推出法.并加以比较.练习二：p.106练习1.如图7-51，ab是⊙o的直径，∠abt=45°，at=ab.
求证：at是⊙o的切线.这个题目中已知ab是⊙o的直径，可以直接理解出oa是一条半径.而所要证明的直线at已经和⊙o有了公共点a，只要证明at⊥oa即可.证明：at=ab ∠t=∠abt作的快的同学可以用两种方法证明并加以比较.三、课堂小结：为了培养学生阅读教材的习惯让学生看教材p.106，从而总结出本课学习的主要内容：1.切线的判定定理.2.切线的判定方法有三：①直线和圆有唯一公共点.②直线到圆心的距离等于该圆半径.③切线的判定定理.3.证明一条直线是圆的切线的辅助线和证法规律.凡是已知公共点（如：直线经过圆上的点；直线和圆有一个公共点；）往往是“连结”圆心和公共点，证明“垂直”（直线和半径）.4.关于推出法“ ”号前面的可以是定义、公理、题设、已证或可以直接使用的条件，如“点c是线段ab的中点”可直接写成“ac=bc”.四、布置作业1.教材p.107中2；p.115中2、4；p.116中5；p.117b组1.
切线的判定和性质 篇8
（一）
教学目标 ：
1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；
2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；
3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性.
教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；
教学难点 ：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视.
教学过程 设计
（一）复习、发现问题
1.直线与圆的三种位置关系
在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?
2、观察、提出问题、分析发现（教师引导）
图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便.我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?
如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线.这时我们来观察直线l与⊙O的位置.
发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C.这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法――切线的判定定理.
（二）切线的判定定理：
1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2、对定理的理解：
引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径.
请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可.
图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端.
从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.
（三）切线的判定方法
教师组织学生归纳.切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理.
（四）应用定理，强化训练'
例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB.
求证：直线AB是⊙O的切线.
分析：欲证AB是⊙O的切线.由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。
证明：连结0C
∵0A＝0B，CA＝CB，”
∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线.
∴AB⊥OC.
直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C，所以AB是⊙O的切线.
练习1判断下列命题是否正确.
(1)经过半径外端的直线是圆的切线.
(2)垂直于半径的直线是圆的切线.
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线.
(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.
采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由，
练习P106，1、2
目的：使学生初步会应用切线的判定定理，对定理加深理解）
（五）小结
1、知识：切线的判定定理.着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可.
2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：
(1)根据切线定义判定.即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
(3)根据切线的判定定理来判定.
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同.解题时，灵活选用其中之一.
3、能力：初步会应用切线的判定定理.
（六）作业 P115中2、4、5；P117中B组1.
（二）
教学目标 ：
1、使学生理解切线的性质定理及推论；
2、通过对圆的切线位置关系的观察，培养学生能从几何图形的直观位置归纳出几何性质的能力；
教学重点：切线的性质定理和推论1、推论2.
教学难点 ：利用“反证法”来证明切线的性质定理.
教学设计：
（一）基本性质
1、观察：（组织学生，使学生从感性认识到理性认识）
2、归纳：（引导学生完成）
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；
猜想：圆的切线垂直于经过切点的半径.
引导学生应用“反证法”证明.分三步：
(1)假设切线AT不垂直于过切点的半径OA，
(2)同时作一条AT的垂线OM.通过证明得到矛盾，OM＜OA这条半径.则有直线和圆的位置关系中的数量关系，得AT和⊙O相交与题设相矛盾.
(3)承认所要的结论AT⊥AO.
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
指出：定理中题设和结论中涉及到的三个要点：切线、切点、垂直.
引导学生发现：
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2：经过切点且垂于切线的直线必经过圆心.
引导学生分析性质定理及两个推论的条件和结论问的关系，总结出如下结论：
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个.
(1)垂直于切线；
(2)过切点；
(3)过圆心.
(二)归纳切线的性质
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.（推论2）
（三）应用举例，强化训练.
例1、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.
求证：AC平分∠DAB.
引导学生分析：条件CD是⊙O的切线，可得什么结论；由AD⊥CD，又可得什么.
证明：连结OC.
∴AC平分∠DAB.
例2、求证：如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点的线段是直径。
已知：AB、CD是⊙O的两条切线，E、F为切点,且AB∥CD
求证：连结E、F的线段是直径。
证明：连结EO并延长
∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB，
∵AB∥CD，∴OE⊥CD.
∵CD是⊙O切线，F为切点，∴OE必过切点F
∴EF为⊙O直径
强化训练：P109，1
3、求证：经过直径两端点的切线互相平行。
已知：AB为⊙O直径，MN、CD为⊙O切线，切点为A、B
求证：MN∥CD
证明：∵MN切⊙O于A，AB为⊙O直径
∴MN⊥AB
∵CD切⊙O于B，B为半径外端
∴CD⊥AB，
∴MN∥CD.
（四）小结
1、知识：切线的性质：
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.（推论2）
2、能力和方法：
凡是题目中给出切线的切点，往往“连结”过切点的半径.从而运用切线的性质定理，产生垂直的位置关系.
（五）作业 教材P109练习2；教材P116中7.
（三）
教学目标 ：
1、使学生学能灵活运用切线的判定方法和切线的性质证明问题；
2、掌握运用切线的性质和切线的判定的有关问题中辅助线引法的基本规律；
3、通过对切线的综合型例题分析和论证，激发学生的思维.
教学重点：对切线的判定方法及其性质的准确、熟炼、灵活地运用.
教学难点 ：综合型例题分析和论证的思维过程.
教学设计：
（一）复习与归纳
1、切线的判定
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理.即经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2、切线的性质：
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.（推论2）
(二)灵活应用
例1（P108例3）、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.求证：DC是⊙O的切线.
证明：连结OD.
∵OA=OD，∴∠1=∠2，
∵AD∥OC，∴∠1=∠3、∠2=∠4
∴∠3=∠4
在△OBC和△ODC中，
OB=OD，∠3=∠4，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC，∴∠OBC=∠ODC.
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°.
∴DC是⊙O的切线.
例2（P110例4）、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切.
证明：连结OE，过O作OF⊥CD，垂足为F.
∵AB与小圆O切于点点E，∴OE⊥AB.
又∵AB=CD，
∴OF=OE，又OF⊥CD，
∴CD与小圆O相切.
学生归纳：（1）证明切线的两个常见方法（①连半径证垂直；②作垂直证半径.）；
（2）“连结”过切点的半径，产生垂直的位置关系.
例3、已知：AB是半⊙O直径，CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点
求证：CE=CF
证明：连结OE
∵BE=BO∴∠3=∠B
∵CE切⊙O于E
∴OE⊥CE∠2+∠3=90°
∵CD⊥AB∴∠4+∠B=90°
∴∠2=∠4
∵∠1=∠4∴∠1=∠2
∴CE=CF
以上例题让学生自主分析、论证，教师指导书写规范，观察学生推理的严密性和学生共同存在的问题，及时解决.
巩固练习：P111练习1、2.
（三）小结：
1、知识：（指导学生归纳）切线的判定方法和切线的性质
2、能力：①灵活运用切线的判定方法和切线的性质证明问题；②作辅助线的能力和技巧.
（四）作业 ：教材P115，1（1）、2、3.
探究活动
问题：（北京西城区，2002）已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C.
(1)当点P在AB延长线上的位置如图1所示时，连结AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，请你测量出∠CDP的度数；
(2)当点P在AB延长线上的位置如图2和图3所示时，连结AC，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的平分线(不写做法，保留作固痕迹)，设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP的度数；
猜想：∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化?请对称的猜想加以证明.
解：(1) 测量结果：
(2)图2中的测量结果：
图3中的测量结果：
猜想：
证明：
解：(1) 测量结果：∠CDP=45°.
(2)图2中的测量结果：∠CDP=45°.
图3中的测量结果：∠CDP=45°.
猜想：∠CDP=45°，不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化.
证明：连结OC.
∵PC切⊙O于点C，
∴PC⊥OC，
∴∠1+∠CPO=90°，
∵PC平分∠APC，
∴∠2=1/2∠CPO.
∵OA=OC
∴∠A=∠3.
∴∠1=∠A+∠3，
∴∠A=1/2∠1.
∴∠CDP=∠A+∠2=1/2（∠1+∠CPO）=45°.
∴猜想正确.
切线的判定和性质 篇9
切线的判定和性质（一）
教学目标 ：
1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；
2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；
3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性.
教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；
教学难点 ：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视.
教学过程 设计
（一）复习、发现问题
1.直线与圆的三种位置关系
在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?
2、观察、提出问题、分析发现（教师引导）
图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便.我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?
如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线.这时我们来观察直线l与⊙O的位置.
发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C.这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法――切线的判定定理.
（二）切线的判定定理：
1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2、对定理的理解：
引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径.
请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可.
图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端.
从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.
（三）切线的判定方法
教师组织学生归纳.切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理.
（四）应用定理，强化训练
例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB.
求证：直线AB是⊙O的切线.
分析：欲证AB是⊙O的切线.由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。
证明：连结0C
∵0A＝0B，CA＝CB，”
∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线.
∴AB⊥OC.
直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C，所以AB是⊙O的切线.
练习1判断下列命题是否正确.
(1)经过半径外端的直线是圆的切线.
(2)垂直于半径的直线是圆的切线.
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线.
(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.
采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由，
练习P106，1、2
目的：使学生初步会应用切线的判定定理，对定理加深理解）
（五）小结
1、知识：切线的判定定理.着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可.
2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：
(1)根据切线定义判定.即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
(3)根据切线的判定定理来判定.
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同.解题时，灵活选用其中之一.
3、能力：初步会应用切线的判定定理.
（六）作业 P115中2、4、5；P117中B组1.
切线的判定和性质（二）
教学目标 ：
1、使学生理解切线的性质定理及推论；
2、通过对圆的切线位置关系的观察，培养学生能从几何图形的直观位置归纳出几何性质的能力；
教学重点：切线的性质定理和推论1、推论2.
教学难点 ：利用“反证法”来证明切线的性质定理.
教学设计：
（一）基本性质
1、观察：（组织学生，使学生从感性认识到理性认识）
2、归纳：（引导学生完成）
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；
猜想：圆的切线垂直于经过切点的半径.
引导学生应用“反证法”证明.分三步：
(1)假设切线AT不垂直于过切点的半径OA，
(2)同时作一条AT的垂线OM.通过证明得到矛盾，OM＜OA这条半径.则有直线和圆的位置关系中的数量关系，得AT和⊙O相交与题设相矛盾.
(3)承认所要的结论AT⊥AO.
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
指出：定理中题设和结论中涉及到的三个要点：切线、切点、垂直.
引导学生发现：
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2：经过切点且垂于切线的直线必经过圆心.
引导学生分析性质定理及两个推论的条件和结论问的关系，总结出如下结论：
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个.
(1)垂直于切线；
(2)过切点；
(3)过圆心.
(二)归纳切线的性质
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.（推论2）
（三）应用举例，强化训练.
例1、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.
求证：AC平分∠DAB.
引导学生分析：条件CD是⊙O的切线，可得什么结论；由AD⊥CD，又可得什么.
证明：连结OC.
∴AC平分∠DAB.
例2、求证：如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点的线段是直径。
已知：AB、CD是⊙O的两条切线，E、F为切点,且AB∥CD
求证：连结E、F的线段是直径。
证明：连结EO并延长
∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB，
∵AB∥CD，∴OE⊥CD.
∵CD是⊙O切线，F为切点，∴OE必过切点F
∴EF为⊙O直径
强化训练：P109，1
3、求证：经过直径两端点的切线互相平行。
已知：AB为⊙O直径，MN、CD为⊙O切线，切点为A、B
求证：MN∥CD
证明：∵MN切⊙O于A，AB为⊙O直径
∴MN⊥AB
∵CD切⊙O于B，B为半径外端
∴CD⊥AB，
∴MN∥CD.
（四）小结
1、知识：切线的性质：
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.（推论2）
2、能力和方法：
凡是题目中给出切线的切点，往往“连结”过切点的半径.从而运用切线的性质定理，产生垂直的位置关系.
（五）作业 教材P109练习2；教材P116中7.
切线的判定和性质（三）
教学目标 ：
1、使学生学能灵活运用切线的判定方法和切线的性质证明问题；
2、掌握运用切线的性质和切线的判定的有关问题中辅助线引法的基本规律；
3、通过对切线的综合型例题分析和论证，激发学生的思维.
教学重点：对切线的判定方法及其性质的准确、熟炼、灵活地运用.
教学难点 ：综合型例题分析和论证的思维过程.
教学设计：
（一）复习与归纳
1、切线的判定
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理.即经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2、切线的性质：
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.（推论2）
(二)灵活应用
例1（P108例3）、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.求证：DC是⊙O的切线.
证明：连结OD.
∵OA=OD，∴∠1=∠2，
∵AD∥OC，∴∠1=∠3、∠2=∠4
∴∠3=∠4
在△OBC和△ODC中，
OB=OD，∠3=∠4，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC，∴∠OBC=∠ODC.
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°.
∴DC是⊙O的切线.
例2（P110例4）、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切.
证明：连结OE，过O作OF⊥CD，垂足为F.
∵AB与小圆O切于点点E，∴OE⊥AB.
又∵AB=CD，
∴OF=OE，又OF⊥CD，
∴CD与小圆O相切.
学生归纳：（1）证明切线的两个常见方法（①连半径证垂直；②作垂直证半径.）；
（2）“连结”过切点的半径，产生垂直的位置关系.
例3、已知：AB是半⊙O直径，CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点
求证：CE=CF
证明：连结OE
∵BE=BO∴∠3=∠B
∵CE切⊙O于E
∴OE⊥CE∠2+∠3=90°
∵CD⊥AB∴∠4+∠B=90°
∴∠2=∠4
∵∠1=∠4∴∠1=∠2
∴CE=CF
以上例题让学生自主分析、论证，教师指导书写规范，观察学生推理的严密性和学生共同存在的问题，及时解决.
巩固练习：P111练习1、2.
（三）小结：
1、知识：（指导学生归纳）切线的判定方法和切线的性质
2、能力：①灵活运用切线的判定方法和切线的性质证明问题；②作辅助线的能力和技巧.
（四）作业 ：教材P115，1（1）、2、3.
探究活动
问题：（北京西城区，2002）已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C.
(1)当点P在AB延长线上的位置如图1所示时，连结AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，请你测量出∠CDP的度数；
(2)当点P在AB延长线上的位置如图2和图3所示时，连结AC，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的平分线(不写做法，保留作固痕迹)，设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP的度数；
猜想：∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化?请对称的猜想加以证明.
解：(1) 测量结果：
(2)图2中的测量结果：
图3中的测量结果：
猜想：
证明：
解：(1) 测量结果：∠CDP=45°.
(2)图2中的测量结果：∠CDP=45°.
图3中的测量结果：∠CDP=45°.
猜想：∠CDP=45°，不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化.
证明：连结OC.
∵PC切⊙O于点C，
∴PC⊥OC，
∴∠1+∠CPO=90°，
∵PC平分∠APC，
∴∠2=1/2∠CPO.
∵OA=OC
∴∠A=∠3.
∴∠1=∠A+∠3，
∴∠A=1/2∠1.
∴∠CDP=∠A+∠2=1/2（∠1+∠CPO）=45°.
∴猜想正确.
