直线和圆的位置关系
1.知识结构2.重点、难点分析
重点:直线和圆的位置关系的性质和判定.因为它是本单元的基础(如:“切线的判定和性质定理”是在它的基础上研究的),也是高中解析几何中研究“直线和圆的位置关系”的基础.
难点:在对性质和判定的研究中,既要有归纳概括能力,又要有转换思想和能力,所以是本节的难点;另外对“相切”要分清直线与圆有唯一公共点是指有一个并且只有一个公共点,与有一个公共点含义不同(这一点到直线和曲线相切时很重要),学生较难理解.
3.教法建议
本节内容需要一个课时.
(1)教师通过电脑演示,组织学生自主观察、分析,并引导学生把“点和圆的位置关系”研究的方法迁移过来,指导学生归纳、概括;
(2)在教学中,以“形”归纳“数”, 以“数”判定“形”为主线,开展在教师组织下,以学生为主体,活动式教学.
教学目标:
1、使学生理解直线和圆的三种位置关系,把握其判定方法和性质;
2、通过直线和圆的位置关系的探究,向学生渗透分类、数形结合的思想,培养学生
观察、分析和概括的能力;
3、使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、培养学生的辩证唯物主义观点.
教学重点:直线和圆的位置关系的判定方法和性质.
教学难点:直线和圆的三种位置关系的研究及运用.
教学设计:
(一)基本概念
1、观察:(组织学生,使学生从感性熟悉到理性熟悉)
2、归纳:(引导学生完成)
(1)直线与圆有两个公共点;(2)直线和圆有唯一公共点(3)直线和圆没有公共点
3、概念:(指导学生完成)
由直线与圆的公共点的个数,得出以下直线和圆的三种位置关系:
(1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.
(2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点.
(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
研究与理解:
①直线与圆有唯一公共点的含义是“有且仅有”,这与直线与圆有一个公共点的含义不同.
②直线和圆除了上述三种位置关系外,有第四种关系吗?即一条直线和圆的公共点能否多于两个?为什么?
(二)直线与圆的位置关系的数量特征
1、迁移:点与圆的位置关系
(1)点P在⊙O内 d<r;
(2)点P在⊙O上 d=r;
(3)点P在⊙O外 d>r.
2、归纳概括:
假如⊙O的半径为r ,圆心O到直线l的距离为d,那么
(1)直线l和⊙O相交 d<r;
(2)直线l和⊙O相切 d=r;
(3)直线l和⊙O相离 d>r.
(三)应用
例1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB有何种位置关系?为什么?
(1)r=2cm;(2)r=2.4cm;(3)r=3cm.
学生自主完成,老师指导学生规范解题过程.
解:(图形略)过C点作CD⊥AB于D,
在Rt△ABC中,∠C=90°,
AB= ,
∵ ,∴AB·CD=AC·BC,
∴ (cm),
(1)当r =2cm时 CD>r,∴圆C与AB相离;
(2)当r=2.4cm时,CD=r,∴圆C与AB相切;
(3)当r=3cm时,CD<r,∴圆C与AB相交.
练习P105,1、2.
(四)小结:
1、知识:(指导学生归纳)
2、能力:观察、归纳、概括能力,知识迁移能力,知识应用能力.
(五)作业:教材P115,1(1)、2、3.
探究活动
问题:如图,正三角形ABC的边长为6 厘米,⊙O的半径为r厘米,当圆心O从点A出发,沿着线路AB一BC一CA运动,回到点A时,⊙O随着点O的运动而移动.在⊙O移动过程中,从切点的个数来考虑,相切有几种不同的情况?写出不同情况下,r的取值范围及相应的切点个数.
略解:由正三角形的边长为6 厘米,可得它一边上的高为9厘米.
①∴当⊙O的半径r=9厘米时,⊙O在移动中与△ABC的边共相切三次,即切点个数为3.
②当0<r<9时,⊙O在移动中与△ABC的边共相切六次,即
