2025年高考高中数学 圆的周长计算公式

高中数学 圆的周长计算公式

在古代，这个问题几乎是依赖于对实验的归纳。人们在经验中发现圆的周长与直径有着一个常数的比，并把这个常数叫做圆周率(西方记做π)。于是自然地，圆周长就是：C = π ×d 或者C=2×π×r(其中d是圆的直径，r是圆的半径)。

圆周率

后来的数学家们就想办法算出这个π的具体值，数学家刘徽用的是“割圆术”的方法，也就是用圆的内接正多边形和外切正多边形的周长逼近圆周长，求得圆接近192边型，求得圆周率大约是3.14。[1]

割圆术的大致方法在中学的数学教材上就有。然而必须看到，它很大程度上只是计算圆周率的方法，而圆周长是C = π * d似乎已经是事实了，这一方法仅仅是定出π的值来。仔细想想就知道这样做有问题，因为他们并没有从逻辑上证明圆的周长确实正比于直径，更进一步说他们甚至对周长的概念也仅是直观上的、非理性的。

圆周率的推导过程

真正从理论上严密推导圆的周长必须依赖近代的分析数学，包括微积分的使用才行。

推导圆周长最简洁的办法是用积分。

在平面直角坐标下圆的方程是：

这可以写成参数方程：

x = r * Cos t

y = r * Sin t

t∈[0, 2π]

于是圆周长就是

C = ∫√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt，t从0积到2π.

结果自然就是C = 2π * r

(注：三角函数一般的定义是依赖于圆的周长或面积的，为了避免逻辑上的循环论证，可以把三角函数按收敛的幂级数或积分来定义而不依赖于几何，此时圆周率就不是由圆定义的常数，而是由三角函数周期性得到的常数)