第五课时 电磁感应中的图象与能量问题
【教学要求】
1．理解电磁感应的过程实质就是能量转化的过程，学会从能量的角度分析电磁感应问题。
2．学会分析电磁感应中的图象问题
【知识再现】
一、电磁感应中的图象问题
电磁感应中常涉及磁感应强度B、磁通量ф、感应电动势E和感应电流I随时间t变化的图像，即B-t图像，ф-t图像。E-t图像和I-t图像。对于切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及感应电动势E和感应电流I随线圈位移x变化的图像，即E-x图像和I-x图像．
这些图像问题大体上可分为两类：由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图像，或由给定的有关图像分析电磁感应过程，求解相应的物理量．
二、电磁感应中能量转化问题
电磁感应过程总是伴随着能量转化。导体切割磁感线或磁通量发生变化在回路中产生感应电流，机械能或其他形式能量便转化为电能，具有感应电流的导体在磁场中受安培力作用或通过电阻发热，又可使电能转化为机械能或电阻的内能。
因此，中学阶段用能量转化观点研究电磁感应问题常是导体的稳定运动（匀速直线运动或匀变速运动）．对应的受力特点是合外力为零或者恒定不变，能量转化过程常是机械能转化为电阻内能．
知识点一电磁感应中的能量转化规律
电磁感应现象中出现的电能，一定是由其他形式的能转化而来，具体问题中会涉及多种形式的能之间的转化，机械能和电能的相互转化、内能和电能的相互转化．分析时，应当牢牢抓住能量守恒这一基本规律，分析清楚有哪些力做功，就可知道有哪些形式的能量参与了相互转化，如有摩擦力做功，必然有内能出现；重力做功，就可能有机械能参与转化；安培力做负功就将其他形式能转化为电能（发电机），做正功将电能转化为其他形式的能（电动机）；然后利用能量守恒列出方程求解。
【应用1】光滑平行导轨水平放置，导轨左端通过开关S与内阻不计、电动势为E的电源相连，一根质量为m的导体棒ab，用长为l的绝缘细线悬挂，悬线竖直时导体棒恰好与导轨良好接触且细线处于张紧状态，如图所示，系统空间有匀强磁场．当闭合开关S时，导体棒被向右摆出，摆到最大高度时，细线与竖直方向成 角，则（ ）
A．磁场方向一定竖直向下
B．磁场方向竖直向下时，磁感应强度最小
C．导体棒离开导轨前通过棒的电量为
D．导体棒离开导轨前电源提供的电能大于
mgl(1 ? cos )
导示：选择：BD。当开关S闭合时，导体棒向右摆起，说明其所受安培力水平向右或有水平向右的分量，但安培力若有竖直向上的分量，应小于导体棒所受重力，否则导体棒会向上跳起而不是向右摆，由左手定则可知，磁场方向斜向下或竖直向下都成立，A错；当满足导体棒“向右摆起”时，若磁场方向竖直向下，则安培力水平向右，在导体棒获得的水平冲量相同的条件下，所需安培力最小，因此磁感应强度也最小，B正确；
设导体棒右摆初动能为Ek，摆动过程中机械能守恒，有Ek = mgl (1?cos )，导体棒的动能是电流做功而获得的，若回路电阻不计，则电流所做的功全部转化为导体棒的动能。
此时有W = IEt= qE = Ek，得W = mgl (1?cos )， ，题设条件有电源内阻不计而没有“其他电阻不计”的相关表述，因此其他电阻不可忽略，那么电流的功就大于mgl (1?cos )，通过的电量也就大于 ，C错D正确．
类型一电磁感应中的图象问题分析
电磁感应现象中图像问题的分析，要抓住磁通量的变化是否均匀，从而推知感应电动势（电流）是否大小恒定．用楞次定律判断出感应电动势（或电流）的方向，从而确定其正负。
分析回路中的感应电动势和感应电流的大小及其变化规律，要利用法拉第电磁感应定律来分析．有些图像问题还要画出等效电路来辅助分析，
另外，要正确解决图像问题，必须能根据图像的意义把图像反映的规律对应到实际过程中去，又能根据实际过程的抽象规律对应到图像中去，最终根据实际过程的物理规律进行判断，这样，才抓住了解决图像问题的根本。
【例1】（如东高级中学08届高三第三次阶段测试）如图甲所示，两个垂直纸面的匀强磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B，磁场区域的宽度均为a，一正三角形（高度为a）导线框ABC从图示位置沿图示方向匀速穿过两磁场区域，以逆时针方向为电流的正方向，在图乙中感应电流I与线框移动距离x的关系图象正确的是（ ）
导示：导线框进入左边磁场时，切割磁感应线的有效长度L=2vt?tan30°，与时间成正比。根据楞次定律可以判定，导线框进入左边磁场和离开右边磁场时，电路中的感应电流方向为逆时针方向。导线框在穿越两个磁场过程中，电路中的感应电流方向为顺时针方向。
类型二电磁感应中的能量问题的分析
解决电磁感应中的能量问题的基本方法是：
（1）用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势的大小和方向；
（2）画出等效电路，求出回路中电阻消耗电功率表达式；
（3）分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到机械功率的改变与回路中电功率的改变所满足的方程。
【例2】（上海徐汇区08届高三第一学期期末试卷）（14分）如图甲所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在同一水平面上，两导轨间距为L＝1m，定值电阻R1＝4Ω，R2＝2Ω，导轨上放一质量为m＝1kg的金属杆，导轨和金属杆的电阻不计，整个装置处于磁感应强度为B＝0.8T的匀强磁场中，磁场的方向垂直导轨平面向下，现用一拉力F沿水平方向拉杆，使金属杆由静止开始运动。图乙所示为通过R1中的电流平方随时间变化的I12―t图线，求：
（1）5s末金属杆的动能；
（2）5s末安培力的功率；
（3）5s内拉力F做的功。
导示：（1）E＝BLv＝I1R1，
v＝I1R1BL ＝0.2 40.81 m/s＝50.2 m/s，
Ek＝12 mv2＝2.5J；
（2）I＝3I1＝30.2 A，
PA＝I12R1＋I22R2＝3I12R1＝2.4W
或FA＝BIL＝2.40.2 N，PA＝FAv＝2.4W；
（3）由PA＝3I12R1和图线可知，PAt，所以
WA＝12 PAmt＝6 J；
（或根据图线，I12t即为图线与时间轴包围的面积，所以WA＝3I12R1t＝3×12 ×5×0.2×4＝6 J）
又WF－WA＝Ek，得WF＝WA＋Ek＝8.5 J。
1．（盐城中学08届高三年级12月份测试题）如图所示，在PQ、QR区域中存在着磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面。一导线框abcdef位于纸面内，况的邻边都相互垂直，bc边与磁场的边界P重合。导线框与磁场区域的尺寸如图所示。从t=0时刻开始，线框匀速横穿两个磁场区域。以a→b→c→d→e→f为线框中的电动势ε的正方向，以下四个ε-t关系示意图中正确的是（ ）
2． （南通海安实验中学08年1月考试卷）如图所示，固定在水平绝缘平面上足够长的金属导轨不计电阻，但表面粗糙，导轨左端连接一个电阻R，质量为m的金属棒(电阻也不计)放在导轨上，并与导轨垂直，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，用水平恒力F把MN棒从静止起向右拉动的过程中，（ ）
A、恒力F做的功等于电路产生的电能；
B、恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能；
C、克服安培力做的功等于电路中产生的电能；
D、恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和棒获得的动能之和
3、（上海徐汇区08届高三第一学期期末试卷）如图所示，相距为d的两条水平虚线L1、L2之间是方向水平向里的匀强磁场，磁感应强度为B，正方形线圈abcd边长为L（L＜d），质量为m，电阻为R，将线圈在磁场上方高h处静止释放，cd边刚进入磁场时速度为v0，cd边刚离开磁场时速度也为v0，则线圈穿越磁场的过程中（从cd边刚进入磁场起一直到ab边离开磁场为止） （ ）
A、感应电流所做的功为mgd
B、感应电流所做的功为2mgd
C、线圈的最小速度可能为mgRB2L2
D、线圈的最小速度一定为2g（h＋L－d）
4、（泰州市08届高三联考热身训练）如图所示，相距为L的两根竖直的足够长的光滑导轨MN、PQ，M、P之间接一阻值为R的定值电阻，金属棒ab质量为m，与导轨接触良好。整个装置处在方向垂直纸面向里水平匀强磁场中，金属棒和导轨电阻不计。现让ab棒由静止释放，经时间t达稳定状态，此时ab棒速度为v；
（1）请证明导体棒运动过程中，克服安培力的功率等于电路中电功率。
（2）若m=0.2kg，L=0.5m，R=lΩ，v=2m/s，棒从开始释放到稳定状态过程中流过棒电量为0.5C，求磁感应强度B大小以及棒从开始到达到稳定状态下落的高度h。（g取10m/s2）
（3）接第(2)问，若棒从开始到达到稳定状态所用时间t=2s，求流过电阻R的电流有效值。（结果可保留根号）
答案：1、C 2、CD 3、BCD
【教学要求】
1．理解电磁感应的过程实质就是能量转化的过程，学会从能量的角度分析电磁感应问题。
2．学会分析电磁感应中的图象问题
【知识再现】
一、电磁感应中的图象问题
电磁感应中常涉及磁感应强度B、磁通量ф、感应电动势E和感应电流I随时间t变化的图像，即B-t图像，ф-t图像。E-t图像和I-t图像。对于切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及感应电动势E和感应电流I随线圈位移x变化的图像，即E-x图像和I-x图像．
这些图像问题大体上可分为两类：由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图像，或由给定的有关图像分析电磁感应过程，求解相应的物理量．
二、电磁感应中能量转化问题
电磁感应过程总是伴随着能量转化。导体切割磁感线或磁通量发生变化在回路中产生感应电流，机械能或其他形式能量便转化为电能，具有感应电流的导体在磁场中受安培力作用或通过电阻发热，又可使电能转化为机械能或电阻的内能。
因此，中学阶段用能量转化观点研究电磁感应问题常是导体的稳定运动（匀速直线运动或匀变速运动）．对应的受力特点是合外力为零或者恒定不变，能量转化过程常是机械能转化为电阻内能．
知识点一电磁感应中的能量转化规律
电磁感应现象中出现的电能，一定是由其他形式的能转化而来，具体问题中会涉及多种形式的能之间的转化，机械能和电能的相互转化、内能和电能的相互转化．分析时，应当牢牢抓住能量守恒这一基本规律，分析清楚有哪些力做功，就可知道有哪些形式的能量参与了相互转化，如有摩擦力做功，必然有内能出现；重力做功，就可能有机械能参与转化；安培力做负功就将其他形式能转化为电能（发电机），做正功将电能转化为其他形式的能（电动机）；然后利用能量守恒列出方程求解。
【应用1】光滑平行导轨水平放置，导轨左端通过开关S与内阻不计、电动势为E的电源相连，一根质量为m的导体棒ab，用长为l的绝缘细线悬挂，悬线竖直时导体棒恰好与导轨良好接触且细线处于张紧状态，如图所示，系统空间有匀强磁场．当闭合开关S时，导体棒被向右摆出，摆到最大高度时，细线与竖直方向成 角，则（ ）
A．磁场方向一定竖直向下
B．磁场方向竖直向下时，磁感应强度最小
C．导体棒离开导轨前通过棒的电量为
D．导体棒离开导轨前电源提供的电能大于
mgl(1 ? cos )
导示：选择：BD。当开关S闭合时，导体棒向右摆起，说明其所受安培力水平向右或有水平向右的分量，但安培力若有竖直向上的分量，应小于导体棒所受重力，否则导体棒会向上跳起而不是向右摆，由左手定则可知，磁场方向斜向下或竖直向下都成立，A错；当满足导体棒“向右摆起”时，若磁场方向竖直向下，则安培力水平向右，在导体棒获得的水平冲量相同的条件下，所需安培力最小，因此磁感应强度也最小，B正确；
设导体棒右摆初动能为Ek，摆动过程中机械能守恒，有Ek = mgl (1?cos )，导体棒的动能是电流做功而获得的，若回路电阻不计，则电流所做的功全部转化为导体棒的动能。
此时有W = IEt= qE = Ek，得W = mgl (1?cos )， ，题设条件有电源内阻不计而没有“其他电阻不计”的相关表述，因此其他电阻不可忽略，那么电流的功就大于mgl (1?cos )，通过的电量也就大于 ，C错D正确．
类型一电磁感应中的图象问题分析
电磁感应现象中图像问题的分析，要抓住磁通量的变化是否均匀，从而推知感应电动势（电流）是否大小恒定．用楞次定律判断出感应电动势（或电流）的方向，从而确定其正负。
分析回路中的感应电动势和感应电流的大小及其变化规律，要利用法拉第电磁感应定律来分析．有些图像问题还要画出等效电路来辅助分析，
另外，要正确解决图像问题，必须能根据图像的意义把图像反映的规律对应到实际过程中去，又能根据实际过程的抽象规律对应到图像中去，最终根据实际过程的物理规律进行判断，这样，才抓住了解决图像问题的根本。
【例1】（如东高级中学08届高三第三次阶段测试）如图甲所示，两个垂直纸面的匀强磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B，磁场区域的宽度均为a，一正三角形（高度为a）导线框ABC从图示位置沿图示方向匀速穿过两磁场区域，以逆时针方向为电流的正方向，在图乙中感应电流I与线框移动距离x的关系图象正确的是（ ）
导示：导线框进入左边磁场时，切割磁感应线的有效长度L=2vt?tan30°，与时间成正比。根据楞次定律可以判定，导线框进入左边磁场和离开右边磁场时，电路中的感应电流方向为逆时针方向。导线框在穿越两个磁场过程中，电路中的感应电流方向为顺时针方向。
类型二电磁感应中的能量问题的分析
解决电磁感应中的能量问题的基本方法是：
（1）用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势的大小和方向；
（2）画出等效电路，求出回路中电阻消耗电功率表达式；
（3）分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到机械功率的改变与回路中电功率的改变所满足的方程。
【例2】（上海徐汇区08届高三第一学期期末试卷）（14分）如图甲所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在同一水平面上，两导轨间距为L＝1m，定值电阻R1＝4Ω，R2＝2Ω，导轨上放一质量为m＝1kg的金属杆，导轨和金属杆的电阻不计，整个装置处于磁感应强度为B＝0.8T的匀强磁场中，磁场的方向垂直导轨平面向下，现用一拉力F沿水平方向拉杆，使金属杆由静止开始运动。图乙所示为通过R1中的电流平方随时间变化的I12―t图线，求：
（1）5s末金属杆的动能；
（2）5s末安培力的功率；
（3）5s内拉力F做的功。
导示：（1）E＝BLv＝I1R1，
v＝I1R1BL ＝0.2 40.81 m/s＝50.2 m/s，
Ek＝12 mv2＝2.5J；
（2）I＝3I1＝30.2 A，
PA＝I12R1＋I22R2＝3I12R1＝2.4W
或FA＝BIL＝2.40.2 N，PA＝FAv＝2.4W；
（3）由PA＝3I12R1和图线可知，PAt，所以
WA＝12 PAmt＝6 J；
（或根据图线，I12t即为图线与时间轴包围的面积，所以WA＝3I12R1t＝3×12 ×5×0.2×4＝6 J）
又WF－WA＝Ek，得WF＝WA＋Ek＝8.5 J。
1．（盐城中学08届高三年级12月份测试题）如图所示，在PQ、QR区域中存在着磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面。一导线框abcdef位于纸面内，况的邻边都相互垂直，bc边与磁场的边界P重合。导线框与磁场区域的尺寸如图所示。从t=0时刻开始，线框匀速横穿两个磁场区域。以a→b→c→d→e→f为线框中的电动势ε的正方向，以下四个ε-t关系示意图中正确的是（ ）
2． （南通海安实验中学08年1月考试卷）如图所示，固定在水平绝缘平面上足够长的金属导轨不计电阻，但表面粗糙，导轨左端连接一个电阻R，质量为m的金属棒(电阻也不计)放在导轨上，并与导轨垂直，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，用水平恒力F把MN棒从静止起向右拉动的过程中，（ ）
A、恒力F做的功等于电路产生的电能；
B、恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能；
C、克服安培力做的功等于电路中产生的电能；
D、恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和棒获得的动能之和
3、（上海徐汇区08届高三第一学期期末试卷）如图所示，相距为d的两条水平虚线L1、L2之间是方向水平向里的匀强磁场，磁感应强度为B，正方形线圈abcd边长为L（L＜d），质量为m，电阻为R，将线圈在磁场上方高h处静止释放，cd边刚进入磁场时速度为v0，cd边刚离开磁场时速度也为v0，则线圈穿越磁场的过程中（从cd边刚进入磁场起一直到ab边离开磁场为止） （ ）
A、感应电流所做的功为mgd
B、感应电流所做的功为2mgd
C、线圈的最小速度可能为mgRB2L2
D、线圈的最小速度一定为2g（h＋L－d）
4、（泰州市08届高三联考热身训练）如图所示，相距为L的两根竖直的足够长的光滑导轨MN、PQ，M、P之间接一阻值为R的定值电阻，金属棒ab质量为m，与导轨接触良好。整个装置处在方向垂直纸面向里水平匀强磁场中，金属棒和导轨电阻不计。现让ab棒由静止释放，经时间t达稳定状态，此时ab棒速度为v；
（1）请证明导体棒运动过程中，克服安培力的功率等于电路中电功率。
（2）若m=0.2kg，L=0.5m，R=lΩ，v=2m/s，棒从开始释放到稳定状态过程中流过棒电量为0.5C，求磁感应强度B大小以及棒从开始到达到稳定状态下落的高度h。（g取10m/s2）
（3）接第(2)问，若棒从开始到达到稳定状态所用时间t=2s，求流过电阻R的电流有效值。（结果可保留根号）
答案：1、C 2、CD 3、BCD
