1.5 电场强度与电势差的关系 学案2（粤教版选修3-1）
1．一个电荷只在电场力作用下从电场中的A点移到B点时，电场力做了5×10－6 J的正功，那么此过程中电荷的电势能________(填“增加”或“减少”)5×10－6 J.
2．如果把q＝1.0×10－8 C的电荷从无穷远处移至电场中的A点，需要克服电场力做功W＝1.2×10－4 J，规定无穷远处的电势为零．则电荷在A点的电势能是________ J，A点的电势φA是________ V.
3．UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，因此UAB＝________ UBA，可见电势差可以是正值，也可以是负值．
4． 如图1所示，把电荷量q＝＋2×10－11 C的点电荷由A点移动到B点，电场力所做的功WAB＝4×10－11 J．A、B两点间的电势差UAB＝______________ V；B、A两点间的电势差UBA＝________________V．如果将电荷量q′＝－2×10－11 C的点电荷由B点移到A点，则电场力所做的功WBA′＝__________ ____ J.
图1
答案 1.减少 2.1.2×10－4 1.2×104 3.－ 4.2 －2 4×10－11
5．对公式E＝Uabd的理解，下列说法正确的是( )
A．此公式适用于计算任何电场中a、b两点间的电势差
B．a点和b点距离越大，则这两点的电势差越大
C．公式中的d是指a点和b点之间的距离
D．公式中的 d是a、b两点所在的两个等势面间的垂直距离
答案 D
解析 本题考查对电场强度与电势差的关系式U＝Ed的理解．该式成立的前提条件是匀强电场，所以A项错；在匀强电场中，沿电场线方向，两点间距离越大，则两点间的电势差越大，B项错；该式中，d是指两点距离在电场线方向上的投影或两点所在的等势面间的距离，所以C项错，D项正确．
一、带电粒子在电场中的运动轨迹问题
电场线是为研究电场而假想的理想模型，带电粒子在电场中的运动轨迹是带电粒子在电场力作用下的实际路线，电场力在电场线的切线方向上，电场线与等势面垂直，且电场线由高电势指向低电势．粒子在电场中的运动轨迹由力和初速度的方向决定，既可以与电场线重合也可以与等势面重合，一定要分清它们的区别与联系．
方法总结 ①粒子的运动轨迹曲线必弯向合外力一侧，力的方向、弯曲方向、速率方向一一对应．
②电场线和等势面都是假想的曲线，在电场中两者相互垂直，且电场线由高电势指向低电势．
③根据电场线的方向以及疏密情况，确定场强及带电性质，定性判断电场力(或加速度)的大小和方向．再根据电场力方向与速度方向的关系来判断速度的变化情况和运动情况．
④利用电场力做功情况来判断电势能的变化情况，可以通过能量转化和守恒确定电势能及动能的变化情况．
例1 如图2所示，平行线代表电场线，但未标明方向，一个带正电、电荷量为10－6 C的粒子在电场中仅受电场力作用，当它从A点运动到B点时动能减少了10－5 J．已知A点的电势为－10 V，则以下判断正确的是( )
图2
A．粒子的运动轨迹如图虚线1所示
B．粒子的运动轨迹如图虚线2所示
C．B点电势为零
D．B点电势为－20 V
解析 粒子只受到电场力，当它从A点运动到B点时动能减少了，说明它从A点运动到B点电场力做了负功，所以偏转的情况应该如轨迹1所示，因而选项A正确、B错误；根据电场力做功W＝qU，WAB＝－10－5 J，电势差UAB＝WABq＝－10 V＝φA－φB，得φB＝0，故C正确、D错误．
答案 AC
变式训练1 某静电场中的电场线如图3所示，带电粒子在电场中仅受电场力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M运动到N，以下说法正确的是( )
图3
A．粒子必定带负电荷
B．粒子在M点的加速度大于它在N点的加速度
C．粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度
D．粒子在M点的动能小于它在N点的动能
答案 CD
解析 分析带电粒子在电场中的运动轨迹问题时注意：做曲线运动的粒子所受合外力指向曲线凹侧，另外粒子的速度方向沿轨迹的切线方向，再结合电场线、电场力的知识来分析问题．
二、匀强电场中电场线与等势面的问题
在匀强电场中U＝E?d，d是沿电场线方向上的距离．电场中等势面与电场线垂直，沿电场线方向上等距离的点之间电势差相等．在与电场线有夹角θ(0＜θ＜90°)的直线上，等间距点电势差同样相等．
方法总结 对有关电场 线与等势面的问题，要注意应用电场线与等势面垂直等结论．通过等势面可以确定电场线的方向．在匀强电场中，同一直 线上等距离的点之间对应的电势差相等，这也是寻找等势面的突破口．
例2 如图4所示，虚线方框内为一匀强电场区域，电场线与纸面平行，A、B、C为电场中的三个点，三点电势分别为φA＝12 V，φB＝6 V，φC＝－6 V．试在方框内作出该电场的示意图(即画出几条电场线)，要保留作图时所用的辅助线．
图4
解析 作图方法：①将A、C连接，并将其三等分，靠近A点的等分点D 与B点等电势，φD＝φB＝6 V．② 用虚线连接B、D，BD为该电场中的等势面(如下图所示)．③作一簇垂直于BD、间距相等的平行线，使其方向斜向下，这些平行线即可表示所要作的匀强电场．
答案 见解析
变式训练2 a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点．电场线与矩形所在平面平行．已知a点的电势为20 V，b点的电势为24 V，d点的电势为4 V，如图5所示，由此可知c点的电势为( )
图5
A．4 V B．8 V C．12 V D．24 V
答案 B
解析 解法一：沿匀强电场中的电场线，电势应均匀变化，如右图，连接bd两点，并将连线五等分，则每一
等分的两端点间电势差为4 V，则各点电势如图所示，连接a点与bd上20 V的点，连线为一条等势线，根据匀强电场的等势线相互平行的规律，过c点作等势线的平行线，线上所有点的电势应与c点电势相等，用几何关系证明得：该线过电势为8 V的点，故c点电势为8 V.
解法二：由 公式U＝E?d可知，在匀强电场中相互平行的两线段端点所对应的电势差之比恰好等于两线段长度之比．则由图知ab∥dc，必有Uab/Udc＝ab/dc＝1/1，故(20－24) V＝(4－φc)V，则φc＝8 V.
三、电场中涉及能量(动能)问题的应用
处理电场中涉及能量的动力学问题一般用动能定理、功能关系求解．在求解电场力的功时，方法很多，一般采 取WAB＝qUAB，而且WAB＝－ΔEAB.
方法总结 动能定理适用于各种运动、各种场合，与做功和能量相关的问题可先考虑使用动能定理解决问题．
例3 如图6所示，光滑绝缘杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速下滑，已知q?Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为3gh.求：
图6
(1)小球由A点到B点的过程中电场力做的功；
(2)A、C两点的电势差．
解析 因为Q是点电荷，所以以Q为圆 心的圆面是一个等势面，这是一个重要的隐含条件．由A到B过程中电场力是变力，所以不能直接用W＝Fl来求解，只能考虑应用功能关系．
(1)因为杆是光滑的，所以小球从A到B过程中只有两个力做功：电场力做的功WAB和重力做的功mgh.由动能定理得WAB＋mgh＝12mv2B，代入已知条件vB＝3gh得电场力做功
WAB＝12m?3gh－mgh＝12mgh.
(2)因为B、C在同一个等势面上，所以φB＝φC，即UAB＝UAC.由W＝qU，得UAB＝UAC＝WAB－q＝－mgh2q.故A、C两点电势差为－mgh2q.
答案 (1)12mgh (2)－mgh2q
变式训练3 静电场中，带电粒子在电场力作用下从电势为φa的 a点运动至电势为φb的b点，若 带电粒子在a、b两点的速率分别为va、vb，不计重力，则带电粒子的比荷qm为( )
A.v2a－v2bφb－φa B.v2b－v2aφb－φa
C.v2a－v2b2?φb－φa? D.v2b－v2a2?φb－φa?[
答案 C
解析 带电粒子在电场中运动，因不知是否为匀强电场，所以动能定理比较好用．
根据动能定理：Wab＝ΔEk列式得：q(φa－φb)＝12mv2b－12mv2a
整理得：qm＝v2b－v2a2?φa－φb?.
【即学即练】
1．一带电粒子从电场中的A点运动到B点，轨迹如图7中虚线所示，不计粒子所受重力，则( )
图7
A．粒子带正电荷
B．粒子的加速度逐渐减小
C．A点的速度大于B点的速度
D．粒子的初速度为零
答案 BC
解析 带电粒子所受合外力(即静电力)指向轨迹凹侧，知静电力方向向左，粒子带负电荷．根据电场强度EA＞EB，知B项正确；粒子从A运动到B受到的静电力为阻力，C项正确；若粒子的初速度为零，它会在电场力作用下向左运动，与题中所给条件不符，故D项错误．
2．如图8所示，带正电的点电荷固定于点Q，电子在库仑力作用下，做以Q为焦点的椭圆运动，M、P、N为 椭圆上的三点，P点是轨道上离Q最近的点，电子在从M经P到达N点的过程中( )
图8
A．速率先增大后减小 B．速率先减小后增大
C．电势能先减小后增大 D．电势能先增大后减小
答案 ACP→P→N的过程中，电势先升高后降低，电子在P点的电势能最小，故电势能先减小后增大，因动能和电势能互相转化，故动能先增大后减小，速率也就先增大后减小，A、C正确．对电场力做功判断不准是本题易错的原因．
3．图9中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点，若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图能判断( )
图9
A．带电粒子所带电荷的符号
B．带电粒子在a、b两点的受力方向
C．带电粒子在a、b两点的速度何处 较大
D．带电粒子在a、b两点的电势何处较大
答案 BC
解析 尽管本题不涉及计算，但对我们的分析能力要求较高．由于本题中的带电粒子没有告诉是正还是负，似乎给分析带来一定的难度，但从带电粒子运动的轨迹知必与源电荷为异种电荷，即知B正确，这也是解决本题的突破口；然后无论带电粒子从a运动到b，还是从b运动到a，均可判断出C正确．
4．一个带正电的质点，电荷量q＝2.0×10－9 C，在静电场中由a点移到b点，在此过程中，除电场力外，其他力做的功为6.0×10－5 J，质点的动能增加了8.0×10－5 J，则a、b两点间电势差Uab为( )
A．3.0×104 V B．1.0×104 V
C．4.0×104 V D．7.0×104 V
答案 B
解析 根据动能定理W总＝ΔEk， 得W电＋W外＝ΔEk，W电＝ΔEk－W外＝8.0×10－5 J－6.0×10－5 J＝2.0×10－5 J．又电势能的改变量ΔEp在数值上等于电场力做的功，a、b两点间的电势差：φa－φb＝ΔEpq＝2.0×10－52.0×10－9 V＝1.0×104 V.
1．一个电荷只在电场力作用下从电场中的A点移到B点时，电场力做了5×10－6 J的正功，那么此过程中电荷的电势能________(填“增加”或“减少”)5×10－6 J.
2．如果把q＝1.0×10－8 C的电荷从无穷远处移至电场中的A点，需要克服电场力做功W＝1.2×10－4 J，规定无穷远处的电势为零．则电荷在A点的电势能是________ J，A点的电势φA是________ V.
3．UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，因此UAB＝________ UBA，可见电势差可以是正值，也可以是负值．
4． 如图1所示，把电荷量q＝＋2×10－11 C的点电荷由A点移动到B点，电场力所做的功WAB＝4×10－11 J．A、B两点间的电势差UAB＝______________ V；B、A两点间的电势差UBA＝________________V．如果将电荷量q′＝－2×10－11 C的点电荷由B点移到A点，则电场力所做的功WBA′＝__________ ____ J.
图1
答案 1.减少 2.1.2×10－4 1.2×104 3.－ 4.2 －2 4×10－11
5．对公式E＝Uabd的理解，下列说法正确的是( )
A．此公式适用于计算任何电场中a、b两点间的电势差
B．a点和b点距离越大，则这两点的电势差越大
C．公式中的d是指a点和b点之间的距离
D．公式中的 d是a、b两点所在的两个等势面间的垂直距离
答案 D
解析 本题考查对电场强度与电势差的关系式U＝Ed的理解．该式成立的前提条件是匀强电场，所以A项错；在匀强电场中，沿电场线方向，两点间距离越大，则两点间的电势差越大，B项错；该式中，d是指两点距离在电场线方向上的投影或两点所在的等势面间的距离，所以C项错，D项正确．
一、带电粒子在电场中的运动轨迹问题
电场线是为研究电场而假想的理想模型，带电粒子在电场中的运动轨迹是带电粒子在电场力作用下的实际路线，电场力在电场线的切线方向上，电场线与等势面垂直，且电场线由高电势指向低电势．粒子在电场中的运动轨迹由力和初速度的方向决定，既可以与电场线重合也可以与等势面重合，一定要分清它们的区别与联系．
方法总结 ①粒子的运动轨迹曲线必弯向合外力一侧，力的方向、弯曲方向、速率方向一一对应．
②电场线和等势面都是假想的曲线，在电场中两者相互垂直，且电场线由高电势指向低电势．
③根据电场线的方向以及疏密情况，确定场强及带电性质，定性判断电场力(或加速度)的大小和方向．再根据电场力方向与速度方向的关系来判断速度的变化情况和运动情况．
④利用电场力做功情况来判断电势能的变化情况，可以通过能量转化和守恒确定电势能及动能的变化情况．
例1 如图2所示，平行线代表电场线，但未标明方向，一个带正电、电荷量为10－6 C的粒子在电场中仅受电场力作用，当它从A点运动到B点时动能减少了10－5 J．已知A点的电势为－10 V，则以下判断正确的是( )
图2
A．粒子的运动轨迹如图虚线1所示
B．粒子的运动轨迹如图虚线2所示
C．B点电势为零
D．B点电势为－20 V
解析 粒子只受到电场力，当它从A点运动到B点时动能减少了，说明它从A点运动到B点电场力做了负功，所以偏转的情况应该如轨迹1所示，因而选项A正确、B错误；根据电场力做功W＝qU，WAB＝－10－5 J，电势差UAB＝WABq＝－10 V＝φA－φB，得φB＝0，故C正确、D错误．
答案 AC
变式训练1 某静电场中的电场线如图3所示，带电粒子在电场中仅受电场力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M运动到N，以下说法正确的是( )
图3
A．粒子必定带负电荷
B．粒子在M点的加速度大于它在N点的加速度
C．粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度
D．粒子在M点的动能小于它在N点的动能
答案 CD
解析 分析带电粒子在电场中的运动轨迹问题时注意：做曲线运动的粒子所受合外力指向曲线凹侧，另外粒子的速度方向沿轨迹的切线方向，再结合电场线、电场力的知识来分析问题．
二、匀强电场中电场线与等势面的问题
在匀强电场中U＝E?d，d是沿电场线方向上的距离．电场中等势面与电场线垂直，沿电场线方向上等距离的点之间电势差相等．在与电场线有夹角θ(0＜θ＜90°)的直线上，等间距点电势差同样相等．
方法总结 对有关电场 线与等势面的问题，要注意应用电场线与等势面垂直等结论．通过等势面可以确定电场线的方向．在匀强电场中，同一直 线上等距离的点之间对应的电势差相等，这也是寻找等势面的突破口．
例2 如图4所示，虚线方框内为一匀强电场区域，电场线与纸面平行，A、B、C为电场中的三个点，三点电势分别为φA＝12 V，φB＝6 V，φC＝－6 V．试在方框内作出该电场的示意图(即画出几条电场线)，要保留作图时所用的辅助线．
图4
解析 作图方法：①将A、C连接，并将其三等分，靠近A点的等分点D 与B点等电势，φD＝φB＝6 V．② 用虚线连接B、D，BD为该电场中的等势面(如下图所示)．③作一簇垂直于BD、间距相等的平行线，使其方向斜向下，这些平行线即可表示所要作的匀强电场．
答案 见解析
变式训练2 a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点．电场线与矩形所在平面平行．已知a点的电势为20 V，b点的电势为24 V，d点的电势为4 V，如图5所示，由此可知c点的电势为( )
图5
A．4 V B．8 V C．12 V D．24 V
答案 B
解析 解法一：沿匀强电场中的电场线，电势应均匀变化，如右图，连接bd两点，并将连线五等分，则每一
等分的两端点间电势差为4 V，则各点电势如图所示，连接a点与bd上20 V的点，连线为一条等势线，根据匀强电场的等势线相互平行的规律，过c点作等势线的平行线，线上所有点的电势应与c点电势相等，用几何关系证明得：该线过电势为8 V的点，故c点电势为8 V.
解法二：由 公式U＝E?d可知，在匀强电场中相互平行的两线段端点所对应的电势差之比恰好等于两线段长度之比．则由图知ab∥dc，必有Uab/Udc＝ab/dc＝1/1，故(20－24) V＝(4－φc)V，则φc＝8 V.
三、电场中涉及能量(动能)问题的应用
处理电场中涉及能量的动力学问题一般用动能定理、功能关系求解．在求解电场力的功时，方法很多，一般采 取WAB＝qUAB，而且WAB＝－ΔEAB.
方法总结 动能定理适用于各种运动、各种场合，与做功和能量相关的问题可先考虑使用动能定理解决问题．
例3 如图6所示，光滑绝缘杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速下滑，已知q?Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为3gh.求：
图6
(1)小球由A点到B点的过程中电场力做的功；
(2)A、C两点的电势差．
解析 因为Q是点电荷，所以以Q为圆 心的圆面是一个等势面，这是一个重要的隐含条件．由A到B过程中电场力是变力，所以不能直接用W＝Fl来求解，只能考虑应用功能关系．
(1)因为杆是光滑的，所以小球从A到B过程中只有两个力做功：电场力做的功WAB和重力做的功mgh.由动能定理得WAB＋mgh＝12mv2B，代入已知条件vB＝3gh得电场力做功
WAB＝12m?3gh－mgh＝12mgh.
(2)因为B、C在同一个等势面上，所以φB＝φC，即UAB＝UAC.由W＝qU，得UAB＝UAC＝WAB－q＝－mgh2q.故A、C两点电势差为－mgh2q.
答案 (1)12mgh (2)－mgh2q
变式训练3 静电场中，带电粒子在电场力作用下从电势为φa的 a点运动至电势为φb的b点，若 带电粒子在a、b两点的速率分别为va、vb，不计重力，则带电粒子的比荷qm为( )
A.v2a－v2bφb－φa B.v2b－v2aφb－φa
C.v2a－v2b2?φb－φa? D.v2b－v2a2?φb－φa?[
答案 C
解析 带电粒子在电场中运动，因不知是否为匀强电场，所以动能定理比较好用．
根据动能定理：Wab＝ΔEk列式得：q(φa－φb)＝12mv2b－12mv2a
整理得：qm＝v2b－v2a2?φa－φb?.
【即学即练】
1．一带电粒子从电场中的A点运动到B点，轨迹如图7中虚线所示，不计粒子所受重力，则( )
图7
A．粒子带正电荷
B．粒子的加速度逐渐减小
C．A点的速度大于B点的速度
D．粒子的初速度为零
答案 BC
解析 带电粒子所受合外力(即静电力)指向轨迹凹侧，知静电力方向向左，粒子带负电荷．根据电场强度EA＞EB，知B项正确；粒子从A运动到B受到的静电力为阻力，C项正确；若粒子的初速度为零，它会在电场力作用下向左运动，与题中所给条件不符，故D项错误．
2．如图8所示，带正电的点电荷固定于点Q，电子在库仑力作用下，做以Q为焦点的椭圆运动，M、P、N为 椭圆上的三点，P点是轨道上离Q最近的点，电子在从M经P到达N点的过程中( )
图8
A．速率先增大后减小 B．速率先减小后增大
C．电势能先减小后增大 D．电势能先增大后减小
答案 ACP→P→N的过程中，电势先升高后降低，电子在P点的电势能最小，故电势能先减小后增大，因动能和电势能互相转化，故动能先增大后减小，速率也就先增大后减小，A、C正确．对电场力做功判断不准是本题易错的原因．
3．图9中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点，若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图能判断( )
图9
A．带电粒子所带电荷的符号
B．带电粒子在a、b两点的受力方向
C．带电粒子在a、b两点的速度何处 较大
D．带电粒子在a、b两点的电势何处较大
答案 BC
解析 尽管本题不涉及计算，但对我们的分析能力要求较高．由于本题中的带电粒子没有告诉是正还是负，似乎给分析带来一定的难度，但从带电粒子运动的轨迹知必与源电荷为异种电荷，即知B正确，这也是解决本题的突破口；然后无论带电粒子从a运动到b，还是从b运动到a，均可判断出C正确．
4．一个带正电的质点，电荷量q＝2.0×10－9 C，在静电场中由a点移到b点，在此过程中，除电场力外，其他力做的功为6.0×10－5 J，质点的动能增加了8.0×10－5 J，则a、b两点间电势差Uab为( )
A．3.0×104 V B．1.0×104 V
C．4.0×104 V D．7.0×104 V
答案 B
解析 根据动能定理W总＝ΔEk， 得W电＋W外＝ΔEk，W电＝ΔEk－W外＝8.0×10－5 J－6.0×10－5 J＝2.0×10－5 J．又电势能的改变量ΔEp在数值上等于电场力做的功，a、b两点间的电势差：φa－φb＝ΔEpq＝2.0×10－52.0×10－9 V＝1.0×104 V.
