1.6 示波器的奥秘 学案2（粤教版选修3-1）
1．对下列物理公式的理解，其中正确的是( )
A．由公式a＝Δvt可知，加速度a由速度的变化量Δv和时间t决定
B．由公式a＝Fm可知，加速度a由物体所受合外力F和物体的质量m决定
C．由公式E＝Fq可知，电场强度E由电荷受到的电场力F和电荷的电荷量q决定[来源:学#科#网Z#X#X#K]
D．由公式C＝QU可知，电容器的电容C由电容器所带电荷量Q和两极板间的电势差U决定
答案 B
解析 A、C、D三项均为比 值法定义，且只是计算式，而不是决定式，故A、C、D错误；只有B正确．
2．某平行板电容器的电容为C，带电荷量为Q，相距为d，今在板间中点放一电荷量为q的点电荷，则它所受到的电场力的大小为( )
A.2kQqd2 B.4kQqd2 C.QqCd D.2QqCd
答案 C
解析 由U＝QC，E＝Ud，F＝Eq得：F＝QqCd.
3. 电子电荷量为e，质量为m，以速度v0沿着电场线射入场强为E的匀强电场中，如图1所示，电子从A点入射到达B点速度为零，则A、B两点的电势差为________；A、B间的距离为________．
图1
答案 mv202e mv202eE
解析 由分析知，电子进入电场，只在电场 力作用下运动，所以电场力对电子做负功．由动能定理得：
0－12mv20＝－Ue，U＝mv202e
又U＝Ed，d＝UE＝mv202eE.
一、带电微粒在重力作用下的运动
带电微粒不同于带电粒子；它的质量较大，重力不能忽略，因此带电微粒在电场中至少受两个力作用．
例1 两平行金属板A、B水平放置，一个质量为m＝5×10－6 kg的带电微粒，以v0＝2 m/s的水平速度从两板正中央位置射入电场，如图2所示，A、B两板间距离为d＝4 cm，板长l＝10 cm.
图2
(1)当A、B间的电压为UAB＝1 000 V时，微粒恰好不偏转，沿图中虚线射出电场，求该粒子的电荷量和电性．
(2)令B板接地，欲使该微粒射出偏转电场，求A板所加电势的范围．
解析 (1)当UAB＝ 1 000 V时，重力跟电场力相等，微粒才沿初速度v0方向做匀速直线运动，故qUABd＝mg，q＝mgdUAB＝2×10－9C；重力方向竖直向下，电场力方向竖直向上，而场强方向竖直向下(UAB＞0)，所以粒子带负电．
(2)当qE＞mg时，带电粒子向上偏，从右上边缘M点飞出，如图所示，设此时φA＝φ1，因为φB＝0，所以UAB＝φ1，电场力和重力都沿竖直方向，粒子在水平方向做匀速直线运动，速度vx＝v0；在竖直方向a＝qφ1md－g，侧位移y＝d2，所以12d＝12at2，t＝lv0，代入a和t解得φ1＝mv20d2＋mgdl2ql2＝2 600 V．当qE＜mg时，带电微粒向下偏转，设φA＝φ2，则竖直方向a′＝g－qφ2md，同理可得φ2＝600 V，故欲使微粒射出偏转电场，A板电势的范围为600 V≤φA≤2 600 V.
答案 (1)2×10－9 C 负电 (2)600 V≤φA≤2 600 V
变式训练1 如图3所示，水平放置的平行板间的匀强电场正中间的P点有一个带电微粒正好处于静止状态，如果将平行带电板改为竖直放置，带电微粒的运动将是( )
图3
A．继续保持静止状态
B．从P点开始做自由落体运动
C．从P点开始做平抛运动
D．从P点开始做初速度为零、加速度为2g的匀加速直线运动
答案 D
解析 对微粒进行受力分析可知：mg＝Eq
若将平行板改为竖直，则微粒受力F＝?mg?2＋?Eq?2＝2mg
所以微粒将做初速度为零的匀加速直线运动，a＝2g.
方法总结 有关带电粒子的重力是否忽略问题
若所讨论的问题，带电粒子受到的重力远远小于电场力，即mg?qE，则可忽略重力的影响．譬如：一电子在电场强度为4.0×103 V/m的电场中，它所受到的电场力的大小为F＝eE＝6.4×10－16 N，它所受到的重力G＝mg≈8.9×10－30 N ，GF≈1.4×10－14.可见，重力在此问题中的影响微不足道，完全可以略去不计．此时若考虑了重力，反而会给问题的解决带来不必要的麻烦．要指出的是，忽略粒子的重力并不是忽略粒子的质量．反之，若带电粒子所受的重力跟电场力可以比拟，譬如：在密立根油滴实验中，带电油滴在电场中受力平衡，显然这时就必须考虑重力了．若再忽略重力，油滴平衡的依据就不存在了．总之，是否考虑带电粒子的重力要根据具体情况而定，一般说来：(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等除有说明或有明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不忽略质量)．(2)带电粒子：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力．
二、带电粒子在偏转过程中的能量变化
粒子动能的变化由动能定理求解．关键是正确的求出各力做功的代 数和；粒子电势能的变化等于电场力做的功，关键点是把电场力做的功找准求对．
例2 一个初动能为Ek的带电粒子以速度v垂直电场线方向飞入两块平行金属板间，飞出时动能为3Ek.如果这个带电粒子的初速度增加到原来的2倍，不计重力，那么该粒子飞出时动能为( )
A．4Ek B ．4.5Ek C．6Ek D．9.5Ek
解析 带电粒子做类平抛运动，平行于极板方 向的速度大小不变，带电粒子通过电场的时间变为原来的12，沿电场方向的位移变为原来的14，电场力做功变为原来的14.
由动能定理得ΔEk′＝qE?y′＝14yqE ①
原速飞过时由动能定理有ΔEk＝3Ek－Ek＝qEy ②
而ΔEk′＝Ek末′－4Ek ③
解得Ek末′＝4.5 Ek
答案 B
变式训练2 如图4所示，O1O2为带电平行板电容器的中轴线，三个相同的带电粒子沿轴线射入两板间．粒子1打到B板的中点，粒子2刚好打在B板边缘，粒子3从两板间飞出，设三个粒子只受电场力作用，则( )
图4
A．三个粒子在电场中运动时间关系为t1＜t2＝t3
B．三个粒子在电场中运动时间关系为t1＝t2＞t3
C．三个粒子在电场中运动的初速度关系为v1＝v2＝v3
D．三个粒子在飞行过程中动能的变化量关系为ΔE1＝ΔE2＝ΔE3
答案 B
解析 粒子在电场中做类平抛运动，竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度为a，由y＝12at2可判断出t1＝t2＞t3，故A错误，B正确；水平方向做匀速直线运动，结合x＝vt可判断出v1＜v2＜v3，所以C错误；由动能定理知qEy＝ΔEk，故ΔE1＝ΔE2＞ΔE3，故D错误．
方法总结 电场力做的功等于qE?y，y是粒子在竖直方向的偏转量，y不一定等于d2(d为两板间距)．
三、等效法在电场中的应用
等效方法的实质是在力的作用效果相同的前提下相互替代，其优点是将非理想模型转化为理想模型，使复杂问题变得简单．
带电体在匀强电场中受恒定电场力和重力，可根据力的独立作用原理分别研究每一种力对物体的作用效果；也可以求出电场力和重力的合力，即“等效重力”，再与重力场中的力学问题进行类比解答．
例3 半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为m、带正电的珠子，空间存在水平向右的匀强电场，如图5所示，珠子所受静电力是其重力的34，将珠子从环上最低位置A点由静止释放，则：
图5
(1)珠子所能获得的最大动能是多大？
(2)珠子对环的最大压力是多大？
解析 (1)因为qE＝34mg，所以qE 、mg的合力F合与竖直方向的夹角θ的正切值tan θ＝qEmg＝34，即θ ＝37°，则珠子由A点静止释放后从A到B过程中做加速运动，如下图所示，B点动能最大，由动能定理得：qEr sin θ－mgr(1－cos θ)＝Ek，解得B点动能即最大动能Ek＝14mgr.
(2)设珠子在B点受圆环弹力为FN，有FN－F合＝mv2r，即FN＝F合＋mv2r＝?mg?2＋?qE?2＋12mg＝54mg＋12mg＝74mg.
由牛顿第三定律得，珠子对圆环的最大压力也为74mg.
答案 (1)14mgr (2)74mg
变式训练3 在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时细线与竖直方向夹角为θ，如图6所示，现给小球一个初速度v0，使小球能在竖直平面内做圆周运动．试问：小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值为多大？
图6
答案 A点速度最小 v20－4glcos θ.
解析 重力跟电场力的合力为：mgcos θ，从 B到A的过程由动能定理得：－mgcos θ×2l＝12mv2A－12mv20
解得：vA＝ v20－4glcos θ.
方法总结 因为小球在B点时静止，所以小 球在B点受力平衡，对小球进行受力分析，小球受重力mg、拉力FT和电场力F作用．当小球向上转时，拉力不做功，只有重力和电场力做功，并且重力和电场力始终不变，所以我们可以将小球所受的重力和电场力看做一个力，即这两个力的合力．这样就可以把这个问题转换成一个我们所熟悉的圆周运动来处理了，这个合力就相当于只有重力在小球上做功时的“重力”了，那么平衡点B就相当于小球运动的最低点，A点就相当于小球运动的最高点，此即为小球速度最小的位置．
【即学即练】
1．如图7所示，有一质量为m、带电荷量为q的油滴，被置于竖直放置的两平行金属板间的匀强电场中，设油滴是从两板中间位置，并以初速度为零进入电场的，可以判定( )
图7
A．油滴在电场中做抛物线运动
B．油滴在电场中做匀加速直线运动
C．油滴打在极板上的运动时间只决定于电场强度和两板间距离
D．油滴打在极板上的运动时间不仅决定于电场强度和两板间距离，还决定于油滴的比荷
答案 BD
解析 油滴受重力和电场力作用，且两个力大小方向均恒定，即油滴受到恒定的合外力作用，且初速度为0，所以粒子沿合力方向做匀加速直线运动，B项正确；粒 子打到极板上的时间由水平方向位移d2＝12at2决定，t＝ dmqE，故D选项正确．
2．一平行板电容器中存在匀强电场，电场沿竖直方向．两个比荷不同的带正电的粒子a和b从电容器中的P点(如图8所示)以相同的水平速度射入两平行板之间，测得a和b与电容器极板的撞击点到入射点之间的水平距离之比为1∶2.若不计重力，则a和b的比荷之比是( )
图8
A．1∶2 B．1∶8 C．2∶ 1 D．4∶1
答案 D
解析 两带电粒子都做类平抛运动，在水平方向上做匀速运动，有x＝v0t；在竖直方向上做匀加速运动，有y＝12at2＝qE2mt2，整理得qm＝2yv20Ex2，因为场强E相同，初速度v0相同，偏移量y相同，所以比荷与水平位移的平方成反比，故选项D 正确．
3. 如图9示，有三个质量相等，分别带正电、负电和不带电的小球，从平行板电场中的中点P以相同的初速度垂直于电场方向进入电场，它们分别落在A、B、C三点，可以判断( )
图9
A．落在A点的小球带正电，落在B点的小球不带电
B．三个小球在电场中运动的时间相等
C．三个小球到达极板时的动能关系为EkA＞EkB＞EkC
D．三个小球在 电场中运动时的加速度关系为aA＞aB＞aC
答案 A
解析 因三球水平速度相同，但水平位移不同，说明tA＞tB＞tC；由竖直方向y＝12at2，y相同则可得出aA＜aB＜aC，所以A点必为带正电小球，aA＝mg－qEm，落于B点的小球不带电，aB＝mgm＝g，落于C点的小球带负电，aC＝mg＋qEm；由合外力FA＜FB＜FC，竖直位移相同，故WA合＜WB合＜WC合，由动能定理，可得EkC＞EkB＞EkA.
1．对下列物理公式的理解，其中正确的是( )
A．由公式a＝Δvt可知，加速度a由速度的变化量Δv和时间t决定
B．由公式a＝Fm可知，加速度a由物体所受合外力F和物体的质量m决定
C．由公式E＝Fq可知，电场强度E由电荷受到的电场力F和电荷的电荷量q决定[来源:学#科#网Z#X#X#K]
D．由公式C＝QU可知，电容器的电容C由电容器所带电荷量Q和两极板间的电势差U决定
答案 B
解析 A、C、D三项均为比 值法定义，且只是计算式，而不是决定式，故A、C、D错误；只有B正确．
2．某平行板电容器的电容为C，带电荷量为Q，相距为d，今在板间中点放一电荷量为q的点电荷，则它所受到的电场力的大小为( )
A.2kQqd2 B.4kQqd2 C.QqCd D.2QqCd
答案 C
解析 由U＝QC，E＝Ud，F＝Eq得：F＝QqCd.
3. 电子电荷量为e，质量为m，以速度v0沿着电场线射入场强为E的匀强电场中，如图1所示，电子从A点入射到达B点速度为零，则A、B两点的电势差为________；A、B间的距离为________．
图1
答案 mv202e mv202eE
解析 由分析知，电子进入电场，只在电场 力作用下运动，所以电场力对电子做负功．由动能定理得：
0－12mv20＝－Ue，U＝mv202e
又U＝Ed，d＝UE＝mv202eE.
一、带电微粒在重力作用下的运动
带电微粒不同于带电粒子；它的质量较大，重力不能忽略，因此带电微粒在电场中至少受两个力作用．
例1 两平行金属板A、B水平放置，一个质量为m＝5×10－6 kg的带电微粒，以v0＝2 m/s的水平速度从两板正中央位置射入电场，如图2所示，A、B两板间距离为d＝4 cm，板长l＝10 cm.
图2
(1)当A、B间的电压为UAB＝1 000 V时，微粒恰好不偏转，沿图中虚线射出电场，求该粒子的电荷量和电性．
(2)令B板接地，欲使该微粒射出偏转电场，求A板所加电势的范围．
解析 (1)当UAB＝ 1 000 V时，重力跟电场力相等，微粒才沿初速度v0方向做匀速直线运动，故qUABd＝mg，q＝mgdUAB＝2×10－9C；重力方向竖直向下，电场力方向竖直向上，而场强方向竖直向下(UAB＞0)，所以粒子带负电．
(2)当qE＞mg时，带电粒子向上偏，从右上边缘M点飞出，如图所示，设此时φA＝φ1，因为φB＝0，所以UAB＝φ1，电场力和重力都沿竖直方向，粒子在水平方向做匀速直线运动，速度vx＝v0；在竖直方向a＝qφ1md－g，侧位移y＝d2，所以12d＝12at2，t＝lv0，代入a和t解得φ1＝mv20d2＋mgdl2ql2＝2 600 V．当qE＜mg时，带电微粒向下偏转，设φA＝φ2，则竖直方向a′＝g－qφ2md，同理可得φ2＝600 V，故欲使微粒射出偏转电场，A板电势的范围为600 V≤φA≤2 600 V.
答案 (1)2×10－9 C 负电 (2)600 V≤φA≤2 600 V
变式训练1 如图3所示，水平放置的平行板间的匀强电场正中间的P点有一个带电微粒正好处于静止状态，如果将平行带电板改为竖直放置，带电微粒的运动将是( )
图3
A．继续保持静止状态
B．从P点开始做自由落体运动
C．从P点开始做平抛运动
D．从P点开始做初速度为零、加速度为2g的匀加速直线运动
答案 D
解析 对微粒进行受力分析可知：mg＝Eq
若将平行板改为竖直，则微粒受力F＝?mg?2＋?Eq?2＝2mg
所以微粒将做初速度为零的匀加速直线运动，a＝2g.
方法总结 有关带电粒子的重力是否忽略问题
若所讨论的问题，带电粒子受到的重力远远小于电场力，即mg?qE，则可忽略重力的影响．譬如：一电子在电场强度为4.0×103 V/m的电场中，它所受到的电场力的大小为F＝eE＝6.4×10－16 N，它所受到的重力G＝mg≈8.9×10－30 N ，GF≈1.4×10－14.可见，重力在此问题中的影响微不足道，完全可以略去不计．此时若考虑了重力，反而会给问题的解决带来不必要的麻烦．要指出的是，忽略粒子的重力并不是忽略粒子的质量．反之，若带电粒子所受的重力跟电场力可以比拟，譬如：在密立根油滴实验中，带电油滴在电场中受力平衡，显然这时就必须考虑重力了．若再忽略重力，油滴平衡的依据就不存在了．总之，是否考虑带电粒子的重力要根据具体情况而定，一般说来：(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等除有说明或有明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不忽略质量)．(2)带电粒子：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力．
二、带电粒子在偏转过程中的能量变化
粒子动能的变化由动能定理求解．关键是正确的求出各力做功的代 数和；粒子电势能的变化等于电场力做的功，关键点是把电场力做的功找准求对．
例2 一个初动能为Ek的带电粒子以速度v垂直电场线方向飞入两块平行金属板间，飞出时动能为3Ek.如果这个带电粒子的初速度增加到原来的2倍，不计重力，那么该粒子飞出时动能为( )
A．4Ek B ．4.5Ek C．6Ek D．9.5Ek
解析 带电粒子做类平抛运动，平行于极板方 向的速度大小不变，带电粒子通过电场的时间变为原来的12，沿电场方向的位移变为原来的14，电场力做功变为原来的14.
由动能定理得ΔEk′＝qE?y′＝14yqE ①
原速飞过时由动能定理有ΔEk＝3Ek－Ek＝qEy ②
而ΔEk′＝Ek末′－4Ek ③
解得Ek末′＝4.5 Ek
答案 B
变式训练2 如图4所示，O1O2为带电平行板电容器的中轴线，三个相同的带电粒子沿轴线射入两板间．粒子1打到B板的中点，粒子2刚好打在B板边缘，粒子3从两板间飞出，设三个粒子只受电场力作用，则( )
图4
A．三个粒子在电场中运动时间关系为t1＜t2＝t3
B．三个粒子在电场中运动时间关系为t1＝t2＞t3
C．三个粒子在电场中运动的初速度关系为v1＝v2＝v3
D．三个粒子在飞行过程中动能的变化量关系为ΔE1＝ΔE2＝ΔE3
答案 B
解析 粒子在电场中做类平抛运动，竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度为a，由y＝12at2可判断出t1＝t2＞t3，故A错误，B正确；水平方向做匀速直线运动，结合x＝vt可判断出v1＜v2＜v3，所以C错误；由动能定理知qEy＝ΔEk，故ΔE1＝ΔE2＞ΔE3，故D错误．
方法总结 电场力做的功等于qE?y，y是粒子在竖直方向的偏转量，y不一定等于d2(d为两板间距)．
三、等效法在电场中的应用
等效方法的实质是在力的作用效果相同的前提下相互替代，其优点是将非理想模型转化为理想模型，使复杂问题变得简单．
带电体在匀强电场中受恒定电场力和重力，可根据力的独立作用原理分别研究每一种力对物体的作用效果；也可以求出电场力和重力的合力，即“等效重力”，再与重力场中的力学问题进行类比解答．
例3 半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为m、带正电的珠子，空间存在水平向右的匀强电场，如图5所示，珠子所受静电力是其重力的34，将珠子从环上最低位置A点由静止释放，则：
图5
(1)珠子所能获得的最大动能是多大？
(2)珠子对环的最大压力是多大？
解析 (1)因为qE＝34mg，所以qE 、mg的合力F合与竖直方向的夹角θ的正切值tan θ＝qEmg＝34，即θ ＝37°，则珠子由A点静止释放后从A到B过程中做加速运动，如下图所示，B点动能最大，由动能定理得：qEr sin θ－mgr(1－cos θ)＝Ek，解得B点动能即最大动能Ek＝14mgr.
(2)设珠子在B点受圆环弹力为FN，有FN－F合＝mv2r，即FN＝F合＋mv2r＝?mg?2＋?qE?2＋12mg＝54mg＋12mg＝74mg.
由牛顿第三定律得，珠子对圆环的最大压力也为74mg.
答案 (1)14mgr (2)74mg
变式训练3 在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时细线与竖直方向夹角为θ，如图6所示，现给小球一个初速度v0，使小球能在竖直平面内做圆周运动．试问：小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值为多大？
图6
答案 A点速度最小 v20－4glcos θ.
解析 重力跟电场力的合力为：mgcos θ，从 B到A的过程由动能定理得：－mgcos θ×2l＝12mv2A－12mv20
解得：vA＝ v20－4glcos θ.
方法总结 因为小球在B点时静止，所以小 球在B点受力平衡，对小球进行受力分析，小球受重力mg、拉力FT和电场力F作用．当小球向上转时，拉力不做功，只有重力和电场力做功，并且重力和电场力始终不变，所以我们可以将小球所受的重力和电场力看做一个力，即这两个力的合力．这样就可以把这个问题转换成一个我们所熟悉的圆周运动来处理了，这个合力就相当于只有重力在小球上做功时的“重力”了，那么平衡点B就相当于小球运动的最低点，A点就相当于小球运动的最高点，此即为小球速度最小的位置．
【即学即练】
1．如图7所示，有一质量为m、带电荷量为q的油滴，被置于竖直放置的两平行金属板间的匀强电场中，设油滴是从两板中间位置，并以初速度为零进入电场的，可以判定( )
图7
A．油滴在电场中做抛物线运动
B．油滴在电场中做匀加速直线运动
C．油滴打在极板上的运动时间只决定于电场强度和两板间距离
D．油滴打在极板上的运动时间不仅决定于电场强度和两板间距离，还决定于油滴的比荷
答案 BD
解析 油滴受重力和电场力作用，且两个力大小方向均恒定，即油滴受到恒定的合外力作用，且初速度为0，所以粒子沿合力方向做匀加速直线运动，B项正确；粒 子打到极板上的时间由水平方向位移d2＝12at2决定，t＝ dmqE，故D选项正确．
2．一平行板电容器中存在匀强电场，电场沿竖直方向．两个比荷不同的带正电的粒子a和b从电容器中的P点(如图8所示)以相同的水平速度射入两平行板之间，测得a和b与电容器极板的撞击点到入射点之间的水平距离之比为1∶2.若不计重力，则a和b的比荷之比是( )
图8
A．1∶2 B．1∶8 C．2∶ 1 D．4∶1
答案 D
解析 两带电粒子都做类平抛运动，在水平方向上做匀速运动，有x＝v0t；在竖直方向上做匀加速运动，有y＝12at2＝qE2mt2，整理得qm＝2yv20Ex2，因为场强E相同，初速度v0相同，偏移量y相同，所以比荷与水平位移的平方成反比，故选项D 正确．
3. 如图9示，有三个质量相等，分别带正电、负电和不带电的小球，从平行板电场中的中点P以相同的初速度垂直于电场方向进入电场，它们分别落在A、B、C三点，可以判断( )
图9
A．落在A点的小球带正电，落在B点的小球不带电
B．三个小球在电场中运动的时间相等
C．三个小球到达极板时的动能关系为EkA＞EkB＞EkC
D．三个小球在 电场中运动时的加速度关系为aA＞aB＞aC
答案 A
解析 因三球水平速度相同，但水平位移不同，说明tA＞tB＞tC；由竖直方向y＝12at2，y相同则可得出aA＜aB＜aC，所以A点必为带正电小球，aA＝mg－qEm，落于B点的小球不带电，aB＝mgm＝g，落于C点的小球带负电，aC＝mg＋qEm；由合外力FA＜FB＜FC，竖直位移相同，故WA合＜WB合＜WC合，由动能定理，可得EkC＞EkB＞EkA.
