题型八 离散型随机变量的概率分布，均值与方差
(推荐时间：30分钟)
1．(2011?盐城模拟)已知某投资项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是x (0ξ0123
η210－1
(1)求η的概率分布；
(2)若η的数学期望超过1万元时，才可以投资，则x在什么范围内就可以投资？
2．某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样的方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；
(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
(3)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的概率分布及数学期望．
答 案
1．解 (1)η的值为2,1,0，－1.
P(η＝2)＝C03x0(1－x)3＝(1－x)3，
P(η＝1)＝C13x(1－x)2＝3x(1－x)2.
P(η＝0)＝C23x2(1－x)＝3x2(1－x)，
P(η＝－1)＝C33x3＝x3.
∴η的概率分布为：
η210－1
P(1－x)33x(1－x)23x2(1－x)x3
(2)E(η)＝2(1－x)3＋3x(1－x)2－x3＝2－3x.
令2－3x>1，得x<13，
所以当02．解 (1)由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理，若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，则从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人．
(2)记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，
则P(A)＝C14C16C210＝815.
(3)ξ的可能取值为0,1,2,3.
Ai表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i＝0,1,2.
B表示事件：从乙组抽取的是1名男工人．
Ai(i＝0,1,2)与B独立，
P(ξ＝0)＝P(A0B)＝P(A0)?P(B)＝C24C210?C13C15＝675，
P(ξ＝1)＝P(A0?B＋A1?B)
＝P(A0)?P(B)＋P(A1)?P(B)
＝C24C210?C12C15＋C16C14C210?C13C15＝2875，
P(ξ＝3)＝P(A2?B)＝P(A2)?P(B)＝C26C210?C12C15＝1075，
P(ξ＝2)＝1－[P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)]＝3175.
故ξ的概率分布为
ξ0123
P675
2875
3175
1075
(推荐时间：30分钟)
1．(2011?盐城模拟)已知某投资项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是x (0
η210－1
(1)求η的概率分布；
(2)若η的数学期望超过1万元时，才可以投资，则x在什么范围内就可以投资？
2．某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样的方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；
(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
(3)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的概率分布及数学期望．
答 案
1．解 (1)η的值为2,1,0，－1.
P(η＝2)＝C03x0(1－x)3＝(1－x)3，
P(η＝1)＝C13x(1－x)2＝3x(1－x)2.
P(η＝0)＝C23x2(1－x)＝3x2(1－x)，
P(η＝－1)＝C33x3＝x3.
∴η的概率分布为：
η210－1
P(1－x)33x(1－x)23x2(1－x)x3
(2)E(η)＝2(1－x)3＋3x(1－x)2－x3＝2－3x.
令2－3x>1，得x<13，
所以当0
(2)记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，
则P(A)＝C14C16C210＝815.
(3)ξ的可能取值为0,1,2,3.
Ai表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i＝0,1,2.
B表示事件：从乙组抽取的是1名男工人．
Ai(i＝0,1,2)与B独立，
P(ξ＝0)＝P(A0B)＝P(A0)?P(B)＝C24C210?C13C15＝675，
P(ξ＝1)＝P(A0?B＋A1?B)
＝P(A0)?P(B)＋P(A1)?P(B)
＝C24C210?C12C15＋C16C14C210?C13C15＝2875，
P(ξ＝3)＝P(A2?B)＝P(A2)?P(B)＝C26C210?C12C15＝1075，
P(ξ＝2)＝1－[P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)]＝3175.
故ξ的概率分布为
ξ0123
P675
2875
3175
1075
