1.2.2 函数的表示方法
第二课时 分段函数
一 、预习目标
通过预习理解分段函数并能解决一些简单问题
二、预习内容
在同一直角坐标系中：做出函数 的图象和函数 的图象。
思考：问题1、所作出R上的图形是否可以作为某个函数的图象？
问题2、是什么样的函数的图象？和以前见到的图像有何异同？
问题3、如何表示这样的函数？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
一 、学习目标
1．根据要求求函数的解析式
2．了解分段函数及其简单应用
3．理解分段函数是一个函数，而不是几个函数
学习重难点:函数解析式的求法
二 、 学习过程
1、分段函数
由实际生活中，上海至港、澳、台地区信函部分资费表
重量级别资费（元）
20克及20克以内1.50
20克以上至100克4.00
100克以上至250克8.50
250克以上至500克16.70
引出问题：若设信函的重量 （克）应支付的资费为 元，能否建立函数 的解析式？导出分段函数的概念。
通过分析课本第46页的例4、例5进一步巩固分段函数概念，明确建立分段函数解析式的一般步骤，学会分段函数图象的作法
可选例：1、动点P从单位正方形ABCD顶点A开始运动，沿正方形ABCD的运动路程为自变量 ，写出P点与A点距离 与 的函数关系式。
2、在矩形ABCD中，AB＝4m，BC＝6m，动点P以每秒1m的速度，从A点出发，沿着矩形的边按A→D→C→B的顺序运动到B，设点P从点A处出发经过 秒后，所构成的△ABP 面积为 m2，求函数 的解析式。
3、以小组为单位构造一个分段函数，并画出该函数的图象。
2、典题
例1 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0
变式练习1 作函数y=x-2(x＋1)的图像
例2画出函数y=x= 的图象.
变式练习2 作出分段函数 的图像
变式练习3． 作出函数 的函数图像
三 、 当堂检测
教材第47页 练习A、B
课后练习与提高
1.定义运算 设F(x)＝f(x) g(x),若f(x)＝sinx,g(x)＝cosx,x∈R,则F(x)的值域为( )
A.［-1,1］ B. C. D.
2.已知 则 的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.设函数 若f(1)+f(a)＝2,则a的所有可能的值是__________.
4.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t＝0时,点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d＝________,其中t∈［0,60］.
5.对定义域分别是Df、Dg的函数y＝f(x)、y＝g(x),规定:函数h(x)＝
.
(1)若函数 ,g(x)＝x2,写出函数h(x)的解析式;
(2)求(1)中函数h(x)的值域;
(3)若g(x)＝f(x+α),其中α是常数,且α∈［0,π］,请设计一个定义域为R的函数y＝f(x)及一个α的值,使得h(x)＝cos4x,并予以证明.
解答
1 解析:由已知得
即F(x)＝
F(x)＝sinx,
当 ,k Z时,F(x)∈［-1, ］;
F(x)＝cosx,当 ,k∈Z时,F(x)∈(-1, ),故选C.
答案:C
3 解析:由已知可得,①当a≥0时,有e0+ea-1＝1+ea-1＝2,∴ea-1＝1.∴a-1＝0.∴a＝1.②当-1＜a＜0时,有1+sin(a2π)＝2,∴sin(a2π)＝1.
∴ .
又-1＜a＜0,∴0＜a2＜1,
∴当k＝0时,有 ,∴ .
综上可知,a＝1或 .
答案:1或
4 解析:由题意,得当时间经过t(s)时,秒针转过的角度的绝对值是 弧度,因此当t∈(0,30)时, ,由余弦定理,得
,
;当t∈(30,60)时,在△AOB中, ,由余弦定理,得 , ,且当t＝0或30或60时,相应的d(cm)与t(s)间的关系仍满足 .
综上所述, ,其中t∈［0,60］.
答案:
5 解:(1)
(2)当x≠1时, ,
若x＞1,则h(x)≥4,当x＝2时等号成立;
若x＜1,则h(x)≤0,当x＝0时等号成立.
∴函数h(x)的值域是(-∞,0］∪{1}∪［4,+∞).
(3)解法一:令f(x)＝sin2x+cos2x, ,
则 ＝cos2x-sin2x,
于是h(x)＝f(x)?f(x+α)
＝(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)＝cos4x.
解法二:令 , ,
则 ,
于是h(x)＝f(x)?f(x+α)＝( )( )
第二课时 分段函数
一 、预习目标
通过预习理解分段函数并能解决一些简单问题
二、预习内容
在同一直角坐标系中：做出函数 的图象和函数 的图象。
思考：问题1、所作出R上的图形是否可以作为某个函数的图象？
问题2、是什么样的函数的图象？和以前见到的图像有何异同？
问题3、如何表示这样的函数？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
一 、学习目标
1．根据要求求函数的解析式
2．了解分段函数及其简单应用
3．理解分段函数是一个函数，而不是几个函数
学习重难点:函数解析式的求法
二 、 学习过程
1、分段函数
由实际生活中，上海至港、澳、台地区信函部分资费表
重量级别资费（元）
20克及20克以内1.50
20克以上至100克4.00
100克以上至250克8.50
250克以上至500克16.70
引出问题：若设信函的重量 （克）应支付的资费为 元，能否建立函数 的解析式？导出分段函数的概念。
通过分析课本第46页的例4、例5进一步巩固分段函数概念，明确建立分段函数解析式的一般步骤，学会分段函数图象的作法
可选例：1、动点P从单位正方形ABCD顶点A开始运动，沿正方形ABCD的运动路程为自变量 ，写出P点与A点距离 与 的函数关系式。
2、在矩形ABCD中，AB＝4m，BC＝6m，动点P以每秒1m的速度，从A点出发，沿着矩形的边按A→D→C→B的顺序运动到B，设点P从点A处出发经过 秒后，所构成的△ABP 面积为 m2，求函数 的解析式。
3、以小组为单位构造一个分段函数，并画出该函数的图象。
2、典题
例1 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0
变式练习1 作函数y=x-2(x＋1)的图像
例2画出函数y=x= 的图象.
变式练习2 作出分段函数 的图像
变式练习3． 作出函数 的函数图像
三 、 当堂检测
教材第47页 练习A、B
课后练习与提高
1.定义运算 设F(x)＝f(x) g(x),若f(x)＝sinx,g(x)＝cosx,x∈R,则F(x)的值域为( )
A.［-1,1］ B. C. D.
2.已知 则 的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.设函数 若f(1)+f(a)＝2,则a的所有可能的值是__________.
4.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t＝0时,点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d＝________,其中t∈［0,60］.
5.对定义域分别是Df、Dg的函数y＝f(x)、y＝g(x),规定:函数h(x)＝
.
(1)若函数 ,g(x)＝x2,写出函数h(x)的解析式;
(2)求(1)中函数h(x)的值域;
(3)若g(x)＝f(x+α),其中α是常数,且α∈［0,π］,请设计一个定义域为R的函数y＝f(x)及一个α的值,使得h(x)＝cos4x,并予以证明.
解答
1 解析:由已知得
即F(x)＝
F(x)＝sinx,
当 ,k Z时,F(x)∈［-1, ］;
F(x)＝cosx,当 ,k∈Z时,F(x)∈(-1, ),故选C.
答案:C
3 解析:由已知可得,①当a≥0时,有e0+ea-1＝1+ea-1＝2,∴ea-1＝1.∴a-1＝0.∴a＝1.②当-1＜a＜0时,有1+sin(a2π)＝2,∴sin(a2π)＝1.
∴ .
又-1＜a＜0,∴0＜a2＜1,
∴当k＝0时,有 ,∴ .
综上可知,a＝1或 .
答案:1或
4 解析:由题意,得当时间经过t(s)时,秒针转过的角度的绝对值是 弧度,因此当t∈(0,30)时, ,由余弦定理,得
,
;当t∈(30,60)时,在△AOB中, ,由余弦定理,得 , ,且当t＝0或30或60时,相应的d(cm)与t(s)间的关系仍满足 .
综上所述, ,其中t∈［0,60］.
答案:
5 解:(1)
(2)当x≠1时, ,
若x＞1,则h(x)≥4,当x＝2时等号成立;
若x＜1,则h(x)≤0,当x＝0时等号成立.
∴函数h(x)的值域是(-∞,0］∪{1}∪［4,+∞).
(3)解法一:令f(x)＝sin2x+cos2x, ,
则 ＝cos2x-sin2x,
于是h(x)＝f(x)?f(x+α)
＝(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)＝cos4x.
解法二:令 , ,
则 ,
于是h(x)＝f(x)?f(x+α)＝( )( )
