数学必修1：函数模型 及其应用
1．抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；
2．建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数 的解析式；
3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.
这些步骤用框图表示是：
例1.如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（b＜a）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.?
解：设四边形EFGH的面积为S，?
则S△AEH=S△CFG= x2,
S△BEF=S△DGH= （a-x）（b-x），?
∴S=ab-2［ 2+ （a-x）（b-x）］?
=-2x2+（a+b）x=-2（x- 2+ ?
由图形知函数的定义域为{x0＜x≤b}.?
又0＜b＜a,∴0＜b＜ ,若 ≤b,即a≤3b时，?
则当x= 时，S有最大值 ;?
若 ＞b,即a＞3b时，?
S（x）在（0,b］上是增函数，?
此时当x=b时，S有最大值为?
-2(b- )2+ =ab-b2,?
综上可知，当a≤3b时，x= 时，?
四边形面积Smax= ,?
当a＞3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.?
变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使 每天所赚的利润最大？并求出最大值.
解：设每个提价为x元（x≥0），利润为y元，每天销售总额为（10+x）（100-10x）元，
进货总额为8（100-10x）元，?
显然100-10x＞0,即x＜10,?
则y=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360(0≤x＜10).?
当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.?
例2.据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度
v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴
的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）.（1）当t=4时，求s的值；?
（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；?
（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这
场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将
侵袭到N城？如果不会，请说明理由.?
解：（1）由图象可知：
当t=4时，v=3×4=12,?
∴s= ×4×12=24.?
（2）当0≤t≤10时，s= ?t?3t= t2，?
当10＜t≤20时，s= × 10×30+30（t-10）=30t-150；?
当20＜t≤35时，s= ×10×30+10×30+(t-20)×30- ×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550.
综上可知s=
(3)∵t∈［0，10］时，smax= ×102=150＜650.?
t∈（10，20］时，smax=30×20-150=450＜650.?
∴当t∈（20，35］时，令-t2+70t-550=650.?
解得t1=30,t2=40,∵20＜t≤35,?
∴t=30，所以沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.?
变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台 ，
需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函 数为R（x）=5x- （万元）(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量（单位：百台）.
（1）把利润表示为年产量的函数；?[来源:学&科&网Z&X&X&K]
（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？?
（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？?
解：（1）当x≤5时，产品能售出x百台；?
当x＞5时，只能售出5 百台，?
故利润函数为L（x）=R（x）-C（x）?
=
(2)当0≤x≤5时，L（x）=4.75x- -0.5，?
当x=4.75时，L(x)max=10.78125万元.?
当x＞5时，L（x）=12-0.25x为减函数，?
此时L（x）＜10.75(万元）.∴生产475台时利润最大.?
（3）由
得x≥4.75- =0.1(百台）或x＜48(百台).?
∴产品年产量在10台至4800台时，工厂不亏本.?
例3.某市居民自 来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.?
（1）求y关于x的函数；?
（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.?
解：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，
y=（5x+3x）×1.8=14.4x;?
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，?
即3x≤4且5x＞4,?
y=4×1.8+3x×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8.?
当乙的用水量超过4吨时，?
即3x＞4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6，?
所以y=
( 2)由于y=f(x)在各段区间上均为单 调递增，?
当x∈［0， ］时,y≤f（ ）＜26.4;?
当x∈（ ， ］时，y≤f（ ）＜26.4;?
当x∈（ ,+∞）时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,?
所以甲户用水量为5x=7.5吨，?
付费S1=4×1.8+3.5×3=17.70（元);?
乙户用水量为3x=4.5吨，?
付费S2=4×1.8+0.5×3=8.70（元).
变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.?
（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？?
（2）我国人口在1998年底达到12 .48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？?
以下数据供计算时使用：
数N1.0101.0151.0171.3102.000
对数lgN0.00430.00650.00730.11730.3010
数N3.0005.00012.4813.1113.78
对数lgN0.47710.69901.09621.11761.1392
解：（1）设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，?
则y?(1+x)n=60，则当n=40时，y=30，?
即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2，
两边取对数，则40lg(1+x)=lg2，?
则lg（1+x）= =0.007525，?
∴1+x≈1.017，得x=1.7%.
（2）依题意，y≤12.48（1+1%）10?，?
得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.1392,?
∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿.
答每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.
解决函数应用问题应着重注意以下几点：
1．阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据 之间的关系，数据的单位等等；
2．建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；
3．求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.
4．还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.
1．抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；
2．建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数 的解析式；
3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.
这些步骤用框图表示是：
例1.如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（b＜a）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.?
解：设四边形EFGH的面积为S，?
则S△AEH=S△CFG= x2,
S△BEF=S△DGH= （a-x）（b-x），?
∴S=ab-2［ 2+ （a-x）（b-x）］?
=-2x2+（a+b）x=-2（x- 2+ ?
由图形知函数的定义域为{x0＜x≤b}.?
又0＜b＜a,∴0＜b＜ ,若 ≤b,即a≤3b时，?
则当x= 时，S有最大值 ;?
若 ＞b,即a＞3b时，?
S（x）在（0,b］上是增函数，?
此时当x=b时，S有最大值为?
-2(b- )2+ =ab-b2,?
综上可知，当a≤3b时，x= 时，?
四边形面积Smax= ,?
当a＞3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.?
变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使 每天所赚的利润最大？并求出最大值.
解：设每个提价为x元（x≥0），利润为y元，每天销售总额为（10+x）（100-10x）元，
进货总额为8（100-10x）元，?
显然100-10x＞0,即x＜10,?
则y=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360(0≤x＜10).?
当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.?
例2.据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度
v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴
的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）.（1）当t=4时，求s的值；?
（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；?
（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这
场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将
侵袭到N城？如果不会，请说明理由.?
解：（1）由图象可知：
当t=4时，v=3×4=12,?
∴s= ×4×12=24.?
（2）当0≤t≤10时，s= ?t?3t= t2，?
当10＜t≤20时，s= × 10×30+30（t-10）=30t-150；?
当20＜t≤35时，s= ×10×30+10×30+(t-20)×30- ×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550.
综上可知s=
(3)∵t∈［0，10］时，smax= ×102=150＜650.?
t∈（10，20］时，smax=30×20-150=450＜650.?
∴当t∈（20，35］时，令-t2+70t-550=650.?
解得t1=30,t2=40,∵20＜t≤35,?
∴t=30，所以沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.?
变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台 ，
需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函 数为R（x）=5x- （万元）(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量（单位：百台）.
（1）把利润表示为年产量的函数；?[来源:学&科&网Z&X&X&K]
（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？?
（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？?
解：（1）当x≤5时，产品能售出x百台；?
当x＞5时，只能售出5 百台，?
故利润函数为L（x）=R（x）-C（x）?
=
(2)当0≤x≤5时，L（x）=4.75x- -0.5，?
当x=4.75时，L(x)max=10.78125万元.?
当x＞5时，L（x）=12-0.25x为减函数，?
此时L（x）＜10.75(万元）.∴生产475台时利润最大.?
（3）由
得x≥4.75- =0.1(百台）或x＜48(百台).?
∴产品年产量在10台至4800台时，工厂不亏本.?
例3.某市居民自 来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.?
（1）求y关于x的函数；?
（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.?
解：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，
y=（5x+3x）×1.8=14.4x;?
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，?
即3x≤4且5x＞4,?
y=4×1.8+3x×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8.?
当乙的用水量超过4吨时，?
即3x＞4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6，?
所以y=
( 2)由于y=f(x)在各段区间上均为单 调递增，?
当x∈［0， ］时,y≤f（ ）＜26.4;?
当x∈（ ， ］时，y≤f（ ）＜26.4;?
当x∈（ ,+∞）时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,?
所以甲户用水量为5x=7.5吨，?
付费S1=4×1.8+3.5×3=17.70（元);?
乙户用水量为3x=4.5吨，?
付费S2=4×1.8+0.5×3=8.70（元).
变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.?
（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？?
（2）我国人口在1998年底达到12 .48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？?
以下数据供计算时使用：
数N1.0101.0151.0171.3102.000
对数lgN0.00430.00650.00730.11730.3010
数N3.0005.00012.4813.1113.78
对数lgN0.47710.69901.09621.11761.1392
解：（1）设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，?
则y?(1+x)n=60，则当n=40时，y=30，?
即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2，
两边取对数，则40lg(1+x)=lg2，?
则lg（1+x）= =0.007525，?
∴1+x≈1.017，得x=1.7%.
（2）依题意，y≤12.48（1+1%）10?，?
得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.1392,?
∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿.
答每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.
解决函数应用问题应着重注意以下几点：
1．阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据 之间的关系，数据的单位等等；
2．建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；
3．求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.
4．还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.
