第八章 分式
【知识要点】
1.分式：
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有 ，那么代数式 叫做分式.
◆分式的有意义、无意义和值为零：
（1）若分式 有意义，则必须满足条件：
；
（2）若分式 无意义，则必须满足条件：
；
（3）若分式 值为零，则必须满足条件：
.
2.分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值 .
即： ，
（其中M是不等于0的整式）
3.分式的运算：
（1）加减运算：
例如：计算： .
解：原式=
→对各个分母进行因式分解！
=
→找到最简公分母是：
然后通分！
=
→把各个分子进行合并！然后看分子、分母能不能约分！
=
→约分，得到结果！
（2）乘除运算：
例如：计算：
解： 原式=
→对各个分子、分母进行因式分解！
=
→约分，得到结果！
4.分式方程的解法：
◆解方程： .
解：方程两边同时乘以 ,得:
-→方程两边同时乘以最简公分母,目的是约去分母，化为整式方程.
解之得，
-→解这个整式方程,求出方程的根
检验：把 =3代入 中， ≠0.
-→一定要有“检验”这一步!检验方法：把求出的根代入最简公分母中，若分母为零，则是增根；若分母不为零，则是方程的根.
所以原分式方程的解为： .
◆分式方程的增根同时满足的两个条件：
①增根是（由分式方程化成的）整式方程的根；
②增根使最简公分母为零.
例如：若方程 有增根，求 的值.
解：把原方程化为整式方程，得
∵方程有增根
∴ 理由：②增根使最简公分母为零.
∴
把 代入整式方程 中，得
理由：①增根是（由分式方程化成
的）整式方程的根.
5.分式方程的应用：
略
【基础训练】
1.（10湖南株洲）若分式 有意义，则 的取值范围是 .
2.（10湖北荆州）分式 的值为０，则x= .
3.把分式 中的分子、分母的 、 同时扩大2倍，那么分式的值
A.扩大2倍 B.缩小2倍
C.改变原来的 D.不改变
4.分式 与下列分式相等的是
A. B. C. D.
5. 的正确运算顺序是
A. B. C. D.
6.计算 的结果是
A. B. C. D.
7.分式运算： ，其最简公分母是
A. B.
C. D.
8.（09湖北荆门）计算 的结果是 .
9.（09山东淄博）化简 的结果为
A. B. C. D.
10.（10河北）化简 的结果是
A. B. C. D.1
11.（10四川内江）化简： _________.
12.（10江苏苏州）化简 的结果是
A. B. C. D.
13.（10云南昆明）化简： .
14.（07江苏连云港）当 时，分式 的值是 .
15.（09浙江温州）某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树 棵。实际每小时植树的棵数是原计划的1.2倍，那么实际比原计划提前了 小时完成任务(用含 的代数式表示)．
16.（10山东东营）分式方程 的解是
A.－3B.2 C.3 D.－2
17.把分式方程 的两边同时乘以 约去分母得
A. B.
C. D.
18.（10山东青岛）化简： .
19.（10江苏无锡）计算：
20.（10江苏连云港）化简：(a－2)?a2－4a2－4a＋4
21.（10江苏盐城）计算： ( )÷(1 )
22.（10江苏南京）计算(1a － 1b )÷a2－b2ab
23.（10湖北武汉）先化简，再求值：
，其中 .
24.（10江苏宿迁）解方程： .
25.（10福建南平）解方程：xx+1 + 2x -1 =1.
26.（10山东菏泽）解分式方程： .
27.（10江西南昌）解方程: .
28.（10四川达州）对于代数式 和 ，你能找到一个合适的 值，使它们的值相等吗？写出你的解题过程.
【能力提高】
29.请你给 选择一个合适的值，使方程 成立，你选择的 =_______.
30.（10黑龙江大兴安岭）已知关于x的分式方程 的解是非正数，则 的取值范围是 .
31.（2009牡丹江）若关于 的分式方程 无解，则 .
32.在解方程 时，你认为下面哪一个步骤最有可能导致增根的产生？
A.去分母 B.去括号 C.移项 D.合并同类项
33.分式方程 ，下列说法正确的是
①方程的根为 ；②方程无解；
③方程有增根 ；④方程的根为 .
A. ①② B.①③ C .②③ D. ②④
34.观察给定的分式： ，猜想并探索规律，第10个分式是 ，第 个分式是 .
35.（08西宁）写出一个含有字母 的分式（要求：不论 取任何实数，该分式都有意义） .
36.若分式 和 满足： ，其中 ，则 = .
37.若 ，则 ，
.
38.（10广西桂林）已知 ，则代数式 的值为___ ______.
39.（10湖北黄冈）已知， ， .则式子 .
40.（08芜湖）已知 ，则代数式
的值为 .
41.（10甘肃9市）观察：
，…，
则 ( =1，2，3，…).
42.正数范围内定义一种运算规则为 ，根据这个规则，求方程 的解.
43.（10山东济宁）观察下面的变形规律：
； ； ；…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想 = ；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和： + + +…+ .
44.（10江苏盐城）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程.
【知识要点】
1.分式：
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有 ，那么代数式 叫做分式.
◆分式的有意义、无意义和值为零：
（1）若分式 有意义，则必须满足条件：
；
（2）若分式 无意义，则必须满足条件：
；
（3）若分式 值为零，则必须满足条件：
.
2.分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值 .
即： ，
（其中M是不等于0的整式）
3.分式的运算：
（1）加减运算：
例如：计算： .
解：原式=
→对各个分母进行因式分解！
=
→找到最简公分母是：
然后通分！
=
→把各个分子进行合并！然后看分子、分母能不能约分！
=
→约分，得到结果！
（2）乘除运算：
例如：计算：
解： 原式=
→对各个分子、分母进行因式分解！
=
→约分，得到结果！
4.分式方程的解法：
◆解方程： .
解：方程两边同时乘以 ,得:
-→方程两边同时乘以最简公分母,目的是约去分母，化为整式方程.
解之得，
-→解这个整式方程,求出方程的根
检验：把 =3代入 中， ≠0.
-→一定要有“检验”这一步!检验方法：把求出的根代入最简公分母中，若分母为零，则是增根；若分母不为零，则是方程的根.
所以原分式方程的解为： .
◆分式方程的增根同时满足的两个条件：
①增根是（由分式方程化成的）整式方程的根；
②增根使最简公分母为零.
例如：若方程 有增根，求 的值.
解：把原方程化为整式方程，得
∵方程有增根
∴ 理由：②增根使最简公分母为零.
∴
把 代入整式方程 中，得
理由：①增根是（由分式方程化成
的）整式方程的根.
5.分式方程的应用：
略
【基础训练】
1.（10湖南株洲）若分式 有意义，则 的取值范围是 .
2.（10湖北荆州）分式 的值为０，则x= .
3.把分式 中的分子、分母的 、 同时扩大2倍，那么分式的值
A.扩大2倍 B.缩小2倍
C.改变原来的 D.不改变
4.分式 与下列分式相等的是
A. B. C. D.
5. 的正确运算顺序是
A. B. C. D.
6.计算 的结果是
A. B. C. D.
7.分式运算： ，其最简公分母是
A. B.
C. D.
8.（09湖北荆门）计算 的结果是 .
9.（09山东淄博）化简 的结果为
A. B. C. D.
10.（10河北）化简 的结果是
A. B. C. D.1
11.（10四川内江）化简： _________.
12.（10江苏苏州）化简 的结果是
A. B. C. D.
13.（10云南昆明）化简： .
14.（07江苏连云港）当 时，分式 的值是 .
15.（09浙江温州）某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树 棵。实际每小时植树的棵数是原计划的1.2倍，那么实际比原计划提前了 小时完成任务(用含 的代数式表示)．
16.（10山东东营）分式方程 的解是
A.－3B.2 C.3 D.－2
17.把分式方程 的两边同时乘以 约去分母得
A. B.
C. D.
18.（10山东青岛）化简： .
19.（10江苏无锡）计算：
20.（10江苏连云港）化简：(a－2)?a2－4a2－4a＋4
21.（10江苏盐城）计算： ( )÷(1 )
22.（10江苏南京）计算(1a － 1b )÷a2－b2ab
23.（10湖北武汉）先化简，再求值：
，其中 .
24.（10江苏宿迁）解方程： .
25.（10福建南平）解方程：xx+1 + 2x -1 =1.
26.（10山东菏泽）解分式方程： .
27.（10江西南昌）解方程: .
28.（10四川达州）对于代数式 和 ，你能找到一个合适的 值，使它们的值相等吗？写出你的解题过程.
【能力提高】
29.请你给 选择一个合适的值，使方程 成立，你选择的 =_______.
30.（10黑龙江大兴安岭）已知关于x的分式方程 的解是非正数，则 的取值范围是 .
31.（2009牡丹江）若关于 的分式方程 无解，则 .
32.在解方程 时，你认为下面哪一个步骤最有可能导致增根的产生？
A.去分母 B.去括号 C.移项 D.合并同类项
33.分式方程 ，下列说法正确的是
①方程的根为 ；②方程无解；
③方程有增根 ；④方程的根为 .
A. ①② B.①③ C .②③ D. ②④
34.观察给定的分式： ，猜想并探索规律，第10个分式是 ，第 个分式是 .
35.（08西宁）写出一个含有字母 的分式（要求：不论 取任何实数，该分式都有意义） .
36.若分式 和 满足： ，其中 ，则 = .
37.若 ，则 ，
.
38.（10广西桂林）已知 ，则代数式 的值为___ ______.
39.（10湖北黄冈）已知， ， .则式子 .
40.（08芜湖）已知 ，则代数式
的值为 .
41.（10甘肃9市）观察：
，…，
则 ( =1，2，3，…).
42.正数范围内定义一种运算规则为 ，根据这个规则，求方程 的解.
43.（10山东济宁）观察下面的变形规律：
； ； ；…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想 = ；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和： + + +…+ .
44.（10江苏盐城）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程.
