第二十五讲 整体的方法
我们知道成语“一叶障目”和“只见树木，不见森林”，它们的意思是说，如果过分关注细节，而忽视全局，我们就不会真正理解一个问题．
解数学题也是这样，在加强对局部的研究与分析的基础上，从整体上把握问题．所谓整体方法就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光 ，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．
整体方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面有广泛的应用，整体代人、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、设而不求、几何中的补形等都是整体方法在解数学问题中的具体运用．
例题求解
【例1】 若x、y、z满足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2001，则分式 的值为 ．(安庆市竞赛题)
思路点拨 原式= ，视x+3 y与x+y+z为两个整体，对方程组进行整体改造．
【例2】 若△ABC的三边长是a、b、c且满足 ， ， ， 则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
( “希望杯”邀请赛试题)
思路点拨 三个等式结构一样，孤立地从一个等式入手，都导不出a、b、c 的关系，不妨从整体叠加入手．
【例3】 已知 ，求多项式 的值．
思路点拨 直接代入计算繁难，由已知条件得 ，两边平方有理化，可得到零值多项式，整体代入求值．
【例4】如图，凸八边形AlA2A3A4A5A6A7A8中，∠Al=∠A5，∠A2 =∠A6 ，∠A3 =∠A7 ，∠A4=∠A8，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距 离之和是一个定值．
(山东省竞赛题)
思路点拨 将八边形问题转化为熟悉的图形来解决，想象完整四边形截去4个角就得到八边形，就可知向外作辅助线，关键是证明对边平行．
【例5】已知4×4的数表，如果把它的任一行或一列中的所有数同时变号，称为一次变换，试问能否经过有限次变换，使表中的数全变为正数?
思路点拔 若按要求去实验，则实验次数不能穷尽，每次变换只改变表中一行(或一列)中4个数的符号，但并不改变这4个数乘积的符号，这是解本例的关键．
注 由“残部”想“整体”，修残补缺，向外补形，恢复原形，将其拓展为范围更广的、其特征更为明显，更为熟悉的几何图形，这是解复杂几何问题的常用技巧．
从整体上考察问题的数量性质、表现形式是对整体上不变性质、不变量的特性的把握．
学历训练
1．如果 ，则 = ．
( “希望杯”邀请赛试题)
2．已知 ，那么 = ．
(2001年武汉市中考题)
3．已知 是实数，且满足 ，那么 的值是 ．
(河南省竞赛题)
4．如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE且AB=DE，BC∥EF且BC=EF，AF∥CD且AF=CD，∠ABC=∠DEF=120°，∠AFE=∠BCD=90°，AB=2，BC=1，CD= ，则该六边形ABCDEF的面积是 ．
5．已知 ， ，则 的值为( )
A．3 D．4 C． 5 D．6 (2003年杭州市中考题)
6．买20支铅笔、3 块橡皮、2本日记本需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本需58元；则买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本需( )
A．20元 B．25元 C ．30元 D．35元
(江苏省竞赛题)
7．已知a1，a2，…a2002均为正数，且满足M=( a1+ a2+…+ a2001)( a2+ a3+…+ a2001－a2002)，N＝(a1+ a2+…+ a2001－a2002) (a2+ a3+…+ a2001)，则M与N之间的关系是( )
A．M>N B．M (2002年绍兴市竞赛题)
8．已知 ，且 ，则 等于( )
A．105 D．100 C．75 D．50
(北京市竞赛题)
9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这10个自然数填到图中10个格子里，每个格子只 填一个数，使得“田”字形的4个格 子中所填数字之和都等于P，求户的最大值．
(江苏省竞赛题)
10．如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°，∠E=80°，求∠F的度数．
11．设 ， ，则 的值等于 ．
( “希望杯”邀请赛试题)
12．已知 ， ，则 2= ．
(湖北省数学竞赛题)
13．若 ， ，则 的值是 ．
14．正数x1、x2、x3、x4、x5、x6同时满足 ， ， ， ， ， ，则x1+x2+x3+x4+x5+x6z的值为 ．
(上海市竞赛题)
15． 已知实数x，y满足xy+x+y= 9， z，则 的值为( )
A．6 B．17 C ．1 D．6或17
16．如图，在四边形ABCD中，AB=4－ ，BC＝1，CD=3，∠B=135°，∠C＝90°，则∠D等于( )
A．60° B．67．5° C．75° D．无法确定 (重庆市竞赛题)
17．若实数a、b满足 ， ，则 的值为( )
A－20 B．2 C．2或－20 D．2或20
18．设 a、b、c为实数， ， ， ，则 x、y、z中至少有一个( )
A．大于零 B．等于零 C．不大于零 D．小于零
(全国初中数学竞赛题)
19．如图，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB= ，BC=5－ ，CD=6，求AD的长．
20．如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使 任意连续相邻的5个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M，求M的最小值并完成你的填图．
21．求系数a、b、c间的关系式，使方程 有实数解．
22．有三种物 品，每件的价格分别为2元、4元和6元，现在用60元买这三种物品，总数共16件，而钱要恰好用完，则价格为6元的物品最多买几件?价格为2元的物品最少买几件?
(河南省竞赛题)
我们知道成语“一叶障目”和“只见树木，不见森林”，它们的意思是说，如果过分关注细节，而忽视全局，我们就不会真正理解一个问题．
解数学题也是这样，在加强对局部的研究与分析的基础上，从整体上把握问题．所谓整体方法就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光 ，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．
整体方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面有广泛的应用，整体代人、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、设而不求、几何中的补形等都是整体方法在解数学问题中的具体运用．
例题求解
【例1】 若x、y、z满足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2001，则分式 的值为 ．(安庆市竞赛题)
思路点拨 原式= ，视x+3 y与x+y+z为两个整体，对方程组进行整体改造．
【例2】 若△ABC的三边长是a、b、c且满足 ， ， ， 则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
( “希望杯”邀请赛试题)
思路点拨 三个等式结构一样，孤立地从一个等式入手，都导不出a、b、c 的关系，不妨从整体叠加入手．
【例3】 已知 ，求多项式 的值．
思路点拨 直接代入计算繁难，由已知条件得 ，两边平方有理化，可得到零值多项式，整体代入求值．
【例4】如图，凸八边形AlA2A3A4A5A6A7A8中，∠Al=∠A5，∠A2 =∠A6 ，∠A3 =∠A7 ，∠A4=∠A8，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距 离之和是一个定值．
(山东省竞赛题)
思路点拨 将八边形问题转化为熟悉的图形来解决，想象完整四边形截去4个角就得到八边形，就可知向外作辅助线，关键是证明对边平行．
【例5】已知4×4的数表，如果把它的任一行或一列中的所有数同时变号，称为一次变换，试问能否经过有限次变换，使表中的数全变为正数?
思路点拔 若按要求去实验，则实验次数不能穷尽，每次变换只改变表中一行(或一列)中4个数的符号，但并不改变这4个数乘积的符号，这是解本例的关键．
注 由“残部”想“整体”，修残补缺，向外补形，恢复原形，将其拓展为范围更广的、其特征更为明显，更为熟悉的几何图形，这是解复杂几何问题的常用技巧．
从整体上考察问题的数量性质、表现形式是对整体上不变性质、不变量的特性的把握．
学历训练
1．如果 ，则 = ．
( “希望杯”邀请赛试题)
2．已知 ，那么 = ．
(2001年武汉市中考题)
3．已知 是实数，且满足 ，那么 的值是 ．
(河南省竞赛题)
4．如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE且AB=DE，BC∥EF且BC=EF，AF∥CD且AF=CD，∠ABC=∠DEF=120°，∠AFE=∠BCD=90°，AB=2，BC=1，CD= ，则该六边形ABCDEF的面积是 ．
5．已知 ， ，则 的值为( )
A．3 D．4 C． 5 D．6 (2003年杭州市中考题)
6．买20支铅笔、3 块橡皮、2本日记本需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本需58元；则买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本需( )
A．20元 B．25元 C ．30元 D．35元
(江苏省竞赛题)
7．已知a1，a2，…a2002均为正数，且满足M=( a1+ a2+…+ a2001)( a2+ a3+…+ a2001－a2002)，N＝(a1+ a2+…+ a2001－a2002) (a2+ a3+…+ a2001)，则M与N之间的关系是( )
A．M>N B．M
8．已知 ，且 ，则 等于( )
A．105 D．100 C．75 D．50
(北京市竞赛题)
9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这10个自然数填到图中10个格子里，每个格子只 填一个数，使得“田”字形的4个格 子中所填数字之和都等于P，求户的最大值．
(江苏省竞赛题)
10．如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°，∠E=80°，求∠F的度数．
11．设 ， ，则 的值等于 ．
( “希望杯”邀请赛试题)
12．已知 ， ，则 2= ．
(湖北省数学竞赛题)
13．若 ， ，则 的值是 ．
14．正数x1、x2、x3、x4、x5、x6同时满足 ， ， ， ， ， ，则x1+x2+x3+x4+x5+x6z的值为 ．
(上海市竞赛题)
15． 已知实数x，y满足xy+x+y= 9， z，则 的值为( )
A．6 B．17 C ．1 D．6或17
16．如图，在四边形ABCD中，AB=4－ ，BC＝1，CD=3，∠B=135°，∠C＝90°，则∠D等于( )
A．60° B．67．5° C．75° D．无法确定 (重庆市竞赛题)
17．若实数a、b满足 ， ，则 的值为( )
A－20 B．2 C．2或－20 D．2或20
18．设 a、b、c为实数， ， ， ，则 x、y、z中至少有一个( )
A．大于零 B．等于零 C．不大于零 D．小于零
(全国初中数学竞赛题)
19．如图，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB= ，BC=5－ ，CD=6，求AD的长．
20．如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使 任意连续相邻的5个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M，求M的最小值并完成你的填图．
21．求系数a、b、c间的关系式，使方程 有实数解．
22．有三种物 品，每件的价格分别为2元、4元和6元，现在用60元买这三种物品，总数共16件，而钱要恰好用完，则价格为6元的物品最多买几件?价格为2元的物品最少买几件?
(河南省竞赛题)
