直线的倾斜角和斜率

直线的倾斜角和斜率

教学目标

（1）了解直线方程的概念.
（2）正确理解直线倾斜角和斜率概念.理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率.
（3）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.
（4）通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.
（5）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

教学建议

1.教材分析

（1）知识结构
本节内容首先根据一次函数与其图像――直线的关系导出直线方程的概念；其次为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而实现了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变；最后推导出经过两点的直线的斜率公式.这些充分体现了解析几何的思想方法.
（2）重点、难点分析
①本节的重点是斜率的概念和斜率公式.直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用.因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键.
②本节的难点是对斜率概念的理解.学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不容易接受.
2.教法建议
（1）本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立.相应的教学过程也有三个阶段
①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念.
②本节的难点是对斜率概念的理解.学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样.学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗.再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解决这些问题，就要求教师帮助学生认识到在直线的方程中体现的不是直线的倾斜角，而是倾斜角的正切，即直线方程（一次函数 的形式，下同）中x的系数恰好就是直线倾斜角的正切.为了便于学生更好的理解直线斜率的概念，可以借助几何画板设计：
(1)  α变化→直线变化→ 中的 系数 变化    （同时注意 的变化）.
(2)  中的 系数 变化→直线变化→α变化    （同时注意 的变化）.

运用上述正反两种变化的动态演示充分揭示直线方程中 系数与倾斜角正切的内在关系，这对帮助学生理解斜率概念是极有好处的.
③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系，课前要对平面向量，三角函数等有关内容作一定的复习准备.
④在学习直线方程的概念时要通过举例清晰地指出两个条件，最好能用充要条件叙述直线方程的概念，强化直线与相应方程的对应关系.为将来学习曲线方程做好准备.
（2）本节内容在教学中宜采用启发引导法和讨论法，设计为启发、引导、探究、评价的教学模式.学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、和评价.倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在讨论、交流、评价中完成的.在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展.教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，参与评价.

教学设计示例

教学目标：
（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，
（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.
（3）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.
（4）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
教学重点、难点：直线斜率的概念和公式
教学用具：计算机
教学方法：启发引导法，讨论法

教学过程：

（一）直线方程的概念

如图1，对于一次函数 ，和它的图像――直线 有下面关系：

（1）有序数对（0，1）满足函数 ，则直线上就有一点A，它的坐标是（0，1）.

（2）反过来，直线上点B（1，3），则有序实数对（1，3）就满足 . 

一般地，满足函数式 的每一对 ， 的值，都是直线上的点的坐标（ ， ）；

反之，直线上每一点的坐标（ ， ）都满足函数式 ，因此，一次函数 的图象是一条直线，它是以满足 的每一对x，y的值为坐标的点构成的.

从方程的角度看，函数 也可以看作是二元一次方程 ，这样满足一次函数 的每一对 ， 的值“变成了”二元一次方程 的解，使方程和直线建立了联系.

定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线.

以上定义改用集合表述： ， 的二元一次方程的解为坐标的集合，记作 .若（1） （2） ，则 .

问：你能用充要条件叙述吗？

答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是…….

（二）直线的倾斜角

【问题1】

请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同.

； ；

过定点，方向不同.

如何确定一条直线？

两点确定一条直线.
还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？
学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度.

【导入  】

今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向.

【问题2】
在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的.
学生：展开讨论.
学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导.
通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向.根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角.从而得到直线倾斜角的概念.
【板书】

定义：一条直线l向上的方向与 轴的正方向所成的最小正角叫做直线 的倾斜角.

（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2） 轴的正方向，（3）最小正角.）

特别地，当 与 轴平行或重合时，规定倾斜角为0°.
由此定义，角的范围如何？
0°≤α＜180°或0≤α＜π   如图3

至此问题2已经解决了，回顾一下是怎么解决的.

（三）直线的斜率

【问题3】
下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程.然后观察思考：
直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？

学生：在练习本上画出直线，写出方程.
30° ß--à ＝

45° ß--à  ＝

135°ß--à ＝

（注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决.）

【演示动画】

观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中 系数变化的关系

(1)  直线变化→α变化→ 中的 系数 变化    （同时注意 α的变化）.

(2) 中的x系数k变化→直线变化→α变化    （同时注意 α的变化）.

教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与 的系数的关系：倾斜角不同，方程中 的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！

【板书】

定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.记作 ，即 .

这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于 轴（正方向）倾斜程度的量――倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于 轴（正方向）倾斜程度的量――斜率.

指出下列：

(1) ＝-     (2) ＝ tg60°    (3) ＝ tg(-30°)

学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？)

画图，指出倾斜角和斜率.
结合图3（也可以演示动画），观察倾斜角变化时，斜率的变化情况.

注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在.

α＝0°      ß--à    ＝0

0°＜α＜90° ß--à    ＞0

α＝90°     ß--à   不存在

90°＜α＜180°ß--à  ＜0

（四）直线过两点斜率公式的推导

【问题4】

如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义 ＝tgα求出直线的斜率；

如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？

即已知两点P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)（其中x₁≠x₂），求直线P₁P₂的斜率.

思路分析：

首先由学生提出思路，教师启发、引导：

运用正切定义，解决问题.

(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标.）

(2)角α是“标准位置”吗？（不是.）

(3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量 ，使P₁与原点重合，得到新向量 .）

(4)P的坐标是多少？（x₂-x₁，y₂-y₁）

(5)直线的斜率是多少？ ＝tgα= （x₁≠x₂）

(6)如果P₁ 和P₂的顺序不同，结果还一样吗？（一样）.

评价：注意公式中x₁≠x₂，即直线P₁ P₂不垂直x轴.因此当直线P₁P₂不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角.

【练习】

(1)直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 α？

(2)任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？

(3)直线 (-330°)的倾斜角和斜率分别是多少？

(4)求经过两点 (0，0)、 (-1， ).

(5)课本第37页练习第2、4题.

教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案（答案略）.

【总结】

教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决.再看下边的问题：

(1)直线倾斜角的概念要注意什么？

(2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？

(3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？

学生边讨论边总结：

(1)向上的方向，正方向，最小，正角.(2)不是，当α=90°时， α不存在.

(3) ＝ （ ），没有.

【作业 】

1.课本第37页习题7.1第3、4、5题.

2.思考题

（1）方程 是单位圆的方程吗？

（2）你能说出过原点，倾斜角是45°的直线方程吗？

（3）你能说出过原点，斜率是2的直线方程吗？

（4）你能说出过（1，1）点，斜率是2的直线方程吗？

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