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曲线的参数方程

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曲线的参数方程

教学目标
   1、理解曲线参数方程的概念,能选取适当的参数建立参数方程;
   2、通过对圆和直线的参数方程的研究,了解某些参数的几何意义和物理意义;
   3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题,在问题解决的过程中,形成数学抽象思维能力,初步体验参数的基本思想。
教学重点
   曲线参数方程的概念。
教学难点
曲线参数方程的探求。
教学过程
  (一)曲线的参数方程概念的引入
 引例:
XX年5月1日,中国第一座身高108米的摩天轮,在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列,居亚洲第一。
   已知该摩天轮半径为51.5米,逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示,某游客现在 点(其中 点和转轴 的连线与水平面平行)。问:经过 秒,该游客的位置在何处?

引导学生建立平面直角坐标系,把实际问题抽象到数学问题,并加以解决
(1、通过生活中的实例,引发学生研究的兴趣;2、通过引例明确学习参数方程的现实意义;3、通过对问题的解决,使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果,从而了解学习曲线的参数方程的必要性;4、通过具体的问题,让学生找到解决问题的途径,为研究圆的参数方程作准备。)
(二)曲线的参数方程
1、圆的参数方程的推导
(1)一般的,设⊙ 的圆心为原点,半径为 , 所在直线为 轴,如图,以 为始边绕着点 按逆时针方向绕原点以匀角速度 作圆周运动,则质点 的坐标与时刻 的关系该如何建立呢?(其中 与 为常数, 为变数)
 结合图形,由任意角三角函数的定义可知:
   为参数         ①
(2)点 的角速度为 ,运动所用的时间为 ,则角位移 ,那么方程组①可以改写为何种形式?
 结合匀速圆周运动的物理意义可得:   为参数   ②
(在引例的基础上,把原先具体的数据一般化,为圆的参数方程概念的形成作准备,同时也培养了学生数学抽象思维能力)
(3)方程①、②是否是圆心在原点,半径为 的圆方程?为什么?
由上述推导过程可知:对于⊙ 上的每一个点 都存在变数 (或 )的值,使 , (或 , )都成立。
对于变数 (或 )的每一个允许值,由方程组所确定的点 都在圆上;
   (1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习;2、学生从曲线的方程以及方程的曲线的定义出发,可以说明以上由变数 (或 )建立起来的方程是圆的方程;)
(4)若要表示一个完整的圆,则 与 的最小的取值范围是什么呢?
    ,    
(5)圆的参数方程及参数的定义
     我们把方程①(或②)叫做⊙ 的参数方程,变数 (或 )叫做参数。
(6)圆的参数方程的理解与认识
()参数方程 与 是否表示同一曲线?为什么?
()根据下列要求,分别写出圆心在原点、半径为 的圆的部分圆弧的参数方程:
①在 轴左侧的半圆(不包括 轴上的点);
②在第四象限的圆弧。
(通过具体问题的解决,加深对圆的参数方程的理解与认识,体会到参数的取值范围也是圆的参数方程的重要组成部分;并为曲线的参数方程的定义及其理解与认识作铺垫。)

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