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22.2.1 直接开平方法(精选4篇)

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22.2.1 直接开平方法(精选4篇)

22.2.1 直接开平方法 篇1

  教学内容

  运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.

  教学目标

  理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.

  提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.

  重难点关键

  1.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.

  2.难点与关键:通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.

  教学过程

  一、复习引入

  学生活动:请同学们完成下列各题

  问题1.填空

  (1)x2-8x+______=(x-______)2;(2)9x2+12x+_____=(3x+_____)2;(3)x2+px+_____=(x+______)2.

  问题2.如图,在△abc中,∠b=90°,点p从点b开始,沿ab边向点b以1cm/s的速度移动,点q从点b开始,沿bc边向点c以2cm/s的速度移动,如果ab=6cm,bc=12cm,p、q都从b点同时出发,几秒后△pbq的面积等于8cm2?

  老师点评:

  问题1:根据完全平方公式可得:(1)16  4;(2)4  2;(3)( )2   .

  问题2:设x秒后△pbq的面积等于8cm2

  则pb=x,bq=2x

  依题意,得: x・2x=8

  x2=8

  根据平方根的意义,得x=±2

  即x1=2 ,x2=-2

  可以验证,2 和-2 都是方程 x・2x=8的两根,但是移动时间不能是负值.

  所以2 秒后△pbq的面积等于8cm2.

  二、探索新知

  上面我们已经讲了x2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=±2 ,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?

  老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=±2

  即2t+1=2 ,2t+1=-2

  方程的两根为t1= - ,t2=- -

  例1:解方程:x2+4x+4=1

  分析:很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.

  解:由已知,得:(x+2)2=1

  直接开平方,得:x+2=±1

  即x+2=1,x+2=-1

  所以,方程的两根x1=-1,x2=-3

  例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率.

  分析:设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2

  解:设每年人均住房面积增长率为x,

  则:10(1+x)2=14.4

  (1+x)2=1.44

  直接开平方,得1+x=±1.2

  即1+x=1.2,1+x=-1.2

  所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2

  因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去.

  所以,每年人均住房面积增长率应为20%.

  解一元二次方程,它们的共同特点是什么?

  共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.

  三、应用拓展

  例3.某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?

  分析:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,那么二月份的营业额就应该是(1+x),三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的,应是(1+x)2.

  解:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x.

  那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31

  把(1+x)当成一个数,配方得:

  (1+x+ )2=2.56,即(x+ )2=2.56

  x+ =±1.6,即x+ =1.6,x+ =-1.6

  方程的根为x1=10%,x2=-3.1

  因为增长率为正数,

  所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%.

  四、归纳小结

  本节课应掌握:

  由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=± 转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n=± ,达到降次转化之目的.

  五、作业:

  一、选择题

  1.若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分别是(  ).

  a.p=4,q=2     b.p=4,q=-2     c.p=-4,q=2    d.p=-4,q=-2

  2.方程3x2+9=0的根为(  ).

  a.3      b.-3      c.±3     d.无实数根

  3.用配方法解方程x2- x+1=0正确的解法是(  ).

  a.(x- )2= ,x= ±

  b.(x- )2=- ,原方程无解

  c.(x- )2= ,x1= + ,x2=

  d.(x- )2=1,x1= ,x2=-

  二、填空题

  1.若8x2-16=0,则x的值是_________.

  2.如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是________.

  3.如果a、b为实数,满足 +b2-12b+36=0,那么ab的值是_______.

  三、综合提高题

  1.解关于x的方程(x+m)2=n.

  2.某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边*墙(墙长25m),另三边用木栏围成,木栏长40m.

  (1)鸡场的面积能达到180m2吗?能达到200m吗?

  (2)鸡场的面积能达到210m2吗?

  3.在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框,并说明你制作的理由吗?

  答案:

      一、1.b  2.d  3.b

  二、1.±   2.9或-3  3.-8

  三、

  1.当n≥0时,x+m=± ,x1= -m,x2=- -m.当n<0时,无解

  2.

  (1)都能达到.设宽为x,则长为40-2x,

  依题意,得:x(40-2x)=180    

  整理,得:x2-20x+90=0,x1=10+ ,x2=10- ;

  同理x(40-2x)=200,x1=x2=10,长为40-20=20.

  (2)不能达到.同理x(40-2x)=210,x2-20x+105=0,

  b2-4ac=400-410=-10<0,无解,即不能达到.

  3.因要制矩形方框,面积尽可能大,所以,应是正方形,即每边长为1米的正方形.

22.2.1 直接开平方法 篇2

  教学目标

  1. 理解直接开平方法与平方根运算的联系,学会用直接开平方法解特殊的一元二次方程;培养基本的运算能力;

  2.知道形如(px+q)2=m(p≠0,m≥0)的一元二次方程都可以用直接开平方法解.培养观察、比较、分析、综合等能力,会应用学过的知识去解决新的问题;

  3. 鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程,体会解方程过程中所蕴涵的化归思想、整体思想和降次策略.

  教学重点及难点

  1、 用直接开平方法解一元二次方程;

  2、理解直接开平方法中的整体思想,懂得(px+q)2=m(p≠0,m≥0)的一元二次方程都可以用直接开平方法解

  教学过程设计

  一、情景引入,理解方法

  看一看:特殊奥林匹克运动会的会标

  想一想:

  在XX年的特殊奥林匹克运动会的筹备过程中制玩具节举办的更加隆重,xx学校将在运动场搭建一个舞台,其中一个方案是:在运动场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台,那么请问这个舞台的各边边长将会是多少米呢?

  解:由题意得: x2=144

  根据平方根的意义得:x=± 12

  ∴原方程的解是:x1=12 , x2=-12

  ∵边长不能为负数

  ∴x=12

  了解方法:

  上述解方程的方法叫做直接开平方法.通过直接将某一个数开平方,解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.

  【说明】用开平方法解形如ax2+c=0(a≠0)的方程有三种可能性,学生归纳是难点,教师要在学生具体感知的基础上进行具体概括.通过两个阶段联系后的探究意在培养学生探究一般规律的能力..

  第三阶段:怎样解方程(1+x)2=144?

  请四人学习小组共同研究,并给出一个解题过程.可以参考课本或其他资料.小组长负责清楚的记录解题过程.

  第四阶段:众人齐心当考官!

  请各四人小组试着编一个类似于(x+1)2=144 这样能用直接开平方法解的一元二次方程.

  1、分析学生所编的方程.

  2、从学生的编题中挑出一个方程给学生练习.

  3、出示:思考:下列方程又该如何应用直接开平方法求解呢?

  4(x+1)2-144=0

  归纳:形如(px+q)2=m(p≠0,m≥0)的一元二次方程都可以用直接开平方法解.

  【说明】在第三、四阶段的讲解和练习中教师需让学生体会到其中蕴涵了整体思想.

  三、巩固方法,提高能力

  请大家帮帮忙,挑一挑,拣一拣,下列一元二次方程中,哪些更适宜用直接开平方法来解呢?

  ⑴  x2=3              ⑵  3t2-t=0

  ⑶  3y2=27            ⑷  (y-1)2-4=0

  ⑸  (2x+3)2=6         ⑹  x2=36x

  四、自主小结

  今天我们学会了什么方法解一元二次方程?适合用开平方法解的一元二次方程有什么特点?

22.2.1 直接开平方法 篇3

  直接开平方法

  理解一元二次方程“降次”――转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.

  提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.

  重点

  运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,领会降次――转化的数学思想.

  难点

  通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.

  一、复习引入

  学生活动:请同学们完成下列各题.

  问题1:填空

  (1)x2-8x+________=(x-________)2;(2)9x2+12x+________=(3x+________)2;(3)x2+px+________=(x+________)2.

  解:根据完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3)(p2)2 p2.

  问题2:目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元?一元二次方程与一元一次方程有什么不同?二次如何转化成一次?怎样降次?以前学过哪些降次的方法?

  二、探索新知

  上面我们已经讲了x2=9,根据平方根的意义,直接开平方得x=±3,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=9,能否也用直接开平方的方法求解呢?

  (学生分组讨论)

  老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=±3

  即2t+1=3,2t+1=-3

  方程的两根为t1=1,t2=-2

  例1 解方程:(1)x2+4x+4=1 (2)x2+6x+9=2

  分析:(1)x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.

  (2)由已知,得:(x+3)2=2

  直接开平方,得:x+3=±2

  即x+3=2,x+3=-2

  所以,方程的两根x1=-3+2,x2=-3-2

  解:略.

  例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2,求每年人均住房面积增长率.

  分析:设每年人均住房面积增长率为x,一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2

  解:设每年人均住房面积增长率为x,

  则:10(1+x)2=14.4

  (1+x)2=1.44

  直接开平方,得1+x=±1.2

  即1+x=1.2,1+x=-1.2

  所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2

  因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去.

  所以,每年人均住房面积增长率应为20%.

  (学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么?

  共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.

  三、巩固练习

  教材第6页 练习.

  四、课堂小结

  本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程,那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程,那么mx+n=±p,达到降次转化之目的.若p<0则方程无解.

  五、作业布置

22.2.1 直接开平方法 篇4

  [课    题]  §12.2  一元二次方程的解法(1)――直接开平方法[教学目的]  使学生掌握直接开平方法,并会解某些一元二次方程;使学生会解(x-a)2=b(b≥0)型的方程,为进一步学习公式法作好准备。[教学重点]  掌握直接开平方法,并会解某些一元二次方程。[教学难点 ]  会解(x-a)2=b(b≥0)型的方程。[教学关键]  会解(x-a)2=b(b≥0)型的方程,为进一步学习公式法作好准备。[教学用具]  [教学形式]  讲练结合法。[教学用时]  45′×1 [教学过程 ][复习提问1、什么叫做整式方程?(方程两边都是关于未知数的整式,叫做整式方程。)2、什么样的方程叫做一元一次方程?什么样的方程叫做一元二次方程?(在整式方程中,只含一个未知数,并且未知数的最高次数是1,这样的方程叫做一元一次方程;在整式方程中,只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的方程叫做一元二次方程。)3、说明一元一次方程与一元二次方程的相同点和不同点?(都是整式方程,并且都含有一个未知数,这是它们的相同点;它们的不同点是未知数的次数,一个是一次,一个是二次。)4、一元二次方程的一般形式是什么?其中a应具备什么条件?(一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0,其中a应不等于零。因为a=0,则方程ax2+bx+c=0就不是一元二次方程了。)5、x2-4=0是一元二次方程吗?其中二次项的系数、一次项的系数、常数项各是什么?(是。二次项系数是1、一次项系数是0、常数项是-4。)[讲解新课]我们来解方程:x2-4=0。先移项,得:x2=4。(这里,一个数x的平方等于4,这个数x叫做4的什么?――这个数x叫做4的平方根或二次方根;一个正数有几个平方根?――一个正数有两个平方根,它们互为相反数;求一个数的平方根的运算叫做什么?――叫做开平方。)上面的x2=4,实际上就是求4的平方根。因此,x=± 即,x1=2,x2=-2。讲(或提问)到此,指出 :这种解某些一元二次方程的方法叫做直接开平方法。提问:用直接开平方法解下列方程:1、x2-144=0;           2、x2-3=0;3、x2+16=0;             4、x2=0。(1、x1=12,x2=-12;2、x1=,x2=- ;3、无解――负数没有平方根;4、x=0――0有一个平方根,它是0本身)。2  解方程:(x+3)2=2。说明与分析:此例要求解出方程的根,同时通过此例的学习也为进一步解公式法作准备。实际上,我们将用此例以及类似的题目推导出一元二次方程的另一解法――配方法。可以看出,原方程中x+3是2的平方根,解:x+3=± 即:x1=-3+ ,或x2=-3- 。∴  x1=-3+ ,x2=-3- 。提问:解下列方程:1、(x+4)2=3;        2、(3x+1)2=-3。(1、x1=-4+ ,x2=-4- 。2、无解。)[课堂练习]教科书第7页练习1,2题。[课堂小结]直接开平方法可解下列类型的一元二次方程:x2=b(b≥0);(x-a)2=b(b≥0)。根据平方根的定义,要特别注意:由于负数没有平方根,所以,上列两式中的b≥0,当b<0时,方程无解。[课外作业 ]教科书第15习题12.1A组第1,2题。对学有余力的学生可做B组第1题。 [板书设计 ]课题:      例题:辅助板书: [课后记]

  通过本节课的学习,学生已掌握了一元二次方程的解法之一――直接开平方法,并能熟练地求出能应用直接开平方法解的一元二次方程的两个根,同时掌握了一元二次方程的解题步骤及书写格式。

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