22.2.1 直接开平方法(精选4篇)
22.2.1 直接开平方法 篇1
教学内容
运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.
教学目标
理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.
提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.
重难点关键
1.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.
2.难点与关键:通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
教学过程
一、复习引入
学生活动:请同学们完成下列各题
问题1.填空
(1)x2-8x+______=(x-______)2;(2)9x2+12x+_____=(3x+_____)2;(3)x2+px+_____=(x+______)2.
问题2.如图,在△abc中,∠b=90°,点p从点b开始,沿ab边向点b以1cm/s的速度移动,点q从点b开始,沿bc边向点c以2cm/s的速度移动,如果ab=6cm,bc=12cm,p、q都从b点同时出发,几秒后△pbq的面积等于8cm2?
老师点评:
问题1:根据完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3)( )2 .
问题2:设x秒后△pbq的面积等于8cm2
则pb=x,bq=2x
依题意,得: x・2x=8
x2=8
根据平方根的意义,得x=±2
即x1=2 ,x2=-2
可以验证,2 和-2 都是方程 x・2x=8的两根,但是移动时间不能是负值.
所以2 秒后△pbq的面积等于8cm2.
二、探索新知
上面我们已经讲了x2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=±2 ,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?
老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=±2
即2t+1=2 ,2t+1=-2
方程的两根为t1= - ,t2=- -
例1:解方程:x2+4x+4=1
分析:很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.
解:由已知,得:(x+2)2=1
直接开平方,得:x+2=±1
即x+2=1,x+2=-1
所以,方程的两根x1=-1,x2=-3
例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率.
分析:设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2
解:设每年人均住房面积增长率为x,
则:10(1+x)2=14.4
(1+x)2=1.44
直接开平方,得1+x=±1.2
即1+x=1.2,1+x=-1.2
所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去.
所以,每年人均住房面积增长率应为20%.
解一元二次方程,它们的共同特点是什么?
共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.
三、应用拓展
例3.某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?
分析:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,那么二月份的营业额就应该是(1+x),三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的,应是(1+x)2.
解:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x.
那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31
把(1+x)当成一个数,配方得:
(1+x+ )2=2.56,即(x+ )2=2.56
x+ =±1.6,即x+ =1.6,x+ =-1.6
方程的根为x1=10%,x2=-3.1
因为增长率为正数,
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%.
四、归纳小结
本节课应掌握:
由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=± 转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n=± ,达到降次转化之目的.
五、作业:
一、选择题
1.若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分别是( ).
a.p=4,q=2 b.p=4,q=-2 c.p=-4,q=2 d.p=-4,q=-2
2.方程3x2+9=0的根为( ).
a.3 b.-3 c.±3 d.无实数根
3.用配方法解方程x2- x+1=0正确的解法是( ).
a.(x- )2= ,x= ±
b.(x- )2=- ,原方程无解
c.(x- )2= ,x1= + ,x2=
d.(x- )2=1,x1= ,x2=-
二、填空题
1.若8x2-16=0,则x的值是_________.
2.如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是________.
3.如果a、b为实数,满足 +b2-12b+36=0,那么ab的值是_______.
三、综合提高题
1.解关于x的方程(x+m)2=n.
2.某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边*墙(墙长25m),另三边用木栏围成,木栏长40m.
(1)鸡场的面积能达到180m2吗?能达到200m吗?
(2)鸡场的面积能达到210m2吗?
3.在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框,并说明你制作的理由吗?
答案:
一、1.b 2.d 3.b
二、1.± 2.9或-3 3.-8
三、
1.当n≥0时,x+m=± ,x1= -m,x2=- -m.当n<0时,无解
2.
(1)都能达到.设宽为x,则长为40-2x,
依题意,得:x(40-2x)=180
整理,得:x2-20x+90=0,x1=10+ ,x2=10- ;
同理x(40-2x)=200,x1=x2=10,长为40-20=20.
(2)不能达到.同理x(40-2x)=210,x2-20x+105=0,
b2-4ac=400-410=-10<0,无解,即不能达到.
3.因要制矩形方框,面积尽可能大,所以,应是正方形,即每边长为1米的正方形.
22.2.1 直接开平方法 篇2
教学目标
1. 理解直接开平方法与平方根运算的联系,学会用直接开平方法解特殊的一元二次方程;培养基本的运算能力;
2.知道形如(px+q)2=m(p≠0,m≥0)的一元二次方程都可以用直接开平方法解.培养观察、比较、分析、综合等能力,会应用学过的知识去解决新的问题;
3. 鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程,体会解方程过程中所蕴涵的化归思想、整体思想和降次策略.
教学重点及难点
1、 用直接开平方法解一元二次方程;
2、理解直接开平方法中的整体思想,懂得(px+q)2=m(p≠0,m≥0)的一元二次方程都可以用直接开平方法解
教学过程设计
一、情景引入,理解方法
看一看:特殊奥林匹克运动会的会标
想一想:
在XX年的特殊奥林匹克运动会的筹备过程中制玩具节举办的更加隆重,xx学校将在运动场搭建一个舞台,其中一个方案是:在运动场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台,那么请问这个舞台的各边边长将会是多少米呢?
解:由题意得: x2=144
根据平方根的意义得:x=± 12
∴原方程的解是:x1=12 , x2=-12
∵边长不能为负数
∴x=12
了解方法:
上述解方程的方法叫做直接开平方法.通过直接将某一个数开平方,解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
【说明】用开平方法解形如ax2+c=0(a≠0)的方程有三种可能性,学生归纳是难点,教师要在学生具体感知的基础上进行具体概括.通过两个阶段联系后的探究意在培养学生探究一般规律的能力..
第三阶段:怎样解方程(1+x)2=144?
请四人学习小组共同研究,并给出一个解题过程.可以参考课本或其他资料.小组长负责清楚的记录解题过程.
第四阶段:众人齐心当考官!
请各四人小组试着编一个类似于(x+1)2=144 这样能用直接开平方法解的一元二次方程.
1、分析学生所编的方程.
2、从学生的编题中挑出一个方程给学生练习.
3、出示:思考:下列方程又该如何应用直接开平方法求解呢?
4(x+1)2-144=0
归纳:形如(px+q)2=m(p≠0,m≥0)的一元二次方程都可以用直接开平方法解.
【说明】在第三、四阶段的讲解和练习中教师需让学生体会到其中蕴涵了整体思想.
三、巩固方法,提高能力
请大家帮帮忙,挑一挑,拣一拣,下列一元二次方程中,哪些更适宜用直接开平方法来解呢?
⑴ x2=3 ⑵ 3t2-t=0
⑶ 3y2=27 ⑷ (y-1)2-4=0
⑸ (2x+3)2=6 ⑹ x2=36x
四、自主小结
今天我们学会了什么方法解一元二次方程?适合用开平方法解的一元二次方程有什么特点?
22.2.1 直接开平方法 篇3
直接开平方法
理解一元二次方程“降次”――转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.
提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.
重点
运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,领会降次――转化的数学思想.
难点
通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
一、复习引入
学生活动:请同学们完成下列各题.
问题1:填空
(1)x2-8x+________=(x-________)2;(2)9x2+12x+________=(3x+________)2;(3)x2+px+________=(x+________)2.
解:根据完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3)(p2)2 p2.
问题2:目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元?一元二次方程与一元一次方程有什么不同?二次如何转化成一次?怎样降次?以前学过哪些降次的方法?
二、探索新知
上面我们已经讲了x2=9,根据平方根的意义,直接开平方得x=±3,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=9,能否也用直接开平方的方法求解呢?
(学生分组讨论)
老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=±3
即2t+1=3,2t+1=-3
方程的两根为t1=1,t2=-2
例1 解方程:(1)x2+4x+4=1 (2)x2+6x+9=2
分析:(1)x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.
(2)由已知,得:(x+3)2=2
直接开平方,得:x+3=±2
即x+3=2,x+3=-2
所以,方程的两根x1=-3+2,x2=-3-2
解:略.
例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2,求每年人均住房面积增长率.
分析:设每年人均住房面积增长率为x,一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2
解:设每年人均住房面积增长率为x,
则:10(1+x)2=14.4
(1+x)2=1.44
直接开平方,得1+x=±1.2
即1+x=1.2,1+x=-1.2
所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去.
所以,每年人均住房面积增长率应为20%.
(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么?
共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.
三、巩固练习
教材第6页 练习.
四、课堂小结
本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程,那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程,那么mx+n=±p,达到降次转化之目的.若p<0则方程无解.
五、作业布置
22.2.1 直接开平方法 篇4
[课 题] §12.2 一元二次方程的解法(1)――直接开平方法[教学目的] 使学生掌握直接开平方法,并会解某些一元二次方程;使学生会解(x-a)2=b(b≥0)型的方程,为进一步学习公式法作好准备。[教学重点] 掌握直接开平方法,并会解某些一元二次方程。[教学难点 ] 会解(x-a)2=b(b≥0)型的方程。[教学关键] 会解(x-a)2=b(b≥0)型的方程,为进一步学习公式法作好准备。[教学用具] [教学形式] 讲练结合法。[教学用时] 45′×1 [教学过程 ][复习提问] 1、什么叫做整式方程?(方程两边都是关于未知数的整式,叫做整式方程。)2、什么样的方程叫做一元一次方程?什么样的方程叫做一元二次方程?(在整式方程中,只含一个未知数,并且未知数的最高次数是1,这样的方程叫做一元一次方程;在整式方程中,只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的方程叫做一元二次方程。)3、说明一元一次方程与一元二次方程的相同点和不同点?(都是整式方程,并且都含有一个未知数,这是它们的相同点;它们的不同点是未知数的次数,一个是一次,一个是二次。)4、一元二次方程的一般形式是什么?其中a应具备什么条件?(一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0,其中a应不等于零。因为a=0,则方程ax2+bx+c=0就不是一元二次方程了。)5、x2-4=0是一元二次方程吗?其中二次项的系数、一次项的系数、常数项各是什么?(是。二次项系数是1、一次项系数是0、常数项是-4。)[讲解新课]我们来解方程:x2-4=0。先移项,得:x2=4。(这里,一个数x的平方等于4,这个数x叫做4的什么?――这个数x叫做4的平方根或二次方根;一个正数有几个平方根?――一个正数有两个平方根,它们互为相反数;求一个数的平方根的运算叫做什么?――叫做开平方。)上面的x2=4,实际上就是求4的平方根。因此,x=± 即,x1=2,x2=-2。讲(或提问)到此,指出 :这种解某些一元二次方程的方法叫做直接开平方法。提问:用直接开平方法解下列方程:1、x2-144=0; 2、x2-3=0;3、x2+16=0; 4、x2=0。(1、x1=12,x2=-12;2、x1=,x2=- ;3、无解――负数没有平方根;4、x=0――0有一个平方根,它是0本身)。例2 解方程:(x+3)2=2。说明与分析:此例要求解出方程的根,同时通过此例的学习也为进一步解公式法作准备。实际上,我们将用此例以及类似的题目推导出一元二次方程的另一解法――配方法。可以看出,原方程中x+3是2的平方根,解:x+3=± 即:x1=-3+ ,或x2=-3- 。∴ x1=-3+ ,x2=-3- 。提问:解下列方程:1、(x+4)2=3; 2、(3x+1)2=-3。(1、x1=-4+ ,x2=-4- 。2、无解。)[课堂练习]教科书第7页练习1,2题。[课堂小结]直接开平方法可解下列类型的一元二次方程:x2=b(b≥0);(x-a)2=b(b≥0)。根据平方根的定义,要特别注意:由于负数没有平方根,所以,上列两式中的b≥0,当b<0时,方程无解。[课外作业 ]教科书第15习题12.1A组第1,2题。对学有余力的学生可做B组第1题。 [板书设计 ]课题: 例题:辅助板书: [课后记]
通过本节课的学习,学生已掌握了一元二次方程的解法之一――直接开平方法,并能熟练地求出能应用直接开平方法解的一元二次方程的两个根,同时掌握了一元二次方程的解题步骤及书写格式。