第二册不等式（通用3篇）
第二册不等式 篇1
教学目标
1. 使学生掌握不等式的三条基本性质；
2. 培养学生观察、分析、比较的能力，提高他们灵活地运用所学知识解题的能力.
教学重点和难点
重点：不等式的三条基本性质的运用.
难点：不等式的基本性质3的运用.
课堂教学过程 设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
1. 什么叫不等式？说出不等式的三条基本性质.
2. 当x取下列数值时，不等式1-5x＜16是否成立？
3，-4，-3，4，2.5，0，-1.
3. 用不等式表示下列数量关系：
（1） x的3倍大于x的2倍与5的差； （3）y的 与x的 的差小于2；
（2） y的一半与4的和是负数； （4）5与a的4倍的差不是正数.
4. 按照下列条件写出仍然成立的不等式，并说明根据不等式的哪一条基本性质：
（1）m＞n，两边都减去3； （2）m＞n，两边同乘以3；
（3）m＞n，两边同乘以-3； （4）m＞n，两边同乘以-3；
（5）m＞n，两边同乘以 .
（以上各题中，从第2题开始，用投影仪打在屏幕上.学生在回答上述问题时，如遇到困难，教师应做适当点拨）在学生回答完上述问题的基础上，教师指出：本节课我们将通过学习例题和练习，进一步巩固并熟练掌握不等式的基本性质，尤其是不等式基本性质。
二、讲授新课
例1 在下列各题横线上填入不等号，使不等式成立.并说明是根据哪一条不等式基本性质.
（1）若a 3＜9，则a_____12； （2）若-a＜10，则a_____ 10；
（3）若 a＞ 1，则a_____ 4； （4）若- a＞，则a_____0.
答：（1）a＜12，根据不等式基本性质1. （2）a＞-10，根据不等式基本性质3.
（3）a＞-4，根据不等式基本性质2. （4）a＜0，根据不等式基本性质3.
（在讲授本课时，应启发学和在添加不等号“＞”或“＜”时，要和题目中的已知条件进行对比，观察它是根据不等式的哪条基本性质，是怎样由已知条件变形得到的.同时还应强调在运用不等式基本性质3时，不等号要改变方向＝
例2 已知，用a＜0,“＜”或“＞”号填空：
（1）a+2_____2； （2）a-1_____ 1； （3）3a_____0； (4)a-1______0; (5)a2 _______0; (6)a3______0; (7)a-1______0; (8)|a|______0.
答：（1）a+2＜2，根据不等式基本性质1. （2）a-1＜-1,根据不等式基本性质1.
（3）因为3a,根据不等式基本性质2. （4）－ ＞0，根据不等式基本性质3.
（5）因为a＜0，两边同乘以a＜0，由不等式基本性质3，得a2＞0.
（6）因为a＜0，两边同乘以a2＞0，由不等式基本性质2，得a3＜0.
（7）因为a＜0，两边同加上－1，由不等式基本性质1，得a－1＜－1.
又已知，－1＜0，所以a－1＜0.
（8）因为.a＜0，所以a≠0，所以｜a｜＞0.
（本例题除了进一步运用不等式的三条基本性质外，还涉及了一些旧的基础知识，如a＜0表示a是负数；a＞0表示a是正数；｜a｜是非负数.后面几个小题较灵活，条件由具体数字改为抽象的字母，这里字母代表正数还是代表负数是解决问题的关键）
例外 判断下列各题的推导是否正确？为什么？（投影）（请学生回答）
（1）因为7.5＞5.7，所以－7.5＜－5.7； （2）因为a+8＞4,，所以a＞－4； （3）因为4a＞4b，所以a＞b； （4）因为a＜b，所以 ＜ ＞＇
（5）因为 ＞－1，所以a＞4; (6)因为－1＞－2，所以－a－1＞－a－2；
（7）因为3＞2，所以3a＞2a.
答：（1）正确，根据不等式基本性质3. （2）正确，根据不等式基本性质1.
（3）正确，根据不等式基本性质2. （4）不对，根据不等式基本性质3，应改为 ＞ ； （5）因为 ＞－1，所以a＞4
答：(1)正确，根据不等式基本性质3. (2)正确，根据不等式基本性质1.
(3)正确，根据不等式基本性质2. (4)不对，根据不等式基本性质3，应改为 .
(5)不对，根据不等式基本性质5，应改为a＜4.
(6)正确，根据不等式基本性质1. (7)不对，应分情况逐一讨论.
当a＞0时，3a＞2a.(不等式基本性质2)
当a=0时，3a＜2a.
当a＜0时，3a＜2a.(不等式基本性质3)
(当学生在回答本题的过程中，当遇到困难或问题时，教师应做适当引导、启发、帮助)
三、课堂练习(投影)
1.按照下列条件，写出仍能成立的不等式：
(1)由-2＜-1，两边都加-a； (2)由-4x＜0，两边都乘以- ；
(3)由7＞5，两边都乘以不为零的-a.
2 用“＞”或“＜”号填空：
(1)当a-b＜0时，a______b： (2)当a＜0,b＜0时，ab_____0；
(3)当a＜0，b＜0时，ab____0； (4)当a＞0,b＜0时，ab____0；
(5)若a____0，b＜0，则ab＞0； (6)若＜0，且b＜0，则a_____0.
四、师生共同小结
在师生共同回顾本节课所学内容的基础上，教师指出：①在利用不等式的基本性质进行变形时，当不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母，字母代表什么数是问题的关键，这决定了是用不等式基本性质2还是基本性质3，也就是不等号是否要改变方向的问题；②运用不等式基本性质3时，要变两个号，一个性质符号，另一个是不等号.
五、作业
1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
(1)x-1＜0； (2) x＞- x+6；
(3)3x＞7； (4)- x＜-3.
2.设a＜b，用“＞”或“＞”号连接下列各题中的两个代数式：
(1)a-1，b-1； (2)a+2,b+2； (3)2a，2b；
(4) ； (5) ； (6)-b，-a.
3.用“＞”号或“＜”号填空：
(1)若a-b＜0，则a_____b； (2)若b＜0，则a+b_____a；
(3)若a=0，则a+b_____b； (4)若 ＜0，则ab_____；
(5)b＜a＜2，则(a-2)(b-2)____0；(2-a)(2-b)____；(2-a)(a-b).
课堂教学设计说明
由于本节课的教学目标 是使学生进一步掌握不等式基本性质，尤其是基本性质3.故在设计教学过程 时，注意在教师的主导作用下让学生以练为主，从而使学生在初步掌握不等式的三条基本性质的基础上，通过口答，笔做，讨论等不同的方式的练习，提高学生将不等式正确、灵活进行变形的能力.
第二册不等式 篇2
目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一――比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
过程：
一、复习：
1.不等式的一个等价命题
2.比较法之一（作差法）步骤：作差――变形――判断――结论
二、作差法：（P13―14）
1. 求证：x2 + 3 > 3x
证：∵(x2 + 3) - 3x =
∴x2 + 3 > 3x
2. 已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：
证：
∵a,b,m都是正数，并且a<b，∴b + m > 0 , b - a > 0
∴ 即：
变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？
3. 已知a, b都是正数，并且a ¹ b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
证：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) =( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 )
=a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) =(a2 - b2 ) (a3 - b3)
=(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)
∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0
又∵a ¹ b，∴(a - b)2 > 0 ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0
即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
4. 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m ¹ n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？
解：设从出发地到指定地点的路程为S，
甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，
则： 可得：
∴
∵S, m, n都是正数，且m ¹ n，∴t1 - t2 < 0 即：t1 < t2
从而：甲先到到达指定地点。
变式：若m =n，结果会怎样？
三、作商法
5. 设a, b Î R+，求证：
证：作商：
当a =b时，
当a > b > 0时，
当b > a > 0时，
∴ （其余部分布置作业 ）
作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。
四、小结：作差、作商
五、作业 ： P15 练习
P18 习题6.3 1―4
第二册不等式 篇3
不等式的基本性质
刘宏光 （宁夏银川第二中学）
作者简历
刘宏光 广东揭阳人，19565年毕业于北京工业学院机械系，1953年任太原机械制造厂数学力学教师，1986年被授予中学特级教师，1988年被评为宁夏回族自治区中学高级教师。1985年被评为宁夏银川市优秀班主任，1986年获全国五一劳动奖章，并被全国总工会授予全国优秀教育工作者称号。现任宁夏银川二中数学教师数学教研组组长。
教学目的
掌握不等式的基本性质，会用不等式的基本性质进行不等式的变形。
教学过程
师：我们已学过等式，不等式，现在我们来看两组式子（教师出示小黑板中的两组式子），请同学们观察，哪些是等式？哪些是不等式？
第一组：1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7.
第二组：-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x ≤6, a+2 ≥0; 3≠4.
生：第一组都是等式，第二组都是不等式。
师：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？
生：表示相等关系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。
师：在数学炽，我们用等号“=”来表示相等关系，用不等式号“〈”、“〉”或“≠”表示不等关系，其中“＞”和“＜”表示大小关系。表示大小关系的不等式是我们中学教学所要研究的。
前面我们学过了等式，同学们还记得等式的性质吗？
生：等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（ 除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式。
师：很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除经（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？让我们先做一些试验练习。
练习1 (回答)用小于号“<”或大于号“>”填空。
（1）7 ___ 4; （2）- 2____6; （3）- 3_____ -2； （4）- 4_____-6
练习2（口答）分别从练习1中四个不等式出发，进行下面的运算。
（1）两边都加上（或都减去）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？
（2）两边都乘以（或都除以）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？
（3）两边都乘以（或都除以）（-5），结果怎样？不等号的方向改变了吗？
生：我们发现：在练习2中，第（1）、（2）题的结果是不等号的方向不变；在第（3）题中，结果是不等号的方向改变了！
师：同学们观察得很认真，大家再进一步探讨一下，在什么情况下不等号的方向就会发生改变呢？
生甲：在原不等式的两边都乘以（或除以）一个负数的情况下，不等号的方向要改变。
师：有没有不同的意见？大家都同意他的看法吗？可能还有同学不放心，让我们再做一些试验。
练习3（口答）分别在下面四个不等式的两边都以乘以（可除以）-2，看看不等号的方向是否改变：
7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。
师：现在我们可以归纳出不等式的基本性质，一般地说，不等式的基本性质有三条：
性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向 。
（让同学回答。）
性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向 。（让同学回答。）
性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向 。（让同学回答。）
现在请大家翻开课本，一起朗读用黑体字写的三条基本性质。
不等式的这三条基本性质，都可以用数学语言表达出来，先请一位同学说一说第一条基本性质。
生：如果a＜b。那么a+c＜b+c（或a-c＜b-c；如果a＞b，那么a+c＞b+c（或a-c＞b-c）。
师：对a和b有什么要求吗？对c有什么要求？
生：没有什么要求。
师：哪位同学来回答第二、三条性质？
生甲：如果a<b,且c>0, 那么ac<bc(或 )；如果a>b,且c>0,那么ac>bc(或
生乙：如果a<b,且c<0, 那么ac>bc(或 )；如果a>b,且c<0,那么ac<bc(或
师：这两条性质中，对a、b、c有什么要求？
生：对a、b没什么要求，特别要注意c是正数还是负数。
师：很好，c可以为零吗？
生：c不能为零。因为c为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了。
师：好！应用刚才学到的基本性质，我们来看下面的例题。
[例1]按照下列条件，写出仍能成立的不等式：
（1）5＜9，两边都加上-3；
（2）9＞4，两边都减去10；
（3）-5＜3，两边都乘以4；
（4）14＞-8，两边都除以-2。
解 （1）根据不等式基本性质1，在不等式59的两边都加上-3，不等号的方向不变，所以
5+（-3）＜9+（-3），
2＜6
（2）根据不等式基本性质1，得
9-10＞4-10
-1＞-6
（3）根据不等式基本性质2，得
-5×4＜3×4
-20＜12
（4）根据不等式基本性质3，得
14÷（-2）＜（-8）÷（-2）
-7＜4
[例2]设a＞b，用不等号连结下列各题中的两式：
（1）a-3与b-3;（2）2a与2b;（3）-a与-b.
师：哪一位同学来做这题？解题时，要讲清一步的理由。
生甲：因为a＞b，两边都减去3，由不等式的基本性质1，得
a-3＞b-3.
师：很好，大家都是这样做的吗？
生乙：我是这样做的，因为a＞b,两边都加上（-3），由基本性质1，得
a-3＞b-3.
师：好！这两位同学从不同的角度来分析题目，都得到了正确的结论。
生丙：因为a＞b，2＞0，由基本性质2，得2a＞2b。
生丁：因为a＞b，-1＞0，由基本性质3，得-a＞-b。
师：下面我们来看一组较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析。[例3]判断以下各题的结论是否正确，并说明都理由：
(1)如果a>b,且c>0，那么ac>bd;
(2)如果a>b,那么ac2>bc2;
(3)如果ac2>bc2,那么a>b;
(4) 如果a>b,那么a-b>0;
(5)如果ax>b,且a≠0，那么x< ;
(6)如果a+b>a;
生甲：（1）不对，当c=d≤0时，ac＞bd不成立。
生乙：（2）也不对，因为c2是一个非负数，当c=0时，ac2＞bc2不成立。
生丙：（3）对，因为ac2＞bc2成立，则c2一定大于零，根据不等式基本性质2，得a＞b出。
（4）对，根据不等式基本性质，由a＞b，两边减去b得a-b＞0。
（5）不对，当a＜0时，根据不等式基本性质3，得 。
（6）不对，因为当b＜0时，根据不等式基本性质1，得a+b＜a；而当b=0时，则有a+b=a。
师：同学们回答得很好。今天我们学习了不等式的基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用。
课外做以下作业 ：略。
教案说明
（1） 不等式的基本性质的教学，是分成两个阶段进行的。在初中阶段，对不等式的基本性质，并不作证明，只引导学生用试验的方法，归纳出三条基本性质。通过试验，由特殊到一般，由具体到抽象，这是一种认识事物规律的重要方法。科学上的许多发现，大多离不开试验和观察。大数学家欧拉说过：“数学这门科学，需要观察，也需要试验。”通过教学培养学生掌握由试验发现规律的方法，具有重要的意义。当然通过几个特殊的试验，就得出一般的结论，是不严密的。但对初中学生来说，初次接触不等式，是不能要求那么严密的。
（2） 不等式的基本性质的教学，还应采用对比的方法。学生已学过等式和等式的性质，为了便于和加深对不等式基本性质的理解，在教学过程 中，应将不等式的性质与等式的性质加以比较：强调等式的两边都加上或减去，都乘以或除以（除数不能为零）同一个数，所得到的仍是等式，这个数可以是正数、负数或零；而在不等式的两边都加上或减去，都乘以或除以（除数不能为零）同一个数，当这个数是正数、负数或零时，对不等式的方向，有什么不同的影响。通过这样的对比，不但可以复习已学过的等式有关知识，便于引入新课，而且也有利于掌握不等式的基本性质。对比的方法，也是学习数学的一种重要方法。
（3） 在应用不等式的基本性质对不等式进行变形时，学生对不等式两边是具体数，判定大小关系比较容易。因为这实际上是有理数大小的比较。对于不等式两边是含字母的代数式时，根据题给的条件，运用不等式基本性质判别大小关系或不等号方向，就比较困难。因为它比较抽象，特别是在运用不等式的基本性质2和性质3时，学生必须考虑不等式两边同乘（或同除）的这个用字母表示的数的符号是什么，或者还要对这个用字母表示的数，按正数、负数或零三种情况加以讨论。在教学过程 中，对于这类题目，采用讨论法是比较好的。因为在讨论时，学生可以充分发表各种见解。对于正确的见解，教师可以让学生说出解题的依据；对于错误的见解，教师可以进行启发引导，发动学生自己找出错误的原因，自己修正见解。这样，有利于发现问题，有的放矢地解决问题，有利于深化对不等式基本性质的认识。
