和圆有关的比例线段
教学建议1、教材分析
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
重点:相交弦定理及其推论,切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点,而且还是中考试题的热点;这些定理和推论是重要的工具性知识,主要应用与圆有关的计算和证实.
难点:正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多,学生轻易混淆.
2、教学建议
本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论,做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论,做例3.第3课时是习题课,讲例4并做有关的练3.
(1)教师通过教学,组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题,逐步培养学生研究性学习意识,激发学生的学习热情;
(2)在教学中,引导学生“观察——猜想——证实——应用”等学习,教师组织下,以学生为主体开展教学活动.
第1课时:相交弦定理
教学目标:
1.理解相交弦定理及其推论,并初步会运用它们进行有关的简单证实和计算;
2.学会作两条已知线段的比例中项;
3.通过让学生自己发现问题,调动学生的思维积极性,培养学生发现问题的能力和探索精神;
4.通过推论的推导,向学生渗透由一般到非凡的思想方法.
教学重点:
正确理解相交弦定理及其推论.
教学难点:
在定理的叙述和应用时,学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混,从而导致证实中发生错误,因此务必使学生清楚定理的提出和证实过程,了解是哪两个三角形相似,从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.
教学活动设计
(一)设置学习情境
1、图形变换:(利用电脑使AB与CD弦变动)
①引导学生观察图形,发现规律:∠A=∠D,∠C=∠B.
②进一步得出:△APC∽△DPB.
.
③假如将图形做些变换,去掉AC和BD,图中线段 PA,PB,PC,PO之间的关系会发生变化吗?为什么?
组织学生观察,并回答.
2、证实:
已知:弦AB和CD交于⊙O内一点P.
求证:PA·PB=PC·PD.
(A层学生要练习学生写出已知、求证、证实;B、C层学生在老师引导下完成)
(证实略)
(二)定理及推论
1、相交弦定理: 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.
结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理:在⊙O中;弦AB,CD相交于点P,那么PA·PB=PC·PD.
2、从一般到非凡,发现结论.
对两条相交弦的位置进行适当的调整,使其中一条是直径,并且它们互 相垂直如图,AB是直径,并且AB⊥CD于P.
提问:根据相交弦定理,能得到什么结论?
指出:PC2=PA·PB.
请学生用文字语言将这一结论叙述出来,假如叙述不完全、不准确.教师纠正,并板书.
推论 假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.
3、深刻理解推论:由于圆是轴对称图形,上述结论又可叙述为:半圆上一点C向直径AB作垂线,垂足是P,则PC2=PA·PB.
若再连结AC,BC,则在图中又出现了射影定理的基本图形,于是有:
PC2=PA·PB ;AC2=AP·AB;CB2=BP·AB
(三)应用、反思
例1 已知圆中两条弦相交,第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段,第二条弦的长为32厘米,求第二条弦被交点分成的两段的长.
引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.
例2 已知:线段a,b.
求作:线段c,使c2=ab.
分析:这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式,因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆,仿照推论即可作出要求作的线段.
作法:口述作法.
反思:这个作图是作两已知线段的比例中项的问题,可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.
练习1 如图,AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP=1厘米,求CD.
变式练习:若AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP,DP的长度皆为整数.那么CD的长度是 多少?
将条件隐化,增加难度,提高学生学习爱好
练习2 如图,CD是⊙O的直径,AB⊥CD,垂足为P,AP=4厘米,PD=2厘米.求PO的长.
练习3 如图:在⊙O中,P是弦AB上一点,OP⊥PC,PC 交⊙O于C. 求证:PC2=PA·PB
引导学生分析:由AP·PB,联想到相交弦定理,于是想到延长 CP交⊙O于D,于是有PC·PD=PA·PB.又根据条件OP⊥PC.易 证得PC=PD问题得证.
(四)小结
知识:相交弦定理及其推论;
能力:作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力;
思想方法:学习了由一般到非凡(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.
(五)作业
教材P132中 9,10;P134中B组4(1).
第2课时 切割线定理
教学目标:
1.把握切割线定理及其推论,并初步学会运用它们进行计算和证实;
2.把握构造相似三角形证实切割线定理的方法与技巧,培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力
3.能够用运动的观点学习切割线定理及其推论,培养学生辩证唯物主义的观点.
理解切割线定理及其推论,它是以后学习中经常用到的重要定理.
教学难点:
定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点.
教学活动设计
(一)提出问题
1、引出问题:相交弦定理是两弦相交于圆内一点.假如两弦延长交于圆外一点P,那么该点到割线与圆交点的四条线段PA,PB,PC,PD的长之间有什么关系?(如图1)
当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时,由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA,PB,PT之间又有什么关系?
2、猜想:引导学生猜想出图中三条线段PT,PA,PB间的关系为PT2=PA·PB.
3、证实:
让学生根据图2写出已知、求证,并进行分析、证实猜想.
分析:要证PT2=PA·PB, 可以证实,为此可证以 PA·PT为边的三角形与以PT,BP为边的三角形相似,于是考虑作辅助线TP,PB.(图3).轻易证实∠PTA=∠B又∠P=∠P,因此△BPT∽△TPA,于是问题可证.
4、引导学生用语言表达上述结论.
切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
(二)切割线定理的推论
1、再提出问题:当PB、PD为两条割线时,线段PA,PB,PC,PD之间有什么关系?
观察图4,提出猜想:PA·PB=PC·PD.
2、组织学生用多种方法证实:
方法一:要证PA·PB=PC·PD,可证此可证以PA,PC为边的三角形和以PD,PB为边的三角形相似,所以考虑作辅助线AC,BD,轻易证实∠PAC=∠D,∠P=∠P,因此△PAC∽△PDB. (如图4)
方法二:要证,还可考虑证实以PA,PD为边的三角形和以PC、PB为边的三角形相似,所以考虑作辅助线AD、CB.轻易证实∠B=∠D,又∠P=∠P. 因此△PAD∽△PCB.(如图5)
方法三:引导学生再次观察图2,立即会发现.PT2=PA·PB,同时PT2=PC·PD,于是可以得出PA·PB=PC·PD.PA·PB=PC·PD
推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.(也叫做割线定理)
(三)初步应用
例1 已知:如图6,⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B,PA=6厘米,AB=8厘米, PO=10.9厘米,求⊙O的半径.
分析:由于PO既不是⊙O的切线也不是割线,故须将PO延长交⊙O于D,构成了圆的一条割线,而OD又恰好是⊙O的半径,于是运用切割线定理的推论,问题得解.
(解略)教师示范解题.
例2 已知如图7,线段AB和⊙O交于点C,D,AC=BD,AE,BF分别切⊙O于点E,F,
求证:AE=BF.
分析:要证实的两条线段AE,BF均与⊙O相切,且从A、B 两点出发引的割线ACD和BDC在同一直线上,且AC=BD,AD=BC. 因此它们的积相等,问题得证.
学生自主完成,教师随时纠正学生解题过程中出现的错误,如AE2=AC·CD和BF2=BD·DC等.
巩固练习:P128练习1、2题
(四)小结
知识:切割线定理及推论;
能力:结合具体图形时,应能写出正确的等积式;
方法:在证实切割线定理和推论时,所用的构造相似三角形的方法十分重要,应注重很好地把握.
(五)作业教材P132中,11、12题.
探究活动
最佳射门位置
国际足联规定法国世界杯决赛阶段,比赛场地长105米,宽68米,足球门宽7.32米,高2.44米,试确定边锋最佳射门位置(精确到l米).
分析与解 如图1所示.AB是足球门,点P是边锋所在的位置.最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置,即向P上方或下方移动,视角都变小,因此点P实际上是过A、B且与边线相切
的圆的切点,如图1所示.即OP是圆的切线,而OB是圆的割线.
故 ,又 ,
OB=30.34 7.32=37.66.
OP= (米).
注:上述解法适用于更一般情形.如图2所示.△BOP可为任意角.
